PC準則下線性無偏估計的比較

李 勇，鄔吉波

(重慶文理學院， 重慶 402160)

通常采用均方誤差矩陣準則和均方誤差矩陣來比較估計的優良性。Rao[1]指出在一些情況下運用均方誤差以及均方誤差矩陣準則來比較估計是不合理的，而運用Pitman準則[2]能更好地度量估計的優劣性。有學者研究了PC準則，如Wang and Yang[3],Yang等[4]，Jozani[5],Wu[6]等。

有學者研究了PC 準則下線性估計的比較。如Mason等[7]給出了2個線性估計在PC準則下的比較，同時給出了一個估計優于另一個估計的條件。但是，Mason等提出的定理不好用，Yan[8]對Mason等提出的定理進行了改進。Fountain等[9]討論了2個線性無偏估計在PC準則下的比較，同時得出了比較完美的結果。但是Fountain和Keating的結果只針對線性無偏估計，有其局限性。本文針對非線性的情況，討論2個無偏估計在PC準則下的比較，不管是線性還是非線性。本文的結果表明：對2個無偏估計，如果某一個估計的協方差矩陣越小，則此無偏估計在PC準則下越好。

1 主要結果

首先給出PC準則的定義：

下面給出本文的主要定理：

證明：由定義2.1，取Q=I，我們有

(1)

Pr{ζ′Mζ-η′Mη-η′(N-M)η≤0}≥

Pr{ζ′Mζ-η′Mη≤0}

(2)

由于M是一個正定矩陣，則存在一個正交矩陣使得：

M=H′ΛH,Λ=diag(λ1,λ2,…,λp)

其中λ1≥λ2≥…≥λp是M的特征值。

(3)

下面計算

(4)

Pr{δ2′Λδ2-δ1′Λδ1≤0}

(5)

Pr{δ1′Λδ1-δ2′Λδ2≤0}

(6)

由式(4)～(6)有

Pr{δ2′Λδ2-δ1′Λδ1≤0}=

Pr{δ1′Λδ1-δ2′Λδ2≤0}=

1-Pr{δ1′Λδ1-δ2′Λδ2≥0}

(7)

所以

2 應用

2.1 一般線性模型

考慮如下的模型：

Y=Xβ+ε

(8)

其中：Y為觀測矩陣；X為已知的設計矩陣；β為未知參數向量；ε為誤差向量且E(ε)=0，Cov(ε)=σ2V,V>0。

模型(8)的最小二乘估計為

(9)

2.2 帶線性約束的線性模型

考慮模型(8)以及V=I，未知參數滿足如下的約束條件：

Rβ=r

其中：R是一個已知的矩陣；r為一個向量。則未知參數的約束最小二乘估計為

計算得到

以及

σ2(X′X)-1R′[R(X′X)-1R′]-1R(X′X)-1

易知

則有

2.3 帶隨機約束的線性模型

考慮模型(8)以及V=I，未知參數滿足如下的約束條件

r=Rβ+e,e～(0,σ2W)

其中：R是一個已知的矩陣；r為一個向量。則未知參數的混合估計為

那么