基于樹形馬氏鏈模型的可靠性分析方法

張洪銘，顧曉輝,*，邸憶,2

1. 南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094 2. 武昌理工學(xué)院 信息工程學(xué)院，武漢 430223

工程實(shí)踐中的系統(tǒng)可靠性分析過程具有設(shè)計(jì)變量多、低失效率和極限狀態(tài)函數(shù)形式復(fù)雜甚至隱式的特點(diǎn)。失效概率(Failure Probability)Pf的準(zhǔn)確計(jì)算是機(jī)械、電子系統(tǒng)可靠性分析的關(guān)鍵，Pf的本質(zhì)是設(shè)計(jì)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)在失效區(qū)域上的積分：

(1)

式中：X為各設(shè)計(jì)變量x構(gòu)成的基本隨機(jī)向量；G(x)為系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)(Limit State Function，LSF)，G(x)≤0表征失效區(qū)域；fX(x)為設(shè)計(jì)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。前述工程實(shí)踐問題的特點(diǎn)使得直接處理式(1)的難度極大，難以直接積分獲得精確的系統(tǒng)失效概率，因此針對(duì)強(qiáng)非線性問題的高效模型是目前工程可靠性分析研究的關(guān)鍵。

目前的4類系統(tǒng)可靠性分析方法[1]中，以蒙特卡羅模擬(Monte Carlo Simulation, MCS)為基礎(chǔ)的數(shù)字模擬算法原理簡潔、適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)問題的維度不敏感，適合用于處理考慮不確定性的系統(tǒng)可靠性分析問題。進(jìn)一步地，針對(duì)原始MCS方法在實(shí)際應(yīng)用中效率低下的問題，重要抽樣(Importance Sampling，IS)法[2-3]利用方便采樣的重要抽樣分布，在靠近失效域邊界的設(shè)計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行抽樣，使得對(duì)失效概率貢獻(xiàn)大的區(qū)域內(nèi)的樣本有較大概率被抽到，增大失效樣本的比重從而提升抽樣效率。確定設(shè)計(jì)點(diǎn)位置和構(gòu)造最優(yōu)的重要抽樣分布是提升IS算法性能的關(guān)鍵，為此學(xué)者們進(jìn)行了廣泛的研究。馬紀(jì)明等[4]提出的條件遞歸方法能在系統(tǒng)的LSF為隱式時(shí)快速找到設(shè)計(jì)點(diǎn)；為了避免重要抽樣分布的抽樣中心落入局部最優(yōu)區(qū)域，文獻(xiàn)[5]借助模擬退火算法尋找全局最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)。上述文獻(xiàn)中較少提及重要抽樣分布的構(gòu)造過程，實(shí)際上，不合適的重要抽樣分布容易導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果的方差很大[6]。為了避免因主觀選擇重要抽樣分布類型而導(dǎo)致的算法性能下降，同時(shí)減少尋找設(shè)計(jì)點(diǎn)的計(jì)算開銷，自適應(yīng)重要抽樣法應(yīng)運(yùn)而生。侯本偉等[7]采用基于演化過程和交叉熵模型的多準(zhǔn)則迭代方法來計(jì)算重要抽樣函數(shù)，使預(yù)抽樣次數(shù)下降為原來的1/40；陳向前等[8]提出的主動(dòng)導(dǎo)引技術(shù)，使抽樣中心能快速自適應(yīng)地逼近設(shè)計(jì)點(diǎn)；唐承等[9]提出的粒子群序列二次規(guī)劃混合算法有較強(qiáng)的全局搜索能力；Au和Beck[10]將馬爾可夫鏈與IS算法結(jié)合，構(gòu)造收斂規(guī)則，使馬氏鏈?zhǔn)諗亢蟮姆€(wěn)定分布與最優(yōu)重要抽樣分布相同或近似，用收斂后的狀態(tài)點(diǎn)進(jìn)行核密度估計(jì)從而得到最優(yōu)的重要抽樣分布密度函數(shù)。該方法中馬氏鏈的收斂過程即是狀態(tài)點(diǎn)在失效域中的自適應(yīng)探索過程，適用于失效域形狀復(fù)雜的情況。戴鴻哲等在Au工作的基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入研究，其先在文獻(xiàn)[11]中借助快速高斯變換大幅降低核密度估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度，有效縮短了計(jì)算耗時(shí)；而后在文獻(xiàn)[12]中以馬氏鏈?zhǔn)諗亢蟮臓顟B(tài)點(diǎn)作為支持向量機(jī)的數(shù)據(jù)樣本，擬合出近似極限狀態(tài)函數(shù)，有效解決了失效域復(fù)雜、極限狀態(tài)函數(shù)隱式條件下的可靠性計(jì)算問題。

在前述可靠性分析研究的基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步提高處理強(qiáng)非線性問題的效率，提出了基于樹形馬氏鏈重要抽樣(Tree Markov Chain Importance Sampling, TMCIS)模型的系統(tǒng)可靠性分析方法。文中提出的樹形馬爾可夫鏈算法是對(duì)原始馬氏鏈的改進(jìn)，新的抽樣機(jī)制使其具有局部多鏈并行和自適應(yīng)樣本轉(zhuǎn)移的特性，能夠從抽樣起點(diǎn)自動(dòng)向失效域邊界搜索，并在關(guān)鍵樣本密集區(qū)域內(nèi)靈活地生成支鏈來提升抽樣效率。由樹形馬氏鏈生成的樣本，能夠最大程度地反映出失效分布的特征信息，使得核密度估計(jì)的結(jié)果能最大程度地近似于真實(shí)失效分布。文末給出了2個(gè)強(qiáng)非線性數(shù)值算例和BAT子彈藥彈翼的工程算例，計(jì)算結(jié)果顯示本文提出的算法在提高抽樣效率及計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度的同時(shí)具有較好的穩(wěn)定性。

1 樹形馬氏鏈模型

1.1 Metropolis-Hasting算法

滿足了細(xì)致平穩(wěn)條件(Detailed-balance Condition)的非周期馬氏鏈會(huì)收斂到一個(gè)平穩(wěn)分布，分布形式與轉(zhuǎn)移矩陣或轉(zhuǎn)移函數(shù)有關(guān)。MCMC(Markov Chain Monte Carlo)方法利用了馬氏鏈的這一特性，即通過構(gòu)造馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣或函數(shù)，使得鏈的平穩(wěn)分布類型為目標(biāo)分布類型或與目標(biāo)分布類型十分近似，則馬氏鏈?zhǔn)諗亢蟮臓顟B(tài)點(diǎn)即可看作從目標(biāo)分布中抽得的樣本點(diǎn)。M-H算法(Metropolis-Hasting Method)[13]是MCMC方法的常見形式，其算法步驟為

步驟1給定馬氏鏈的初始狀態(tài)X0=x0，其中x0∈R，初始化計(jì)數(shù)變量t、設(shè)置總樣本點(diǎn)數(shù)N，這里的t,N∈N。

步驟2對(duì)t=1,2,…,N循環(huán)以下過程進(jìn)行采樣：

1)第t次抽樣，馬氏鏈狀態(tài)為Xt=xt，依建議分布產(chǎn)生候選點(diǎn)y～q(x|xt),

2)從均勻分布抽得一個(gè)隨機(jī)數(shù)：u～U(0,1)，計(jì)算步驟1)中候選點(diǎn)y的接受率：

(2)

式中:p(·)為先驗(yàn)分布；q(·|·)為建議分布；α為接受率。

3)如果α(xt,y)>u，則接受轉(zhuǎn)移，令xt+1=y；否則拒絕y，令xt+1=xt。

分析上述算法，在馬氏鏈滿足細(xì)致平穩(wěn)條件的前提下，若建議分布為對(duì)稱分布，亦即q(xt|y)=q(y|xt)，則式(2)中的接受率可以進(jìn)一步寫為：α(xt|y)=min{1,p(y)/p(xt)}，可見當(dāng)候選點(diǎn)處的目標(biāo)分布概率密度越大時(shí)，候選點(diǎn)越容易被選中；同時(shí)，接受率的形式保證了概率密度較小的樣本點(diǎn)也有被選中的可能，從而防止馬氏鏈“陷入”目標(biāo)分布密度函數(shù)的局部峰值區(qū)域，這增強(qiáng)了算法對(duì)狀態(tài)空間的遍歷性能，使抽到的樣本點(diǎn)更加貼合目標(biāo)分布的分布特點(diǎn)。

原始M-H算法由于引入了馬氏鏈，使得抽樣過程具有自適應(yīng)特性，但當(dāng)狀態(tài)空間維度較高時(shí)，概率密度稀疏處的樣本很容易被拒絕，且M-H算法每次只決定一個(gè)點(diǎn)被接受與否，使抽樣效率很低；同時(shí)，馬氏鏈中相鄰狀態(tài)的產(chǎn)生方式?jīng)Q定了相鄰樣本點(diǎn)間是相關(guān)的，為了滿足樣本的獨(dú)立性要求，普遍的做法是從已經(jīng)收斂的馬氏鏈中，每隔r個(gè)點(diǎn)選取一個(gè)點(diǎn)形成新的鏈，若總樣本點(diǎn)數(shù)為N，則原始馬氏鏈的抽樣次數(shù)至少應(yīng)為[N(r+1)-r]，即原始馬氏鏈的抽樣次數(shù)會(huì)成倍增長，需要更多的時(shí)間和計(jì)算成本來完成抽樣，導(dǎo)致抽樣效率進(jìn)一步下降。

1.2 樹形馬氏鏈算法

針對(duì)上述不足，樹形馬氏鏈算法充分利用相鄰狀態(tài)點(diǎn)間的關(guān)系信息，對(duì)單次抽樣步的候選點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行合理擴(kuò)充，允許當(dāng)前狀態(tài)點(diǎn)可以產(chǎn)生多個(gè)候選點(diǎn)，使得單次抽樣步中被接受候選點(diǎn)的數(shù)量的平均值大于1。樹形馬氏鏈的抽樣機(jī)制，使得抽樣結(jié)果在生成關(guān)系上呈現(xiàn)出以抽樣起點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的“樹狀”結(jié)構(gòu)，有效樣本密集的區(qū)域會(huì)有多個(gè)候選點(diǎn)被接受為樣本點(diǎn)，這是樹結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生“枝杈”的直接原因。樹形馬氏鏈中的支鏈增強(qiáng)了算法對(duì)設(shè)計(jì)域充分搜索的能力，提高了抽樣效率。為了完整、充分地表達(dá)算法內(nèi)容，提出了基本向量和跳轉(zhuǎn)向量的概念來實(shí)現(xiàn)樹形馬氏鏈算法模型的抽樣機(jī)制，概念的具體定義為：

定義1(基本向量) 指馬氏鏈的當(dāng)前狀態(tài)點(diǎn)依據(jù)建議分布產(chǎn)生候選點(diǎn)(該候選點(diǎn)稱為基本候選點(diǎn))后，由當(dāng)前狀態(tài)點(diǎn)指向基本候選點(diǎn)的向量。

定義2(跳轉(zhuǎn)向量) 由基本向量在狀態(tài)空間中經(jīng)過若干次變換后得到的向量。跳轉(zhuǎn)向量必須以當(dāng)前狀態(tài)點(diǎn)為起點(diǎn)，則其末端指向的點(diǎn)稱為擴(kuò)充候選點(diǎn)，跳轉(zhuǎn)向量與基本向量的L2范數(shù)相等。

給出樹形馬氏鏈抽樣步驟如下：

步驟2在當(dāng)前樣本量的值小于N時(shí)，令t=1,2,…；循環(huán)下列步驟采樣：

2)依據(jù)步驟1)中產(chǎn)生的成對(duì)父子點(diǎn)對(duì)，計(jì)算父點(diǎn)的基本向量：

(3)

3)計(jì)算每個(gè)候選點(diǎn)的接受率：

(4)

樹形馬氏鏈算法對(duì)由基本向量生成跳轉(zhuǎn)向量的具體實(shí)現(xiàn)方法不做強(qiáng)制要求(滿足定義2的內(nèi)容即可)，以適應(yīng)不同實(shí)際情況下的具體問題。本文給出了設(shè)計(jì)變量為二維隨機(jī)變量時(shí)，采用快速生成跳轉(zhuǎn)向量并得到候選點(diǎn)的方法。基本向量的旋轉(zhuǎn)動(dòng)作依靠變換矩陣實(shí)現(xiàn)，二維時(shí)的變換矩陣為

(5)

(6)

圖1為設(shè)計(jì)變量為二維時(shí)，樹形馬氏鏈抽樣機(jī)制示意圖，圖中2條極限狀態(tài)函數(shù)曲線將設(shè)計(jì)域分割成4個(gè)區(qū)域，左下方區(qū)域?yàn)榉鞘^(qū)域，候選點(diǎn)的產(chǎn)生、接受或拒絕狀態(tài)如圖所示；圖1中的抽樣過程所得的點(diǎn)按照生成關(guān)系和接受、拒絕狀態(tài)可以表達(dá)成圖2所示的樹形結(jié)構(gòu)，這是樹形馬氏鏈算法的命名由來。

圖1 TMC抽樣機(jī)制Fig.1 Mechanism of TMC sampling

圖2 TMC樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)Fig.2 Data structure of TMC samples

2 核密度估計(jì)

2.1 重要抽樣法

原始IS算法是對(duì)MCS的改進(jìn)，是一種典型的方差縮減技術(shù)。MCS算法的抽樣中心在遠(yuǎn)離失效域邊界的均值點(diǎn)處，在低失效率問題下MCS算法抽到失效樣本的概率很小，因而需要大量抽樣次數(shù)才能有少數(shù)失效樣本被抽中。為了減少抽樣次數(shù)，IS算法利用測度變換增大極限事件的發(fā)生概率，亦即使對(duì)失效率貢獻(xiàn)大的區(qū)域以較大概率被抽中。設(shè)計(jì)點(diǎn)是失效域附近密度函數(shù)值最大的點(diǎn)，因此IS算法選擇設(shè)計(jì)點(diǎn)為抽樣中心來提高抽樣效率。基于上述IS方法的原理，可將式(1)中失效概率的積分區(qū)域從失效域改寫到整個(gè)設(shè)計(jì)空間：

(7)

式中：Θ∈RN為設(shè)計(jì)空間；IG(x)為示性函數(shù)，表征樣本是否在失效域中；當(dāng)G(x)≤0時(shí)，有IG(x)=1；當(dāng)G(x)>0時(shí)，IG(x)=0。引入的hX(x)是關(guān)于隨機(jī)變量的重要抽樣密度函數(shù)，hX(x)需要滿足歸一性、非負(fù)性且其分布類型應(yīng)當(dāng)便于采樣。考慮式(7)的統(tǒng)計(jì)意義可以得到失效概率的期望為

(8)

表明重要抽樣法求得的失效概率的估計(jì)值為無偏估計(jì)，此處可得最優(yōu)重要抽樣分布為

(9)

(10)

由于樣本方差依概率收斂于母體方差，即有

(11)

(12)

2.2 重要抽樣分布的核密度估計(jì)

使用樹形馬氏鏈抽樣得到表征失效域的樣本點(diǎn)之后，需要通過樣本點(diǎn)得到重要抽樣分布，本文采用描述能力較強(qiáng)的自適應(yīng)核密度估計(jì)(Kernel Density Estimation, KDE)算法，來構(gòu)建重要抽樣分布密度函數(shù)。核密度估計(jì)[14-15]的本質(zhì)是用一系列核概率密度函數(shù)的組合來產(chǎn)生合適的目標(biāo)分布，形式為[16]

(13)

式中：θ(j)(j=1,2,…,M)為樹形馬氏鏈生成的樣本點(diǎn)；這里的n為設(shè)計(jì)變量的維數(shù)；ω為窗口寬度；λi為局部帶寬因子，用來調(diào)整窗口寬度的值；K(·)為核概率密度函數(shù)，通常取正態(tài)分布類型。

窗口寬度參數(shù)ω的本質(zhì)是各個(gè)核概率密度函數(shù)進(jìn)行組合時(shí)的權(quán)重，其決定了最終的核函數(shù)的平滑性。過大的ω值會(huì)使核函數(shù)過于“光滑”而丟失局部特性；過小的ω值會(huì)導(dǎo)致核函數(shù)尾部因?yàn)榀B加效應(yīng)而產(chǎn)生波動(dòng)(或稱為噪聲)。文獻(xiàn)[17]中給出了較好的值選擇：

(14)

式中:Md為不同樣本的個(gè)數(shù)(Md

(15)

式中：α∈[0,1]，通常取α=0.5[18]；當(dāng)α=0時(shí)，自適應(yīng)核密度估計(jì)變?yōu)楣潭ù翱趯挾群嗣芏裙烙?jì)。

2.3 TMCIS可靠性分析方法流程

提出了基于TMCIS模型的系統(tǒng)可靠性分析方法，分析流程如圖3所示。其基本思想是：通過樹形馬氏鏈，快速生成盡可能服從真實(shí)目標(biāo)分布的隨機(jī)樣本后，對(duì)這些樣本進(jìn)行核密度估計(jì)得到重要抽樣分布函數(shù)，從獲得的分布函數(shù)進(jìn)行抽樣，得到隨機(jī)的設(shè)計(jì)狀態(tài)樣本，判斷每個(gè)樣本下系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的工作狀態(tài)，來評(píng)估系統(tǒng)的失效概率并計(jì)算該次評(píng)估的方差。

圖3 TMCIS可靠性分析方法流程Fig.3 Flowchart of TMCIS reliability analysis method

3 算例分析

本節(jié)通過2個(gè)數(shù)值算例和1個(gè)工程算例，對(duì)所提算法的適應(yīng)性、計(jì)算效率和準(zhǔn)確度進(jìn)行檢驗(yàn)。選用了其他算法與本文方法進(jìn)行對(duì)比分析，其中包括：原始蒙特卡羅(MC)算法、一次二階矩法(FOSM)及改進(jìn)一次二階矩法(AFOSM)、原始重要抽樣法(IS)、Metropolis-Hasting算法(M-H)。各算例結(jié)果如表1所示，N為各方法的樣本總量和TMCIS方法中樹形馬氏鏈的抽樣數(shù)，M為TM-CIS方法的重要抽樣數(shù)；表中數(shù)據(jù)除AFOSM的

表1 算例1各方法計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of methods in Example 1

結(jié)果為公式推導(dǎo)所得，其余均為50次計(jì)算結(jié)果均值。本文提出的TMCIS方法在各算例中均使用高斯核進(jìn)行自適應(yīng)核密度估計(jì)。

算例1選取非線性程度較強(qiáng)的LSF檢驗(yàn)TMCIS方法對(duì)強(qiáng)非線性多維問題的處理能力。所選極限狀態(tài)函數(shù)為

g(θ)=3-Y+(4X)4

(16)

這里θ=(X,Y)為隨機(jī)向量，2個(gè)隨機(jī)變量X、Y獨(dú)立同分布且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，系統(tǒng)有一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)位于(0,3)處。TMC算法中m=4，跳轉(zhuǎn)向量采用1.2節(jié)中變換矩陣法生成。TMCIS模型對(duì)本例抽樣結(jié)果如圖4所示，樣本點(diǎn)自適應(yīng)地從起點(diǎn)轉(zhuǎn)移至設(shè)計(jì)點(diǎn)周圍，圖中帶數(shù)字標(biāo)簽的等高線為KDE方法得到的重要抽樣分布(重要抽樣樣本量與TMC樣本量皆為800)，KDE樣本為該分布生成的重要抽樣樣本。

本算例使用了4種方法分別進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如表1所列，以MC算法的失效率估計(jì)值作為準(zhǔn)確解，其中ε是其他3種算法計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解間的相對(duì)誤差，CALL為調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)的次數(shù)。

圖4 算例1的抽樣結(jié)果Fig.4 Sampling results of Example 1

表1數(shù)據(jù)表明TMCIS算法在少樣本量下計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差是AFOSM算法的1/5，這是由于AFOSM算法本質(zhì)上是將非線性LSF在設(shè)計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，僅取線性部分來近似計(jì)算失效概率。因此，當(dāng)LSF的非線性程度較高時(shí)，AFOSM算法會(huì)產(chǎn)生較大誤差，而TMC的抽樣機(jī)制使得其抽得的樣本盡可能地反映LSF的非線性信息，因此，相較而言TMCIS算法更適合處理非線性問題且能夠在較少的樣本量下得到較高準(zhǔn)確度的計(jì)算結(jié)果。

算例2某串聯(lián)系統(tǒng)[10]的極限狀態(tài)函數(shù)為

g(x)=min(g1,g2)

(17)

式中:串聯(lián)的2個(gè)子系統(tǒng)極限狀態(tài)函數(shù)分別為

表2中給出了上述各算法在不同樣本量時(shí)的計(jì)算結(jié)果，圖6反映了表2中計(jì)算結(jié)果隨樣本量的變化規(guī)律。圖6中水平虛線處的縱坐標(biāo)為Pf的精確值，虛線上下兩側(cè)的點(diǎn)線分別是誤差為±5%的位置，從圖中可以看出算法的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性方面TMCIS算法最佳，IS算法次之，MC算法最差。并且TMCIS算法相較于IS算法在樣本量較小時(shí)即可得到高準(zhǔn)確度的結(jié)果。另外，從表2中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)N/M的值接近1且N+M的值在800～10 000之間時(shí)TMCIS算法性能最優(yōu)。

圖5 不同方法抽樣的結(jié)果Fig.5 Sampling results by different methods

表2 不同樣本量下3種算法計(jì)算失效概率結(jié)果Table 2 Calculation results of failure probability by three methods under different sample sizes

算法Pf/10-5(Cov)N/104=0.020.040.080.10.20.40.81MC7.90 (0.21)7.50 (0.30)IS7.69 (0.37)5.87 (0.24)6.81 (0.21)6.50 (0.19)6.72 (0.11)7.04 (0.17)6.83 (0.23)6.59 (0.18)TMCIS(M=800)6.84(M=200)6.70 (0.24)6.77 (0.11)6.73 (0.23)6.96 (0.12)6.79 (0.34)7.21 (0.19)6.98 (0.25)算法Pf/10-5N/104=24810204080100MC7.95(0.19)7.76(0.12)7.22(0.25)7.29(0.16)7.05(0.21)7.15(0.22)7.23(0.15)6.97(0.14)IS6.82(0.09)6.80(0.13)6.79(0.14)TMCIS(M=800)6.95(0.17)6.90(0.23)7.02(0.22)

圖6 3種方法計(jì)算結(jié)果隨樣本量的變化趨勢Fig.6 Variation of calculation results with sample sizes of three methods

算例3BAT子彈藥(Brainpower Anti-Tank submunition)是一種智能的末制導(dǎo)反坦克彈藥，采用聲波/毫米波復(fù)合導(dǎo)引手段來追蹤、定位目標(biāo)[19]。BAT子彈藥的彈體中部有4個(gè)與彈體縱軸垂直、呈十字形分布的彈翼，4片彈翼的末端安裝了聲信號(hào)傳感器，形成一個(gè)平面四元聲傳感器陣列，如圖7所示。

由于要保證傳感器陣列的測量精度，則各傳感器之間的相對(duì)距離應(yīng)保持在誤差范圍內(nèi)。為了滿足減輕總重和傳感器布線的要求，彈翼框架的主體結(jié)構(gòu)為由28根桿件和16片板殼剛性連接構(gòu)成的三段盒式結(jié)構(gòu)[20]。所有桿件的橫截面積A相同，T為板的厚度；以L1、L2、L3分別表示X、Y、Z方向上桿的長度；桿和板的彈性模量為E，泊松比為常量取0.3；P為加在節(jié)點(diǎn)上的外載荷。翼盒結(jié)構(gòu)和外載荷加載如圖8所示。

圖7 BAT子彈藥外觀結(jié)構(gòu)Fig.7 Structure appearance of BAT submunition

取L1、L2、L3、A、E、P、T為隨機(jī)變量，各隨機(jī)變量的分布類型和分布參數(shù)如表3所列。距離聲傳感器最近的16號(hào)節(jié)點(diǎn)在Y方向上的最大允許位移為4.5 mm，以16號(hào)節(jié)點(diǎn)的Y向位移建立極限狀態(tài)函數(shù)：

g(X)16#,Y=[δ]-δmax(X)

(18)

式中：X為由各隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)向量，即有：X=[L1,L2,L3,A,E,P,T]T;δmax(X)為各基本隨機(jī)變量為X狀態(tài)時(shí)16號(hào)節(jié)點(diǎn)的最大位移；TMC算法的m=8，8個(gè)子點(diǎn)中包含一個(gè)基本候選點(diǎn)和7個(gè)擴(kuò)充候選點(diǎn)。不同于算例1、2使用變

圖8 翼盒結(jié)構(gòu)及外在加載示意圖Fig.8 Schematic of wing box structure and external loading

表3 翼盒結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量分布信息

Table 3 Random variable distribution information of wing box structure

隨機(jī)變量均值變異系數(shù)分布類型L1/m0.60.10正態(tài)分布L2/m0.20.10正態(tài)分布L3/m0.40.10正態(tài)分布A/m20.00010.10正態(tài)分布E/GPa710.10正態(tài)分布P/N15000.10正態(tài)分布T/m0.0030.10正態(tài)分布

換矩陣生成跳轉(zhuǎn)向量，本算例依靠基本向量的坐標(biāo)輪轉(zhuǎn)生成跳轉(zhuǎn)向量。坐標(biāo)輪轉(zhuǎn)矩陣為

7個(gè)跳轉(zhuǎn)向量依下列遞推式生成：

表4中給出了各方法的失效概率計(jì)算結(jié)果[21]以及算得該結(jié)果所用的樣本點(diǎn)數(shù)。從表中數(shù)據(jù)可以看出對(duì)非線性部分忽略最嚴(yán)重的AFOSM算法的計(jì)算結(jié)果誤差最大。文中提出的TMCIS算法相較于文獻(xiàn)[22]的算法和MCS算法，用更少的樣本點(diǎn)數(shù)得到了相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果。

表4 算例3失效概率計(jì)算結(jié)果[22]

4 結(jié) 論

1) 文中通過分析算法原理，指出了FOSM算法及AFOSM算法處理強(qiáng)非線性問題時(shí)誤差大的根源，同時(shí)針對(duì)原始MCMC算法單次迭代中，僅抉擇一個(gè)候選狀態(tài)接受與否帶來的效率問題，提出了TMCIS模型。TMCIS的多候選點(diǎn)抽樣機(jī)制保證了模型抽得的樣本能充分自適應(yīng)地探索設(shè)計(jì)域，在失效概率密度大的區(qū)域進(jìn)行局部多鏈并行抽樣，使得模型搜索效率提高的同時(shí)加快收斂速度。

2) 為了提高模型的穩(wěn)定性、魯棒性以更加適應(yīng)帶有強(qiáng)非線性特點(diǎn)的工程問題，TMCIS模型將TMC抽樣算法與自適應(yīng)核密估計(jì)結(jié)合，使得到的重要抽樣分布與真實(shí)失效分布達(dá)到最大程度的近似。文末算例顯示出了所提算法在不同樣本量下，對(duì)超低失效率、串聯(lián)系統(tǒng)問題的計(jì)算結(jié)果均能收斂到真值的范圍內(nèi)，驗(yàn)證了TMCIS算法的穩(wěn)定性和可信度。

3) TMC抽樣算法作為TMCIS模型的核心部分，其所具有的多候選狀態(tài)抽樣機(jī)制，在提高遍歷性能以解決非線性問題的同時(shí)，能夠進(jìn)一步利用多個(gè)候選狀態(tài)中攜帶的額外失效域信息，使得核密度估計(jì)的結(jié)果更加接近真實(shí)失效分布。這是文中所列算例中基于TMCIS模型的可靠性分析方法能以較少的樣本點(diǎn)得到準(zhǔn)確失效率的原因。