伺服關節驅動的柔性臂系統耦合動力學模型辨識與實驗

周優鵬,婁軍強,陳特歡,馬劍強,魏燕定

(1.寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211;2.浙江大學 機械工程學院，浙江省先進制造技術重點實驗室,杭州 310027)

具有移動靈活方便、載荷/自重比高等優點的柔性機械臂和柔性機器人在航空航天及工業生產中得到了廣泛應用[1-2]。為了實現高精度的平穩操作，柔性臂機器人大多采用轉動平穩的伺服電機進行驅動；同時為了滿足輕型和低能耗等要求，柔性臂機器人關節中常集成諧波減速器等部件[3]。伺服電機及諧波減速器組成的伺服驅動關節是最典型的驅動形式[4]。

由于從伺服電機的驅動控制力矩到柔性臂末端的操作移動具有顯著的非最小相位特性，導致柔性臂由于自身結構特性產生的彈性振動在關節定位運動停止后仍長時間存在[5]。這嚴重降低了系統的操作精度和工作效率，并有可能引發共振帶來嚴重后果。因此研究伺服關節驅動的柔性臂機器人的動力學特性并抑制其彈性振動是柔性臂機器人領域的重要研究課題并成為研究熱點[6]。

為了提高伺服關節驅動的柔性臂系統的定位精度，必須要掌握其動力學特性，建立合理描述系統特性的動力學模型。但是目前在柔性臂動力學特性的研究中大多直接以力矩控制量作為伺服關節的驅動輸出，重點放在柔性臂的振動特性上[7]。孫漢旭等[8]對伺服驅動關節的柔性和摩擦特性進行了研究，邱志成等[9]研究了行星減速器的非線性特性對旋轉雙柔性臂振動特性的影響。Cambera等[10]基于集中質量模型，得到了柔性臂的彈性振動與電機驅動特性之間的耦合關系。Bossi等[11]從電機的驅動電壓和轉角之間的關系出發，建立了伺服關節的傳遞函數驅動模型。總之，伺服驅動的柔性臂系統的動力學特性不僅包括柔性臂的振動特性，還應包含關節的驅動特性，以及二者之間的耦合關系[12]。考慮到電機的摩擦特性、諧波減速器的傳動特性還不能完全掌握[13]，如何從實驗的角度研究伺服驅動的柔性臂系統的電機摩擦特性、驅動特性以及柔性臂振動特性，是掌握柔性臂機器人系統耦合動力學特性的關鍵；也是實現柔性臂機器人運動控制與振動抑制的前提和基礎。

針對伺服關節驅動的柔性臂系統的耦合動力學建模問題，本文首先理論上分析了其整體動力學模型，然后根據驅動關節特性對電機勻速正反轉實驗數據進行線性擬合，掌握了關節的摩擦特性。接著分別建立了從伺服電機控制電壓到編碼器檢測的電機轉角和伺服控制電壓到代表柔性臂振動的應變橋路輸出的傳遞函數。通過偽隨機二進制信號激勵辨識和正弦信號激勵驗證，得到了與實際結構響應具有較高吻合度的系統耦合動力學模型，精確地預測出了系統的轉動位移和振動響應。

1 伺服關節驅動的柔性機械臂系統建模

本文的研究對象為伺服關節驅動下的柔性機械臂結構，其運動示意圖如圖1所示。伺服關節在控制電壓信號的激勵下做旋轉運動，柔性機械臂通過夾持裝置固定在關節輸出端，在剛柔耦合的作用下柔性機械臂會產生彈性振動。由此可見，整個系統屬于一個復雜的機電、剛柔耦合系統。其本質是由驅動電壓輸入到伺服關節轉動再到柔性機械臂振動輸出的一個過程。

圖1 柔性臂運動的坐標示意圖Fig.1 Coordinate diagram of the flexible manipulator

圖中坐標系xooyo為固定慣性坐標系，坐標系xoy為固連在柔性臂根部的浮動坐標系，ρb,Eb,Ib分別為柔性臂的密度，彈性模量和極慣性矩，θm(t)為柔性臂根部繞減速器輸出軸的轉角，θt(t)為柔性臂末端繞減速器輸出軸的轉角，w(x,t)為距離柔性臂根部x處點的彈性位移。

現在考慮力矩平衡的情況下對整個系統進行建模，其動力學模型可以表示如下

(1)

集中質量法物理意義直觀，大大簡化了建模的復雜度，常用于柔性臂振動特性的建模中。由于柔性臂的高階振動模態在其振動位移中所占比重較少，且在小振動變形的條件下，柔性臂的一階振動模態起到主導作用，故此處采用單個集中質量進行柔性臂振動特性建模。柔性機械臂的振動模型可以表示為

(2)

根據材料力學可知3EbIb/lb為柔性臂的回轉剛度，而連接伺服驅動關節和柔性臂的耦合振動力矩Mc，也是驅使柔性臂轉動的驅動力矩，其表達式為

(3)

且容易得知，在諧波減速器的等效下

(4)

聯立式(1)、(2)、(3)、(4)可得到整個伺服關節驅動的柔性機械臂系統的機電、剛柔耦合模型如下所示

(5)

1.1 伺服驅動關節建模

在驅動電機轉動過程中，伺服驅動器接收到控制系統發出的控制電壓信號后，通過內置的電流環將其轉變為電機的控制電流信號。由于伺服驅動器的電響應特性遠高于電機的機械響應速度，故將其視為一個線性比例環節，其等效原理如圖2所示。

圖2 伺服驅動器的等效原理圖Fig.2 Equivalent amplifier scheme of the servo controller

在不考慮柔性臂的情況下，包含直流伺服電機、諧波減速器以及伺服驅動器在內的整個伺服關節的動力學模型為

(6)

式中，i為伺服電機的控制電流，A。

摩擦力矩是影響伺服電機驅動精度的關鍵因素，此處忽略由于安裝誤差引起的與位置有關的摩擦力項，認為伺服電機的摩擦力矩由黏滯摩擦力矩和庫倫摩擦力矩構成，其表達式為

(7)

1.2 柔性機械臂振動特性動力學建模

本文所研究的柔性機械臂結構為薄壁結構，所以在其振動過程中僅考慮其橫向振動位移，在運動的過程中，由于柔性梁橫向振動位移w(x,t)相對于長度尺寸lb較小，其末端轉角θt(t)可以進一步表示為

(8)

將表達式(8)代入式(2)，整理可得

(9)

將表達式(8)代入式(3)，耦合振動力矩Mc可表示為

(10)

在本文的研究中采用應變全橋電路和動態應變儀檢測柔性臂的振動信號，應變全橋電路檢測到的柔性臂振動信號經動態應變儀調理放大后，輸出的電壓信號為

(11)

式中:Kg為動態應變儀的放大增益，Ss為電阻應變片的靈敏度系數，U0為橋接電路的供橋電壓，εs為傳感器檢測到的柔性臂根部應變。w″(x,t)為彈性位移對位置x的兩階偏導數。

在單個集中質量及小彈性變形的假設前提下，柔性臂的根部應變與末端應變具有線性變換關系，結合式(11)可以得到

(12)

式中，β為根部與末端應變的線性變換系數。將式(12)的結果代入式(10)，應變全橋電路的輸出電壓與耦合振動力矩具有如下線性關系

(13)

將式(12)的結果代入柔性臂的動力學方程式(9)，并在零初始條件下對方程兩邊進行Laplace變換，得到柔性臂動力學方程的復數s域表示形式為

(14)

式中，變量下標為大寫字母均表示s域內變量。

在伺服電機轉速不為零的前提下，如果從伺服電機端看過去，結合表達式(13)，伺服關節的耦合驅動模型(1)可以進一步表示為

(15)

為了便于后續的系統模型實驗辨識，結合電機耦合驅動模型式(15)，定義虛擬的控制輸入信號uin(t)

(16)

將式(16)代入式(15)，整理可得

(17)

在零初始條件下對式(17)兩邊進行Laplace變換，并將式(14)的結果代入，最終建立伺服關節驅動的柔性臂系統機電耦合、剛柔耦合的傳遞函數模型

(18)

(19)

從最終得到的系統耦合動力學傳遞函數模型式(18)和(19)中可以看出：驅動關節在驅動柔性臂轉動的過程中，不可避免的激起了柔性機械臂的彈性振動。式(18)反映了從伺服電機的伺服控制電壓到電機轉角之間的關系，體現了系統機電耦合的驅動特性；而式(19)反映了從伺服電機控制電壓到檢測柔性臂振動的應變檢測電壓的關系，證實了系統剛柔耦合的振動特性。

2 實驗系統描述

實驗系統關鍵部件的特征參數如表1所示。伺服關節驅動的柔性臂系統結構見圖3。

表1 柔性臂系統參數值表Tab.1 Parameter values of the flexible manipulator system

柔性臂根部通過夾持裝置固定在驅動關節的輸出端。驅動關節由直流伺服電機(瑞士Maxon，型號：EC-60)和諧波減速器(日本Harmonic Drive，型號：CSF-20-50-2UH-LW-SP)組成。實驗中利用安裝在電機尾部的光電編碼器(瑞士Maxon，型號：HEDL-9140，分辨率：500 p/r)檢測電機的轉動信息，該信息經伺服驅動器(瑞士Maxon,ESCON-70/10)調理后，通過USB接口傳輸到計算機控制系統中。控制系統利用數據采集卡(美國NI,型號PCI-6221(37 Pin))的D/A模塊發出電機控制信號，通過伺服驅動器驅動電機運動，經諧波減速器減速后，帶動柔性臂在平面內轉動。實驗中利用黏貼在柔性臂根部的應變傳感器檢測柔性臂的振動情況，通過全橋電路將應變信號轉變為電信號，經動態應變儀(江蘇聯能，型號：AFT-095，放大增益5 000)調理后通過數據采集板卡的A/D模塊傳送至計算機中，整個測控系統基于NI-LABVIEW數據采集平臺，其實物裝置系統如圖4所示。

圖3 伺服關節驅動的柔性臂系統結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of the flexible manipulator system

圖4 柔性臂系統實驗裝置圖Fig.4 Experimental setup of the proposed system

3 摩擦及傳遞函數模型辨識

3.1 驅動關節摩擦模型辨識

(20)

(a)正轉實驗

(b)反轉實驗數據

表2 擬合直線的特征參數值Tab.2 Parameter values of the fitting lines

3.2 系統耦合傳遞函數模型的實驗辨識

系統模型特征參數的辨識精度嚴重依賴于輸入激勵信號的選擇。為了實現系統耦合動力學模型的實驗辨識，采用具有近似白噪聲性質的偽隨機二進制序列(Pseudo-Random Binary Sequence,PRBS)作為輸入激勵信號[14]。為了避免庫倫摩擦力引入的系統非線性，在原來PRBS序列的基礎上加上一定的直流分量作為輸入激勵信號開展辨識實驗研究。辨識實驗過程中，PRBS信號的幅值區間取[-0.2 ﹢0.2]V，直流分量信號的幅值為1.2 V，激勵時間為5 s，設置采樣頻率200 Hz。基于式(16)，得到用于系統模型辨識的虛擬控制輸入信號uin(t)見圖5。可以看出uin(t)的值均大于零，從而保證了辨識過程中庫倫摩擦力的大小和符號保持不變，消除了其帶來的非線性。

圖6 虛擬控制輸入PRBS信號uin(t)Fig.6 Virtual input PRBS signal uin(t)

以圖6中的虛擬控制輸入信號uin(t)為輸入，借助MATLAB系統辨識工具箱對輸入輸出實驗數據進行傳遞函數辨識，基于式(18)得到的傳遞函數模型，采用模型預測法(Model Prediction Method)得到從虛擬輸入到電機轉角的傳遞函數

(21)

圖7給出了在圖6所示的虛擬輸入信號激勵下，辨識模型G(s)的預測輸出與實際電機轉動角度的比較結果。從圖中可以看出二者具有較高的吻合度，辨識模型G(s)預測的電機轉角曲線和實際測得的電機轉動角度高度基本吻合，且二者的偏差在0 V左右上下波動見圖7中的點劃線。

圖7 辨識模型G(s)與實驗結果比較圖Fig.7 Comparison result between identified model G(s)and experimental data

同樣基于式(19)進行從虛擬控制輸入uin(t)到柔性臂應變輸出Vout(t)的傳遞函數H(s)辨識。得到

(22)

圖8給出了辨識模型H(s)預測輸出與實測的柔性臂應變振動電壓信號的比較結果。從圖中可以看出二者變化趨勢基本一致，模型H(s)大體上能夠反映柔性臂在激勵信號下的振動響應，模型預測值與實驗數據之間的偏差見圖中虛線。

圖8 辨識模型H(s)與實驗結果比較圖Fig.8 Comparison result between identified model H(s)and experimental data

需要指出的是，辨識結果式(22)和(21)分母多項式的對應系數存在著較大的差異，這點與理論推導結果不一致。造成這種情況的具體原因如下：從式(18)和(19)理論模型的推導過程中可以看出：伺服電機的控制輸入Vin(t)并沒有直接改變柔性臂的應變振動輸出Vout(t)，而是通過改變驅動關節的轉角來間接影響柔性臂的振動。由于在兩個模型H(s)和G(s)的辨識過程中不可避免地存在著測量噪聲、測量誤差，導致兩個辨識模型與實際結構的動力學響應存在著一定程度的辨識誤差。特別是模型H(s)的實驗辨識結果是實際結構影響存在著不可忽略的差異，導致H(s)和G(s)模型的分母多項式系數差異較大。

從辨識模型H(s)的預測輸出和實際應變輸出的頻域響應曲線比較圖9可以進一步看出：柔性臂在伺服關節驅動下產生了強烈的彈性振動，其振動響應頻譜覆蓋0～100 Hz，且一階固有頻率占據主導位置。雖然辨識模型H(s)與實際結構在10～100 Hz頻域區間內的響應特性具有一定的差異，存在著一定程度的失真，導致辨識模型H(s)的辨識精度下降。但是H(s)在固有頻率附近處與實際結構的頻率響應基本重合，較高精度地刻畫了柔性臂在伺服關節驅動的一階振動特性。

圖9 H(s)與實驗結果頻域響應比較圖Fig.9 Comparison of frequency responses between identified model H(s)and experimental data

4 模型驗證

為進一步校驗辨識得到的兩個傳遞函數模型與實際結構的匹配程度，圖10給出了二者在同一個正弦信號激勵下輸出結果的比對情況，正弦信號的頻率為3.5 Hz，幅值區間為[1 1.5] V，激勵時間為2 s。

為進行定性分析，定義模型匹配度指標

(23)

顯然模型匹配度越高，代表辨識模型與實際結構越接近。注意模型H(s)在正弦信號激勵下的模型匹配度指標高于隨機信號激勵實驗，這是由于偽隨機信號的頻譜比較豐富，而正弦信號的頻率與柔性臂一階固有頻率接近，因而更易激起柔性臂的一階振動模態。從圖10以及表3結果均表明：辨識得到的模型G(s)在偽隨機信號和正弦信號的驅動下都較為準確地預測了電機的驅動角度，代表了系統驅動關節的驅動特性；而模型H(s)也反映了不同驅動條件下柔性臂的振動特性。顯然通過系統辨識，不僅得到了伺服驅動關節的摩擦特性以及驅動特性，還得到了柔性臂的振動特性，二者綜合起來反映了伺服關節驅動的柔性機械臂系統的機電耦合、剛柔耦合特性。

(a)辨識模型G(s)與實驗結果比較圖

(b)辨識模型H(s)與實驗結果比較圖

(c)辨識模型H(s)與實驗結果頻響比較圖

表3 模型匹配度指標計算表Tab.3 Values of the model fitness percentage

5 結 論

研究了伺服關節驅動的柔性臂系統的耦合動力學建模問題。針對直流伺服電機、諧波減速器以及伺服驅動器組成的伺服驅動關節，通過對電機的勻速正反轉實驗數據進行線性擬合得到了關節的摩擦特性。結合柔性臂的振動方程和伺服關節的驅動模型建立了對應系統機電、剛柔耦合的傳遞函數。分別是從伺服電機控制電壓到編碼器檢測的電機轉角的關節驅動模型和從伺服控制電壓到代表柔性臂振動的應變橋路輸出的柔性臂振動模型。通過偽隨機二進制序列信號激勵，辨識得到了與實際結構響應具有較高吻合度的系統耦合動力學模型，該模型精確地預測出了系統的轉動位移和振動響應，代表了伺服關節驅動的柔性臂系統的耦合動力學特性。本文從實驗辨識的角度研究了柔性臂系統耦合動力學建模問題，為伺服驅動的柔性臂系統的動力學建模提供了有益的借鑒和嘗試，為后續進行柔性臂系統的運動控制和振動抑制奠定了基礎。