混沌驅動-響應系統形狀漸近同步控制及其在保密通訊中的應用

黃運昌， 湯 曉， 王銀河*

(1.廣東工業大學 自動化學院， 廣東 廣州 510006； 2.廣州亞俊氏電器有限公司， 廣東 廣州 510006)

0 引 言

混沌作為非線性系統的一種獨特的動力學現象,在自然和工程實踐中廣泛存在[1-2].由于混沌現象的遍歷性和偽隨機性,因而它應用于許多工程實踐中.近十幾年來,混沌同步一直是研究非線性科學的熱點課題之一.在混沌同步控制中,最典型的是完全同步[3-5],該同步保證驅動與響應混沌系統的狀態變量隨著時間的推移漸近趨于相同.針對這類同步,許多相應的驅動-響應控制方法被提出,例如,利用線性反饋控制實現驅動-響應混沌同步控制[3],考慮分數階超混沌系統,通過滑模控制器實現兩個系統的同步[4],針對一類不確定混沌系統,模糊自適應同步控制被提出[5].另外,對完全同步的概念進行延伸,又出現有廣義同步[6]、投影同步[7]、滯后同步[8]、反同步[9]等.

值得注意的是,完全同步概念主要是基于混沌系統狀態變量之間的距離關系,要求狀態變量之間的距離漸近為零,其他類型的同步概念也直接與系統狀態相關,并未涉及系統狀態軌線的形狀. 對于由微分方程確定的混沌系統,在給定的初始條件下,其狀態解在其狀態空間中呈現為一條空間軌跡曲線(吸引子),該曲線具有特定的形狀,而且不同的混沌系統,其在狀態空間中呈現的空間軌跡曲線的形狀也不同.可見,系統狀態軌線的形狀也蘊含了系統運行的某些重要的信息,因而從混沌吸引子的形狀出發討論形狀同步也具有一定的理論和實踐意義,但是現有的相關文獻鮮有涉及形狀同步的研究.所謂“形狀同步”,是指通過控制作用,使得驅動和響應混沌系統曲線的狀態曲線趨于相同.文獻[10]討論了混沌系統的驅動-響應形狀同步,并通過設計的控制器保證驅動-響應系統曲線的弧長和曲率完全相同,實現了形狀完全同步.但是,該方法在混沌系統選取上具有一定的局限性,同時控制器也較為復雜,不易于推廣.

基于微分幾何的平面基本理論[11],二維平面曲線經過剛體變換,會發生相應的旋轉、平移,但是其形狀并不會發生改變.因此,對于二維平面中兩條形狀相同的曲線,一定存在某一剛體變換使得兩條曲線重合.受此啟發,只要保證驅動和響應系統曲線滿足剛體變換關系,那么也可以實現形狀同步.然而,如何通過結合剛體變換和同步控制使得驅動系統和響應系統曲線實現形狀同步,目前這方面的研究仍然較少.

此外,混沌信號具有非周期性、連續寬帶頻譜、類噪聲的特性以及異常復雜的運動軌跡和不可預測性,而且軌跡對初值非常敏感,使得混沌信號成為非常合適的保密通信的載體[12].混沌同步控制理論的發展,為混沌保密通訊技術的進一步發展奠定了理論基礎.當前,同步保密通訊技術主要包括混沌遮掩技術、混沌鍵控技術和混沌參數調制技術[13].這些技術利用混沌同步控制,使發送端驅動和接收端響應系統狀態變量距離滿足完全相同或者一些特定關系,從而實現了保密信息復原.由于形狀相同的吸引子之間的狀態變量距離沒有固定的關系,利用相同形狀的混沌系統曲線進行傳輸,能夠增加信號復原的難度,從而提高通訊保密的安全性.因此,基于形狀同步的保密通訊具有實際的工程意義.

通過上述討論,本文提出了混沌系統驅動-響應形狀漸近同步的概念以及一種形狀漸近同步控制器.此外,結合混沌掩蓋技術,利用提出的形狀同步控制方法,設計了一種形狀同步保密通訊方案.

1 系統描述

一類混沌驅動系統[5]描述為

(1)

其中狀態向量x(t)=[x1(t),x2(t)]∈R2,非線性函數f1(x(t),t)是一個光滑的時變向量函數,A1是常實數矩陣.

設響應系統描述為

(2)

其中狀態向量y(t)=[y1(t),y2(t)]∈R2,非線性函數f2(y(t),t)是一個光滑的時變向量函數,A2是常實數矩陣,u(t)=[u1(t),u2(t)]T∈R2為控制輸入.

注1：對于給定初始時刻t0和初始位置x(t0)=[x1(t0),x2(t0)]T,驅動系統具有滿足這個初始條件的解φ(x(t0),t0),這個解在相平面內表現為光滑的平面曲線r1(t)=[x1(t),x2(t)]T,稱為驅動系統曲線.同理,響應系統也表現為一條光滑的平面曲線r2(t)=[y1(t),y2(t)]T,稱為響應系統曲線.

引理1.1[11]設c1(t)和c2(t)是R2中的兩條平面曲線,如果c1(t)經過一個剛體運動后與c2(t)重合,那么稱曲線c1(t)和曲線c2(t)形狀完全相同,此時存在一個二維實數正交矩陣Q與實數向量p,滿足Qc1(t)+p=c2(t).

將引理1.1中關于兩條平面曲線形狀完全相同的概念加以擴展,得到如下定義.

定義1.2考慮驅動系統(1)與響應系統(2),如果在控制輸入u(t)作用下,從t0開始驅動系統曲線與響應系統曲線形狀漸近相同,則稱為形狀漸近同步.

2 形狀同步控制設計

控制目標：設計控制輸入u(t)使驅動系統(1)與響應系統(2)在控制輸入u(t)作用下形狀漸近同步.

針對混沌驅動系統(1)和響應系統(2),定義形狀同步誤差如下：

z(t)=Qx(t)+p-y(t)

(4)

其中，Q為二維實數正交矩陣且QTQ=E(單位矩陣),p為實數向量.

其導數為

A2y(t)-f2(y(t),t)-u(t)

(5)

為了實現上述控制目標,對于響應系統的控制器可以設計如下:

u(t)=QA1QT(z(t)-p)+(QA1QT-A2)y(t)+

Qf1(x(t))-f2(y(t))+kz(t)

(6)

其中k為正可調參數.

定理2.1考慮混沌驅動系統(1)和響應系統(2),采用所設計的控制器(7),可保證驅動系統與響應系統達到形狀漸近同步.

證明

首先,選取如下候選的Lyapunov函數：

(7)

其中,B為正定對稱矩陣.

對其作時間的導數

(8)

將式(5)代入得到

以“兩微一端”為代表的新媒體成為當下媒體發展的主流，越來越多的媒體借助微信、微博和客戶端不斷拓展發展平臺。傳統媒體的發展囿于電視傳播，但是，移動設備的普及逐漸取代電視的功能，發揮更加靈活的作用。傳統媒體只有與新媒體融合，借助手機客戶端等推出簡潔的信息傳播方式，將圖片、文字和視頻等集中在較短的篇幅內傳播，適應當下觀眾對效率和快節奏生活的要求，為傳統媒體發展贏得更多的用戶，創新信息傳播的方式，擴展發展平臺。

A2y(t)-f2(y(t),t)-u(t))

=zT(t)B(QA1QTQx(t)-QA1QTy(t)+

QA1QTy(t)-A2y(t)+Qf1(x(t),t)-

f2(y(t),t)-u(t))

(9)

由式(4)得：

A2)y(t)+Qf1(x(t))-f2(y(t))-u(t))

(10)

將控制器(6)代入式(10)中,得到

(11)

3 數值仿真

選用Duffing方程式[14]作為混沌驅動系統,其模型為如下方程,

(12)

其中

響應系統設計如下：

(13)

取

設計形狀漸近同步控制器如下：

u(t)=QA1QT(z(t)-p)+(QA1QT-A2)y(t)+

Qf1(x(t))-f2(y(t))+kz(t).

選取k=5，通過Matlab軟件仿真得到結果見圖1～圖2：

圖1 相位圖

圖2 形狀同步誤差

4 形狀漸近同步在保密通信中的應用

上述仿真表明,由于形狀同步對兩個系統狀態變量之間的距離沒有固定的關系,因此，要使兩者完全重合,需要通過平面的某一剛體變換才能實現.利用這一特點,形狀漸近同步控制可以在保密通信中得到運用.即使截獲傳輸的混沌系統信號,也僅能夠得到加密信號和驅動信號的形狀,具體的曲線位置并不能確定,無法破譯傳輸信息,因此，提高了保密系統的安全性和靈活性.結合混沌掩蓋技術,構建混沌形狀同步保密通信系統見圖3.

圖3 保密通信系統

圖4 公共傳輸信號

圖5 傳統方式復原信號與原始信號

圖6 響應輸出信號與原始信號

圖7 復原誤差

由上述理論分析和仿真結果可知，本文提出的形狀漸近同步遮掩調制的混沌保密通信與傳統的混沌保密通信方法相比有如下優點：

(1)傳輸信號是由驅動信號經過剛體變換后疊加原始信號形成的，即使信號被截獲，兩者之間的差值并非原始信號.因此,本方案具有較強的保密性.

(2)形狀相同的曲線在二維平面中難以枚舉，利用不同的剛體變換，可以提高密鑰選擇的靈活性，并增加保密性.

(3)漸近同步控制器可以調節參數使得響應時間加快，從而有效地減少通訊帶來的干擾，盡可能地保證原始信號無失真的恢復.

5 結 論

本文針對一類二階混沌系統,首先,基于微分幾何基本理論,提出了驅動響應混沌系統曲線形狀漸近同步的概念.形狀漸近同步的提出拓寬和豐富了混沌同步理論.其次,通過設計形狀同步控制器,保證了驅動系統和響應系統曲線形狀漸近同步.根據Lyapunov 穩定性原理,對形狀同步誤差收斂進行了證明.同時,結合混沌掩蓋的方法,設計了基于一類驅動響應混沌系統的形狀同步混沌保密通信方案.最后,通過數值仿真進行驗證.由于當前對于形狀同步的研究較少,因此相應的理論仍需要深層次的完善和挖掘,同時基于形狀同步的應用還有待進一步拓展.