纖維質多孔材料中纖維間接觸點數量的理論模型

白 赫， 錢曉明， 范金土,3， 錢 幺， 劉永勝， 王小波

(1. 天津工業大學 紡織科學與工程學院， 天津 300387； 2. 天津師范大學 物理與材料科學學院，天津 300387； 3. 香港理工大學 紡織及服裝學系， 香港 999077)

纖維質多孔材料中纖維間接觸點的數量是分析該類材料性能的重要參數之一，其與產品的力學性能[1]、孔隙率和孔徑分布[2-3]、過濾性能[4-5]相關。最早應用在研究多孔介質內部孔徑分布的理論是泊松多邊形法[6]，利用二維泊松分布構建多邊形，并指出所構造多邊形多為四邊形，再以多邊形內切圓的半徑表示孔徑大小，研究結果表明孔徑分布與多邊形數量呈負指數關系，該結論也在文獻[7-8]中使用Monte-Carlo方法得到了驗證。Komori和Sampson等[9-10]結合數學統計理論，研究了纖維在三維空間隨機分布情況下，纖維間接觸點數量與纖維直徑、體積分數的函數關系。但由于纖維質多孔材料結構具有微觀各向異性的特征，因此，應考慮纖維取向對結構的影響。

本文以泊松多邊形理論為基礎，建立了纖維質多孔材料內部纖維間接觸點數量與纖維空間分布的函數關系，分別研究纖維在二維和三維分布情況下，纖維數量對其接觸點數量的影響。使用Geo-Dict軟件模擬纖維結構并與理論預測值和前人研究結果相比較；最后根據Sampson等的研究結果，提出了纖維接觸點數量與孔隙率的關系。

1 纖維間接觸點數量的理論模型

在研究纖維類多孔材料內部纖維間接觸點數量的問題時，為簡化數學模型并在最大程度上體現物理過程，應做如下研究假設：第一，所有纖維均為不可彎曲的圓柱體，直徑為D(μm)，長度為lf(μm)；第二，各纖維質心在平面隨機分布；第三，當纖維長度遠大于其直徑時，忽略纖維各端點間的連接。

首先，建立笛卡爾坐標系X、Y、Z表示纖維結構，假設纖維M與Z軸夾角為θ，該纖維在X-Y平面的投影與X軸的夾角為φ，因此，多孔介質中纖維取向角可用參量(θ,φ)表示，且0≤θ≤π, 0≤φ≤π，笛卡爾坐標系如圖1所示。

圖1 纖維笛卡爾坐標系Fig.1 Cartesian coordinate system and a fiber in system

在微小變化取向角θ～θ+dθ和φ～φ+dφ中，存在纖維的概率為Ω(θ,φ)sinθdθdφ，其中Ω(θ,φ)sinθ為纖維取向密度函數，且滿足歸一化條件[11]：

(1)

假設在多孔材料體積V中存在取向為(θ,φ)的纖維A和取向為(θ′,φ′)的纖維B，令纖維B的表面與纖維A表面接觸，固定纖維A并使纖維B沿其表面滑動，再固定纖維B并使纖維A沿其表面滑動，將移動后形成的各端點依次連接后構成高為2D，長為lf的空間平行六面體，如圖2所示。

圖2 纖維A與纖維B交替滑動所構成的平行六面體Fig.2 Parallel hexahedron formed by alternating sliding of fiber A and fiber B

則所構成的平行六面體的體積Vfc為

(2)

式中，χ為纖維A與B間的夾角，也是所構成菱形兩邊的夾角，(°)。該角度與纖維取向(θ,φ)的關系為

cosχ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(φ-φ′)

(3)

顯然，當取向為(θ′,φ′)纖維的質心進入區域Vfc中就必然和纖維A相接觸。設纖維多孔材料的體積為V，纖維A(θ,φ)與纖維B(θ′,φ′)的接觸概率為P1，即

(4)

當2個纖維接觸時，其接觸部分長度為D/sinχ1，如圖3所示。

圖3 纖維交叉結構Fig.3 Structure of fiber contact

由于纖維長度有限，故纖維間第2次可能接觸的實際長度范圍變為lf-(D+D/sinχ1)，那么纖維A與其他任一纖維的第2次接觸概率為

(5)

由于纖維間接觸概率為獨立事件，因此,可推導出第i+1次纖維間接觸的概率為：

(6)

(7)

式中，M(θ,φ)為纖維取向角分布概率的均值。

設剩余N-1根纖維與纖維A(θ,φ)接觸點數量為n(θ,φ)，由于纖維間接觸點數量N>>1，故單根纖維接觸點數量的值可近似表示為

(8)

(9)

對式(6)求和可得到：

(10)

Φ(θ,φ)=〈sinχi〉=

(11)

根據統計學理論知，系數為bi的變量xi的混合平均值可表示為

〈bixi〉=〈bi〉〈xi〉

(12)

(13)

設n(θ,φ)足夠大，有n(θ,φ)+1→n(θ,φ)。聯立式(7)、(12)和(13)可得單根纖維接觸點數量為

(14)

式中，Vf=Vfc/V。對式(14)三維所有取向角積分可得到任意兩纖維間接觸點的平均值為

(15)

為使表示簡潔，令：

(16)

(17)

那么，在多孔材料體積V中所有纖維間接觸點的數量可表示為

(18)

2 纖維取向對纖維間接觸點數量影響

目前對纖維類多孔材料結構研究的方法主要有斷層掃描技術[12]、冷場電鏡技術[13]以及數字圖像處理技術[14]，雖然這些技術能表征多孔材料內部的虛擬結構，但對纖維間的接觸規律的研究較少，本文研究使用Geo-Dict軟件構建纖維類多孔介質模型，通過設定纖維特殊取向，模擬并分析纖維間接觸點數量，同時與Wyk、Komori和Pellumb等的研究結果相比較。

Wyk[15]通過計算多孔材料內纖維間的平均距離，得出三維隨機分布纖維間接觸點數量的理論值為

(19)

Komori等[9]在Wyk研究的基礎上，提出了纖維在三維(nk3-D)和二維(nk2-D)空間隨機分布的理論值分別為：

(20)

(21)

Pellumb根據多孔材料中電阻率的分布近似服從冪律函數[16]，得到纖維間接觸點的數量為

(22)

式中：S0為纖維間接觸面積，μm2；b為冪律指數，且根據實驗擬合得出b=1.475。

2.1 纖維三維隨機分布

對于三維隨機分布的纖維結構，取向分布參數θ和φ的取值對分布無影響，此時纖維分布的密度函數[17]為：

Ω(θ,φ)=Ω(θ′,φ′)=

(23)

sinχ(0,0;θ′,φ′)=[1-cos2θ′]1/2=sinθ′

(24)

將式(23)和(24)分別代入式(7)和(13)得到

(25)

(26)

將式(25)和(26)代入式(17)中有

(27)

將式(25)～(27)代入式(14)中可得到任一纖維接觸點的平均值

(28)

利用式(18)可計算出在體積V中纖維間接觸點的總數為

(29)

利用Geo-Dict軟件建立1 500 μm×1 500 μm×1 500 μm的計算域，并生成2種直徑和長度相同的纖維(D=10 μm,lf=500 μm)，分別以深灰和淺灰色表示，纖維在空間的隨機分布如圖4所示。在模擬過程中，通過設置不同的纖維數量構造多孔材料內部結構，使用軟件中Mat-dict模塊分析結構特征，并將理論與模擬值做出比較，結果如圖5所示。

圖4 三維隨機分布纖維結構模擬Fig.4 Three-dimensional random distributionfiber structure simulation

圖5 纖維數量與纖維間接觸點數量的關系Fig.5 Relationship between number of fibers and fiber to fiber contact

從圖5可以看出，當纖維長徑比不變時，纖維間接觸點數量隨纖維數量增加而增加，呈近似線性關系。當纖維數量低于800根時，Komori和Pellumb理論值與本文研究結果相近，當纖維數量增加后，各模型間的差異性明顯，但是可以明顯看出，Wyk模型的理論值均高于其他模型。隨著纖維數量增加，當纖維數量大于1 000根時，本文研究的模擬值開始高于理論值，其主要原因是使用Geo-Dict軟件建模過程中，隨著纖維數量的增加，在計算域內會形成不可避免的纖維間重疊，從而增加了纖維間接觸的數量。整體來看，模擬結果與理論值符合程度較高。

2.2 纖維二維隨機分布

當纖維在二維平面隨機分布時，θ=π/2，0≤φ≤π，纖維取向密度函數可利用狄拉克函數變換得到：

(30)

同樣，由于纖維隨機排列，因此，取向角值的選取是任意的，可計算出：

(31)

(32)

(33)

(34)

將式(32)、(33)代入式(17)中可得：

(35)

那么，在體積V中所有纖維間接觸點的數量可表示為

(36)

同樣使用Geo-Dict軟件建模，令2種纖維在X-Y平面隨機分布，并以深灰和淺灰色區分2種纖維，模擬結構如圖6所示，圖7示出纖維數量與纖維間接觸點數量關系。

圖6 X-Y平面隨機分布纖維結構模擬Fig.6 Simulation of randomly distributed fiber structure in X-Y plane

圖7 纖維數量與纖維間接觸點數量關系(X-Y平面)Fig.7 Relationship between with number of fibers and fiber to fiber contact(X-Y plane)

從圖7可以看出，當纖維數量低于1 000根時，理論值和模擬值近似，但隨著纖維數量增多，纖維在空間中的重合概率增加，導致本文模擬值偏高。而Komori的理論值均高于本文研究結果，其主要原因是在計算纖維接觸的概率時，前者沒有考慮纖維間接觸后不能再次接觸的問題，從而造成纖維可能會在相同位置形成接觸，而這種接觸在客觀環境下是無法產生的，因此，Komori的理論值要高于本文模擬結果。

3 纖維間接觸點數量與孔隙率的關系

對纖維質多孔材料的幾何模型的研究主要以統計學理論為基礎[18-19]，認為多孔材料內部纖維分布規律為泊松過程，Sampson[20]指出，在邊長為x，高為2D的空間中纖維的數量與孔隙率的關系為

(37)

式中，ε為孔隙率。因Sampson研究的為單層纖維結構，而實際工業生產中纖維質多孔材料以多層為主，借鑒Kuwabara在研究流場分布與纖維排列問題上采用的Cell模型[21]，將Sampson的研究域作為代表性單元，則實際計算域體積V中應包含纖維的數量為

(38)

式中，k=H/2D，H為材料厚度，μm。聯立式(8)和(14)可得到

(39)

將式(39)代入式(15)中可得

(40)

根據Kallmes等[22]的研究結果，二維平面隨機分布纖維接觸點數量與孔隙率的關系為

(41)

使用Geo-Dict軟件建立1 500 μm×1 500 μm×1 500 μm 的計算域，設置纖維長度為500 μm，直徑從5 μm遞增至25 μm，將不同孔隙率下所得軟件模擬數值與所研究的理論值和Kallmes模型比較，結果如圖8所示。

圖8 不同孔隙率纖維直徑與纖維間接觸點數量關系Fig.8 Relationship between with fiber diameter and fiber to fiber contact in different porosity

從圖8可以看出：當孔隙率固定時，纖維直徑與纖維間接觸點數量呈近似反比關系，且隨著孔隙率的增加，纖維間接觸點數量明顯減少，當纖維直徑超過40 μm后，接觸點數量近似相同；當纖維直徑不變時，纖維間接觸點數量隨孔隙率的增加而減小。通過比較Kallmes和本文的理論發現，雖然二者間存在偏差，但當孔隙率不變時，隨著纖維直徑增加，二者變化趨勢相同，而Geo-Dict軟件的模擬結果更加符合本文所提出的理論模型。

4 結 論

對纖維質多孔材料的微觀結構特征進行研究，建立了纖維間接觸點數量的理論模型，提出了有限接觸長度區域，分別推導出纖維在三維和二維分布情況下纖維間接觸點數量的理論模型；使用Geo-Dict軟件建立纖維模型，將三維和二維隨機分布纖維質多孔材料內部纖維間接觸點數量的理論值和其他學者的研究結果相比較，得出纖維數量與纖維間接觸點數量呈線性正比關系；根據Sampson等的研究結論，建立孔隙率與纖維間接觸點數量的關系，當纖維在二維平面隨機分布情況下，纖維直徑與纖維間接觸點數量呈反比關系，且隨著孔隙率增加接觸點數量減少明顯。