復雜轉子系統支點動載荷模型及其優化設計

洪杰， 栗天壤， 倪耀宇， 呂春光， 馬艷紅,*

(1. 北京航空航天大學能源與動力工程學院, 北京 100083； 2. 先進航空發動機協同創新中心, 北京 100083;3. 中國航發沈陽發動機研究所, 沈陽 110015)

隨著航空燃氣輪機向高轉速、高負荷的方向發展，轉子系統工作于多階臨界轉速之上，工作中可能經過或靠近彎曲臨界，導致轉子不可避免地產生彎曲變形[1-2]。此時，轉子受離心載荷及輪盤陀螺力矩的影響，使得支點動載荷不再是一個只由不平衡量單一因素引起的“較小的穩態交變力”。尤其是對于廣泛使用的帶有中介軸承的雙轉子系統，其動載荷同時受高、低壓轉子變形的耦合影響，交變特性更加復雜[3-4]。由于中介軸承是雙轉子系統的核心部件，其動載荷過大可能導致相關結構損傷失效引發故障。因此，開展中介支點動載荷力學模型和復雜雙轉子系統振動響應優化設計研究對高推重比渦扇發動機轉子動力學設計技術的發展具有重要工程意義。

由于雙轉子系統的動力特性設計對提高航空發動機結構系統穩健性方面起著重要作用，眾多學者對其進行了大量的理論和實驗研究。早期研究大多是針對雙轉子耦合特性的驗證及振動響應的分析。Childs[5]基于Jeffcott轉子建立了雙轉子-支承結構的力學模型，考慮了陀螺力矩、支承阻尼與非線性等因素，并對葉片丟失激勵的振動響應進行了分析；Athre等[6-7]將不平衡激勵引入傳遞矩陣，建立了雙轉子系統的狀態方程，仿真并通過實驗驗證耦合激勵下的不平衡響應的特點；Li等[8]采用了簡化傳遞矩陣法，對帶中介軸承擠壓油膜阻尼器的雙轉子發動機的穩態不平衡響應進行了分析，并研究了徑向間隙對減振效果的影響。近年來，隨著航空發動機的發展需求，雙轉子系統振動特性優化設計及激勵模型等方面的研究也在不斷深入。Hylton[9]分析了反向旋轉雙轉子發動機的優點，提出了通過調整中介軸承位置靠近模態節點，使雙轉子振動響應幅值最小化的觀點；Chen和Liao[10-11]利用拉格朗日方程，通過有限元法，建立了考慮基礎運動的雙轉子系統運動方程，其中基礎平動相當于只增加外力，而基礎轉動會帶來系統矩陣參數化，對穩態、瞬態響應影響復雜；Yu等[12]通過分析風扇葉片丟失的物理過程，建立了突加不平衡、慣性不對稱及葉片機匣碰摩等激勵模型，得到突加不平衡對瞬態響應影響最大，碰摩可以抑制響應幅值，而慣性不對稱對振動特性影響較小的結論。

上述文獻大多針對不同雙轉子系統激勵模型及振動響應振幅進行計算分析。隨著航空發動機性能的不斷提高，轉子系統的負荷逐步加大，支點振動問題越發突出，有必要開展復雜轉子系統振動響應尤其是中介軸承支點動載荷優化設計技術的研究。本文通過建立單、雙轉子系統支點動載荷力學模型，分析了支點動載荷組成成分及其隨轉子工作狀態的變化規律，結合典型雙轉子系統振動響應的計算分析，提出了通過調整轉子彎曲變形彈性線斜率，實現中介支點動載荷的優化設計方法。

1 轉子系統支點動載荷力學模型

1.1 單轉子系統

通過拉格朗日方程建立單盤偏置轉子的動力學方程，以復數坐標表示轉子旋轉中輪盤中心的橫向位移為r=x+iy，轉角為θ=θy-iθx，x、y、θx、θy為系統廣義坐標。則系統動能為

(1)

圖1 單盤轉子模型Fig.1 Single disk rotor model

系統勢能為

(2)

式中：

其中：EI為截面抗彎剛度。

代入拉格朗日方程，整理得

(3)

式中：k11=k22=krr,k33=k44=kθθ，k14=k41=k23=k32=krθ=kθr。

(4)

因此，轉子受不平衡載荷為

Funbalance=Fu,x+iFu,y=(mr0+q)ω2eiωt

(5)

輪盤受陀螺力矩為

Mgyro=Mg,y-iMg,x=(Jp-Jd)ω2θ0eiωt

(6)

對轉子受力分析可知，兩支點動載荷Fbear1、Fbear2分別為

(7)

根據式(7)可知，在支點動載荷組成成分中，除了由于質量偏心引起的不平衡載荷項，還包括由于轉子彎曲變形引起的輪盤陀螺力矩項。對比1、2兩支點動載荷表達式可知，陀螺力矩的存在，會使得各支點動載荷發生顯著差異，陀螺力矩成分與不平衡載荷成分同相位會使支點動載荷增大，反相位時會使動載荷減小；此外，動載荷大小還與不平衡量所在位置相關，支點2較支點1軸向靠近不平衡量位置，使得支點2中不平衡載荷成分更大，說明支點動載荷受支點附近不平衡量的影響更敏感。因此在轉子動力學設計中，應考慮控制支點附近轉子的彎曲變形，減小不平衡量和陀螺力矩對支點動載荷的影響。

1.2 雙轉子系統

為分析航空發動機雙轉子系統支點載荷的影響因素，根據雙轉子結構特征建立如圖2所示的模型，采用有限元法建立系統運動方程[13]。

圖2 雙轉子系統模型Fig.2 Dual-rotor system model

對于輪盤單元，根據拉格朗日方程建立運動方程為

(8)

式中：ud為輪盤節點位移列陣；Md為輪盤質量矩陣；Gd為輪盤陀螺矩陣；Qd為輪盤廣義力，包括輪盤兩端彈性軸的作用力和力矩，以及輪盤質量偏心引起的不平衡力。

同理，對于轉軸單元，其運動方程為

(9)

式中：us為轉軸節點位移列陣；Ms為轉軸質量矩陣；Gs為轉軸陀螺矩陣；Ks為轉軸剛度矩陣；Qs為轉軸廣義力，包含相鄰軸段的作用力與力矩及不平衡廣義力。

對于支承單元，其運動方程為

-Kbub=Qb

(10)

式中：ub為支點位移列陣；Kb為支承剛度矩陣；Qb為廣義力，也是支點動載荷。

特別地，對于雙轉子系統的中介軸承單元，其運動方程為

(11)

組集方程式(8)～式(10)，消去各單元相互作用內力，并通過方程式(11)進行高、低壓轉子的耦合，可以得到雙轉子系統的振動方程為

2.貨幣政策與上市公司投資效率。表5顯示，無論選擇M1增長率還是M2增長率，回歸結果均顯示出一致性。在投資過度的樣本組中，MP_L1的回歸系數都顯著為正。這驗證了假說2a，即寬松的貨幣政策會加劇企業過度投資問題，而緊縮的貨幣政策則能有效緩解過度投資。在投資不足的樣本組中，回歸系數都在1%的顯著性水平下為負值。這驗證了假說2b，即寬松的貨幣政策會緩解上市公司投資不足的問題，而緊縮的貨幣政策則會使投資不足現象進一步惡化。

(12)

式中：上標h表示高壓轉子項，上標l表示低壓轉子項；i、j分別表示與中介支點相連的高、低壓轉子節點編號；u為節點位移列陣；Q為系統廣義力；M為質量矩陣；G為陀螺矩陣；K為剛度矩陣(不包括中介支點)。

方程式(12)進行適當變形，寫成彈性力與慣性載荷平衡的形式為

(13)

根據式(12)、式(13)可知，雙轉子系統通過中介軸承進行高、低壓轉子振動方程的耦合，支點動載荷和轉軸彈性恢復力除與高、低壓不平衡激勵引起的輪盤、轉軸的離心載荷平衡外，還要與由于轉子彎曲變形產生的輪盤陀螺力矩載荷相平衡(轉軸陀螺效應遠小于輪盤，略去其影響)。中介支點動載荷同時受高、低壓轉子的不平衡載荷與陀螺力矩載荷影響，包含高、低壓轉速成分，載荷變化復雜。

2 復雜轉子系統振動響應分析

圖3 典型雙轉子結構系統示意圖Fig.3 Schematic of typical dual-rotor structure system

典型雙轉子結構系統如圖3所示。風扇1級盤、壓氣機1級盤、高壓渦輪、低壓渦輪分別記為fan1、hpc1、hpt、lpt，高壓轉子采用1-0-1支承方案，低壓轉子采用1-1-1支承方案，其中4#支點為中介支點，建立有限元模型并進行雙轉子系統振動響應仿真計算。

2.1 不同轉速下的支點動載荷特點

在給定不同的高、低壓轉速下(反向旋轉)，分別在高、低壓渦輪處施加50 g·mm不平衡量，計算各支點動載荷隨轉速變化關系曲線及對應的轉子彈性線變形，結果如圖4、圖5所示。

從圖4、圖5中可知，隨轉速升高，當轉子存在彎曲變形時，無論哪個轉子存在不平衡激勵，中介支點的動載荷均較其他承力支點顯著增大，在峰值轉速附近，中介支點動載荷幅值是其他支點的10倍以上。這是因為高轉速下，中介支點同時受高、低壓轉子彎曲變形的影響，高、低壓轉子不平衡激勵均使得反向旋轉雙轉子系統同時存在正、反渦動[14]，結合所對應的振動彈性線可知，相應渦輪盤的陀螺效應在中介支點產生的動載荷相互疊加是引起中介支點動載荷顯著增大的原因。

圖4 高壓不平衡激勵下的振動響應Fig.4 Vibration response under high pressure unbalanced excitation

圖5 低壓不平衡激勵下的振動響應Fig.5 Vibration response under low pressure unbalanced excitation

2.2 不平衡量分布對支點動載荷的影響

根據計算結果，中介支點動載荷遠大于其他承力支點，并且由于不平衡激勵的復雜性，其時域曲線呈現復雜的周期變化，且波動范圍較大。通過中介支點處軸心軌跡分析可知，其動載荷大小與雙轉子的運動狀態有關，極小(t1)與極大(t2)值分別發生在兩包絡線圓環內側與外側。此外，對比頻域響應中高、低壓轉速成分可知，1#、2#支點動載荷主要受低壓轉速影響，基本不受高壓轉速的影響，3#、4#、5#支點動載荷同時受高、低壓轉速成分的影響。

為明確高、低壓轉子不同位置處不平衡激勵對不同支點動載荷的影響，尋找敏感位置，以便進行振動響應的優化設計，需進行動載荷的敏感度計算。考慮轉子系統不平衡響應是輸入激勵的多元函數，即

F=f(qfan1,qhpc1,qhpt,qlpt)

(14)

當自變量改變Δqk引起因變量變化ΔF(k分

圖6 復雜不平衡激勵下支點響應特性Fig.6 Response characteristics of bearings under complex unbalanced excitation

別對應fan1、hpc1、hpt、lpt)，則因變量的相對變化與自變量的相對變化之比即敏感度為

(15)

據此定義計算4處不平衡激勵對各個支點動載荷影響的敏感度，如圖7所示。

敏感度計算結果表明，1#、2#支點動載荷只對低壓不平衡敏感，而3#、4#、5#支點動載荷對高、低壓不平衡均較敏感，驗證了支點動載荷頻率成分的分析。而對于動載荷最大的中介支點，其受高、低壓渦輪不平衡的影響較大，結合支點動載荷力學模型分析，可知高壓渦輪不平衡影響的敏感度高于壓氣機不平衡，是因為高壓渦輪靠近中介支點，同時由于高壓渦輪的盤軸連接彎曲剛度弱，系統剛度矩陣中由于不平衡載荷產生的交叉剛度項較小，轉子彎曲變形時彈性線的斜率較大，這樣，大轉動慣量的渦輪盤產生較大陀螺力矩，因而對中介支點動載荷影響更加顯著。同理，低壓渦輪靠近中介支點，及其陀螺力矩的作用，使得低壓渦輪不平衡對中介支點動載荷影響高于風扇不平衡。因此，不平衡激勵的分散性對中介支點動載荷影響敏感度有顯著差異，在雙轉子振動響應的優化設計中，應關心對中介支點動載荷影響較大的高、低壓渦輪處的結構設計。

表1 支點動載荷時域數值對比Table 1 Numerical comparison of bearing dynamic loads in time domain

表2 支點動載荷頻域幅值對比Table 2 Amplitude comparison of bearing dynamic loads in frequency domain

圖7 支點動載荷對不同位置不平衡激勵的敏感度Fig.7 Sensitivity of bearing dynamic loads to unbalanced excitation at different locations

3 復雜轉子系統振動響應優化設計

從支點動載荷力學模型及復雜雙轉子系統振動響應仿真計算中，可以看到中介支點動載荷的組成成分及不平衡分布影響敏感度與高、低壓轉子彎曲變形和運動狀態緊密相關?；蛘哒f，針對動載荷影響敏感度較高的位置，進行結構優化設計，可以減小高、低壓轉子彎曲變形，實現中介支點動載荷的有效控制。由此提出基于轉子彎曲變形彈性線控制的雙轉子系統振動響應優化設計方法。由于轉子的彎曲變形由轉子和支承結構特征共同決定，因此，可以以轉軸抗彎剛度分布和支點相對位置為優化參數進行中介支點動載荷的優化設計。

3.1 轉子結構抗彎剛度分布優化

由于高壓轉子彎曲變形及高壓渦輪的陀螺力矩對中介支點動載荷影響敏感度較大，在此選取高壓渦輪后軸頸局部結構，調整其錐殼角度，即圖3中的θc，分析中介支點動載荷隨錐角的變化曲線。由2.2節中敏感度分析可知，高、低壓渦輪處不平衡激勵對中介支點動載荷影響敏感度較高，故計算中只考慮高、低壓不平衡激勵的影響。圖8為歸一化后的中介支點動載荷均值隨高壓渦輪后軸頸錐角的變化關系曲線。

由圖8可知，隨著后軸頸錐角的減小，中介支點動載荷均值也發生顯著減小，這是因為隨著錐角的減小，后軸頸局部結構的彎曲剛度減弱，轉子彎曲變形時，后軸頸彎曲曲率增大，而高壓渦輪盤處彈性線斜率減小，減弱了渦輪盤陀螺力矩，從而減小了高壓轉子彎曲變形對中介支點動載荷的影響。通過對彈性線進行分析，可得歸一化后渦輪盤處彈性線斜率(最大值)隨后軸頸錐角變化關系，如圖9所示。因此，轉子結構抗彎剛度的調整，可以實現對轉子彎曲變形彈性線斜率的優化，進而實現對中介支點動載荷的有效控制。

圖8 后軸頸錐角對中介支點動載荷的影響Fig.8 Influence of rear journal cone angle on dynamic loads of inter-shaft bearing

圖9 后軸頸錐角對渦輪盤處彈性線斜率的影響Fig.9 Influence of rear journal cone angle on slope of elastic curve at turbine disk

3.2 中介支點及承力支點位置優化

由于低壓渦輪局部變形及陀螺力矩對中介支點動載荷影響也較為敏感，類比轉子結構抗彎剛度分布的優化設計可知，對低壓轉子彎曲變形的彈性線進行控制，也是雙轉子系統振動響應優化設計的一個方向。而低壓轉子為多支點的柔性轉子，支承特征對其動力特性有重要影響[15-16]。同樣地，對于雙轉子系統，可以考慮采用調整低壓轉子支承特征的方法來減小中介支點動載荷。

因低壓渦輪后支點(5#支點)作為承力支點，用于支承高、低壓渦輪轉子，該支點的支承特征對高、低壓渦輪的局部振動特性有重要影響。為控制低壓渦輪局部變形及陀螺力矩對中介支點的影響，改變5#支點的軸向位置，計算中介支點動載荷均值隨5#支點軸向位置的變化關系，計算結果歸一化如圖10所示。

圖10 中介支點動載荷隨5#支點位置變化曲線Fig.10 Dynamic loads of inter-shaft bearing changing with position of 5# bearing

由圖10可知，當5#支點靠近4#支點時，中介支點動載荷均值明顯降低。這是因為5#支點相當于低壓轉子彎曲變形的節點，由于支承的約束作用限制了5#支點附近轉子彎曲變形，當其靠近中介支點時，可以有效減小中介支點由于低壓轉子振動引起的動載荷幅值增大。應該指出的是，通過改變支承位置對中介支點附近低壓轉子彎曲變形進行控制，其實質仍是對轉子彎曲變形彈性線的優化設計。另外，這里使5#支點靠近中介支點相當于增大中介支點附近的低壓軸彎曲剛度，據此，可以將該支點位置優化的內涵進行擴展，即通過結構設計，增大低壓渦輪局部抗彎曲變形能力，可以減小低壓渦輪局部振動對中介支點動載荷的影響。

4 結 論

本文通過理論與仿真分析，得到主要結論如下：

1) 高速轉子系統支點動載荷由不平衡載荷及陀螺力矩載荷組成，不平衡激勵的位置及輪盤處的彈性線斜率決定支點動載荷的大小，尤其是復雜雙轉子系統，其中介支點動載荷同時受高、低壓轉子的不平衡激勵以及輪盤陀螺力矩的影響，載荷成分復雜。

2) 針對典型雙轉子系統進行振動響應分析，結果表明，隨轉速升高，當轉子出現彎曲變形時，中介支點動載荷遠大于其他承力支點，同時，靠近中介支點的高、低壓渦輪處的不平衡激勵對于中介支點動載荷影響的敏感度較高。通過不平衡分散性的敏感度分析確定了雙轉子振動響應優化設計的方向。

3) 基于中介支點動載荷敏感度的分析，從轉子結構特征與支承結構特征兩方面，分別進行高、低壓轉子振動響應優化設計。研究表明，通過優化轉子局部抗彎剛度分布，調整中介支點與承力支點的相對位置，可以改變高、低壓轉子彎曲變形彈性線的斜率，實現對輪盤陀螺力矩的控制，調節中介支點動載荷大小，從而對復雜轉子系統振動響應進行優化設計。