高速柔性轉子系統動力特性穩健設計方法

洪杰， 楊哲夫， 呂春光， 馬艷紅,*

(1. 北京航空航天大學能源與動力工程學院， 北京 100083；2. 先進航空發動機協同創新中心， 北京 100083;3. 中國航發沈陽發動機研究所， 沈陽 110015)

高速柔性轉子一般工作在多階臨界轉速之上，且工作轉速范圍內存在以轉子彎曲振型為主的臨界轉速，為控制其轉子變形而常采用多支點支承方案。高速柔性轉子在起動工作過程中需要通過多階臨界轉速，會產生較大彎曲變形，對各支點動載荷及整機振動水平有很大影響。在工作循環中，支承結構和轉子連接結構承載界面的損傷不斷積累，易產生軸承組件界面磨損和轉子連接界面接觸損傷等問題。

高速柔性轉子的質量、剛度分布極不均勻，通過若干界面配合、連接而成，轉子產生彎曲變形時，連接結構處的應變能會導致轉子彎曲剛度存在一定的分散性[1]，同時考慮到支承結構的裝配誤差和工作載荷波動，支承剛度同樣具有一定的分散度，導致臨界轉速分布、轉子振幅等呈現區間分布特征。在轉子彎曲變形不大，不考慮連接結構剛度損失時，可基于轉子連續力學模型，通過確定性方法進行臨界轉速設計[2]，以實現避開有害振動的設計目的。隨著轉子轉速負荷的加大，在工作載荷環境下轉子應變能比例的增加，使得必須考慮轉子連接界面所產生的結構非連續性的影響，即在工作載荷環境下轉子系統動力特性具有低敏感度的穩健設計方法。

近年來，國內外學者關于轉子動力特性設計方法的研究主要有兩方面：設計目標函數的合理選取及非確定設計方法的研究。在設計目標函數的合理選取方面，Shiau和Chang[3]以轉子質量和支點動載荷為目標函數，分別采用多種優化算法對支承剛度、軸承位置等變量進行優化，驗證了同時降低質量和減小支點動載荷的可行性；Lin等[4]以轉子總應變能為目標函數，對支承剛度和擠壓油膜阻尼器的油膜間隙進行優化，通過轉子總應變能分布反映轉子變形及運動狀態。在非確定設計方法研究方面，Zang等[5]提出穩健設計方法的本質是多目標非確定優化設計，核心是降低目標函數的敏感度和分散度；Li等[6]在考慮轉速、滑油溫度等工作狀態具有非確定性的前提下，驗證了凸方法在提高轉子平衡精度穩健性方面的可行性；Ma等[7]和陳萌[8]將區間數學引入轉子振動方程的各矩陣中，采用攝動理論建立了用于轉子系統動力特性分析的區間攝動法，并通過試驗驗證了該方法在轉子分析中的有效性；Ritto等[9]在考慮支承剛度等參數具有非確定性的基礎上，假設了多種概率分布，采用概率性優化方法對臨界轉速共振裕度進行了穩健設計，驗證了此穩健設計方法的有效性。

綜上，國內外學者在轉子動力特性設計方法方面開展的研究工作，大多基于連續模型假設，未考慮轉子應變能分布對轉子連接結構彎曲剛度的影響，而這正是柔性轉子系統動力特性穩健設計中必須考慮的問題。本文根據帶有連接結構非連續柔性轉子結構的特征，考慮支承剛度和轉子彎曲剛度等參數分散性，引入區間變量對轉子系統動力特性進行非確定性設計方法研究。以全轉速區域轉子振幅和支點動載荷為控制優化目標，采用罰函數定量描述臨界轉速分布特征，進行基于臨界轉速分布優化和振動響應低分散性的高速柔性轉子穩健設計方法研究。

1 柔性轉子系統動力學模型

圖1為典型高速柔性轉子的動力學模型，其主要結構特征為質量、剛度沿軸向分布極不均勻，采用多支點支承，通過界面連接而成。在工作轉速范圍附近存在多階臨界轉速，其動力特性主要由支承特性、轉子質量/剛度分布以及連接結構剛度特性等因素決定。需要注意的是，轉子連接結構處的彎曲變形會導致轉子彎曲剛度產生變化，其數值取決于轉子工作狀態，這使轉子剛度特性表現出非確定性。

圖1 典型高速柔性轉子系統非確定動力學模型Fig.1 Uncertain dynamic model of typical high-speed flexible rotor system

1.1 運動方程

為準確反映柔性轉子的動力特性，可通過有限元素法對轉子動力學模型進行離散[10-11]，各節點的位移和轉角構成了系統的廣義坐標q。

q=(x1,y1,θx,1,θy,1,…,xn,yn,θx,n,θy,n)T

(1)

式中：xn和yn分別為第n個截面的x和y方向位移；θx,n和θy,n分別為第n個截面繞x軸和y軸的角向位移。

利用Lagrange能量法建立其動力學方程為

(2)

式中：T為轉子系統動能；V為轉子系統勢能；Fi為外力；qi為廣義坐標。

柔性轉子系統一般由輪盤、彈性軸和支承3種單元組成。在建模時，將柔性轉子系統中的連接結構(也即聯軸器)等效為等截面彈性軸，通過調整密度與內外軸徑以保證其質量與局部彎曲剛度相同。轉子系統的動能表達式為

T=Tshaft+Tdisc

(3)

式中：剛性輪盤的動能Tdisc為

(4)

其中：x、y、md、ωξ、ωη、ωζ、Jd和Jp分別為輪盤質心的x向位移、y向位移、輪盤質量、輪盤繞x軸轉速、繞y軸轉速、繞z軸轉速、直徑轉動慣量和極轉動慣量。

彈性軸的動能Tshaft為

(5)

式中：u1s和u2s為軸段兩端的節點位移；Ms為考慮平動質量和轉動慣量在內的一致質量矩陣；Js為轉動慣量矩陣；Ω為公轉角速度。

轉子系統的勢能表達式為

V=Vshaft+Vbearing

(6)

式中：彈性軸和軸承的勢能表達式分別為

(7)

式中:us為彈性軸兩端點的節點位移組成的向量;Ks為彈性軸的剛度矩陣;k為軸承的支承剛度;e為軸承的變形量。

將上述動能表達式T、勢能表達式V代入Lagrange方程中，可得轉子系統動力學方程為

(8)

式中:M、J和K分別為轉子系統動力學方程的質量矩陣、轉動慣量矩陣和剛度矩陣。

令Ω=ω，即可得到臨界轉速滿足的方程，解方程可得臨界轉速。

|K-(M-J)ω2|=0

(9)

1.2 應變能分布特性

應變能是指結構在外力作用下發生形變時，外力在形變位移上所做的功，這些功以能量的形式儲存在結構內部，故稱作應變能，可用于定量描述外力作用下結構的損傷情況[12]。轉子系統在剛體模態振動時，轉子自身不發生變形，剛體位移僅使支承結構產生變形，即應變能均集中于支承結構中，只有當轉子在靠近彎曲振型共振轉速時，轉子彎曲變形使應變能聚集在轉子上。由于轉子質量/剛度分布不均勻性以及輪盤的慣性力矩載荷的變化，使得轉子連接結構處的應變能分布在工作過程中存在分散性，造成連接結構界面約束失效，表現為轉子彎曲剛度區間分布特征。因此，轉子應變能分布可表征轉子結構的變形和受力狀態，定量反映連接結構彎曲剛度損失程度。

轉子應變能的定義式為

(10)

式中:σ、ε和dv分別為微元體的應力、應變和體積。

應變能可以分為體積改變能和畸變能，即

U=Uv+Ud

(11)

根據材料力學第四強度理論，只有畸變能會導致結構發生失效，同時在細長軸段中，體積改變能的數值較小，因此本文中的軸段應變能僅考慮畸變能，利用廣義坐標Q可表示為

(12)

在計算軸段應變能時，先對式(8)的各階模態振型進行歸一化，并提取出軸段的廣義位移Q，再按照式(12)計算得到軸段應變能。

支承結構的應變能為其自身因變形積累的勢能，按照式(7)計算，即

(13)

2 基于區間分析的穩健設計方法

穩健設計目的是優化目標函數的中值(或稱均值)，同時減小因非確定因素引起的分散度[3]。圖2為本文提出的高速柔性轉子系統動力特性穩健設計方法框圖。考慮到轉子應變能分布可能導致轉子彎曲剛度產生分散性，以及多支點轉子結構中彈性支承剛度的分散性[13]，會影響轉子系統動力特性隨轉子轉速變化的穩健性，故采用區間分析方法描述轉子動力特性的非確定性，通過合理選擇設計變量的中值，以優化臨界轉速分布，并控制彎曲應變能在轉子連接結構處的分布，減小動力特性參數分散度，實現轉子系統動力特性穩健設計。

圖2 高速柔性轉子系統動力特性穩健設計思路Fig.2 Robust design concept of dynamic properties of high-speed flexible rotor systems

2.1 區間分析

實際工程應用中，通常無法給出非確定參數的概率分布和隸屬函數，僅能確定參數的波動范圍。區間分析方法可不對其分布規律進行任何人為假設，用區間數描述參數非確定性并經過區間運算得到振動響應的變差范圍，并以此開展穩健設計。對于帶有連接界面的高速柔性轉子系統，考慮轉子結構參數、支承結構參數區間分布特征，以及在求解轉子系統各階臨界轉速、應變能等動力特性時，需要在確定性優化方法的基礎上，提出基于區間分析的穩健設計流程。

以臨界轉速為例，由于非確定性因素是支承剛度和轉子彎曲剛度，將導致方程式(8)中的剛度矩陣K為非確定參數，可通過區間參數加以表示：

(14)

Aψ=λBψ

(15)

υTA=λυTB

(16)

式中：ψ為特征值λ的右特征向量；υT為特征值λ的左特征向量。

(17)

其中:M、J、K為式(8)中對應的物理量。

方程式(15)兩端同時左乘B-1，可以表示為

Dψ=λψ

(18)

(19)

經過推導，轉子系統固有頻率所在的區間為

(20)

(21)

其中：υir為第i個左特征向量的實部；ψiy為第i個右特征向量的虛部；ΔD為區間矩陣D的非確定量。

2.2 設計流程

為定量描述臨界轉速的集中程度，定義臨界轉速分布罰函數，以前兩階臨界轉速中值為例。

(22)

針對本文提出的轉子系統動力特性穩健設計思想，建立基于區間分析方法的高速柔性轉子系統動力特性穩健設計流程，如圖4所示。

由圖4可知，高速柔性轉子系統動力特性穩健設計可分為以下4個步驟：

步驟1試取一組設計變量xi的中值。

步驟2將設計變量代入方程式(8)，通過區間分析方法求得各階臨界轉速及應變能分布的區間解。

步驟3對控制點應變能的區間上界進行評估，若滿足設計要求，則進行步驟4，若不滿足則利用優化算法進行重新取值，重復步驟2、步驟3。

圖3 罰函數圖形Fig.3 Graph of penalty function

圖4 高速柔性轉子系統動力特性穩健設計流程Fig.4 Robust design process for dynamic properties of high-speed flexible rotor systems

步驟4對臨界轉速分布罰函數的區間中值進行評估，如區間中值滿足收斂條件，則完成該穩健優化，如不收斂則利用優化算法重新取值，重復步驟2、步驟3，直至優化結束。

2.3 優化算法及其參數選擇

2.3.1 優化算法的選擇

依據優化算法中可行域是否具有非確定性，優化算法可分為2類：確定性算法與非確定性算法(也稱隨機優化算法)[14]。確定性算法是指遵循嚴格數學規劃的算法，其中不涉及任何非確定元素，如牛頓法、梯度下降法等；非確定性算法是指尋優過程中會產生隨機性參數的算法，如模擬退火算法、遺傳算法等。優化算法的選擇及其參數設置會影響能否得到全局最優解。本文以遺傳算法為例進行最優解的求解。遺傳算法是在模擬達爾文的進化論基礎上建立的，利用概率方法生成一定數量的樣本，并選取較優的個體繼續逐代演化，直至得到近似最優解。

2.3.2 設計變量及目標函數的選擇

在柔性轉子的結構參數設計中，轉子的幾何尺寸、支點位置、輪盤位置通常由整機性能、結構與強度設計要求所決定，一般不由動力學特性所決定，故選取各支承剛度的中值為設計變量。

不同于傳統臨界轉速設計方法，本文以臨界轉速的分布特征作為目標函數，即在進行臨界轉速分布特征設計時，主要從轉子通過多階臨界轉速時支點動載荷的抑制出發，盡可能將多階臨界轉速集中于較小的轉速范圍內，當轉子通過多階臨界轉速時，由于各階模態振動相位的不同而產生了相互制約作用，使得支點動載荷得到抑制。

2.3.3 約束條件的選擇

為使轉子系統在滿足一般性的設計準則的基礎上，提高轉子系統動力特性穩健性，以臨界轉速安全裕度的區間下界、連接結構處應變能的區間上界作為約束條件。考慮到固有特性分析中，應變能的絕對值并沒有實際意義，故本文以應變能比例作為衡量應變能多寡的判據，以柔性轉子系統連接結構處的應變能比例作為約束條件。

計算約束函數表達式時，由于支承剛度和連接結構彎曲剛度等參數具有區間分布特征，因此通過動力學方程式(8)計算出的臨界轉速式(9)及連接結構應變能式(12)均以區間參數的形式表示，類似于剛度矩陣的區間形式(式(14))，由區間上界和區間下界組成。臨界轉速安全裕度的區間下界、連接結構處應變能比例的區間上界如下：

i=1,2,…,nω;k=1,2,…,nΩ

(23)

式中：λ1為臨界轉速安全系數；ωi為第i階臨界轉速；Ωk為第k個工作轉速。

(24)

式中：Ujoint為連接結構處應變能；Uall為轉子系統的總應變能；λ2為連接結構應變能穩健系數。

故柔性轉子動力特性的穩健設計模型為

(25)

式中：αi,j為第i，j階臨界轉速分布罰函數中值的關注系數；x1,x2,…,xn為各設計變量的取值。

3 算例分析

圖5為三支點高速柔性轉子系統結構示意圖，其工作轉速為30 000 r/min，主要由壓氣機葉盤、渦輪葉盤、壓氣機軸和渦輪軸組成，兩軸段通過聯軸器相連，壓氣機葉盤后及渦輪葉盤前均布置一個支點，同時在聯軸器附近布置一個支點，以控制細長軸段的變形。該轉子系統的具體參數如表1所示。

采用本文提出的轉子系統動力特性穩健設計方法對該轉子的支承剛度進行優化設計。以支點剛度作為非確定變量，用區間參數形式表示，并依據工程經驗給定支承剛度的分散度β。對此轉子系統進行固有特性的區間分析，并采用遺傳算法進行支承剛度中值的優化選取，表2為優化過程的控制參數。

圖5 三支點高速柔性轉子系統結構示意圖Fig.5 Schematic of three-support high-speed flexible rotor system structure

參數數值軸段密度/(kg·m-3)7820軸段彈性模量/GPa195軸段內徑/m0.006軸段外徑/m0.022轉子總長/m0.598風扇等效集中質量/kg3.583風扇繞軸線轉動慣量/(kg·m2)0.024渦輪等效集中質量/kg3.135渦輪繞軸線轉動慣量/(kg·m2)0.017

表2 優化參數選取Table 2 Choice of optimization parameters

注：i,j=1,2,3,4。

依照表2給出的優化參數，在約束條件的約束下，對目標函數進行遺傳優化。首先在整個可行域內隨機生成100個樣本點，并進行個體篩選，保留較優秀的樣本，進行逐代優化，每代個體數為20個，優化過程如圖6所示。可以看出，經過6代進化，逐步逼近最優解。

表3為優化前后支點剛度中值、前四階臨界轉速及連接結構處的應變能比例。圖7為2種方案對應的具有區間分布特征的Campbell圖。從表3和圖7中可以看出，通過降低前支點和中支點的支承剛度，并提高后支點的支承剛度，使得轉子結構的剛度分布更加均勻。將初始方案中分散的前三階臨界轉速集中在[13 180,15 818]r/min的轉速區間內，并將連接結構處的應變能比例由11.15%降低至1.93%，驗證了優化算法選取的有效性。

圖6 目標函數的優化過程Fig.6 Optimization process of objective function

由于考慮了動力特性的非確定性，因此各階臨界轉速隨工作轉速的變化曲線應擴展為變化條帶，條帶的寬度表示其分散度的大小。從表3和圖7中可以看出，雖然2個方案均能滿足臨界轉速安全裕度的約束，但相比于初始方案，最優方案的前三階臨界轉速分布較為集中，各階臨界轉速的分散度也較小，其動力特性的穩健性更高，同時由于在優化過程中增設了針對連接結構應變能比例的約束條件，可有效降低連接結構應變能比例，降低轉子彎曲剛度的分散度，提高轉子系統的穩健性。

對上述2種方案進行不平衡響應計算，可得到各支點動載荷隨轉子轉速的變化曲線，如圖8所示。雖然初始方案的臨界轉速分布滿足安全裕度的要求，但由于各階臨界轉速分布較為分散，工作轉速范圍內，隨著轉速增加，支點動載荷體現出多峰值特征，而最優方案的支點動載荷則體現出單峰值特征，利用轉子連續通過多階臨界轉速時阻尼滯后和響應滯后的特性，使不同相位的振型疊加，使得最優方案的支點動載荷最大值相比初始方案較小。考慮到支點動載荷導致的結構損傷主要分為2個方面：軸承的損傷與承力框架的損傷，其中軸承的損傷可由滾動軸承的壽命計算公式體現[15]，其壽命與軸承當量動載荷呈三次方反比關系，因此最優方案由于支點動載荷較小，在多個工作循環內積累的軸承損傷較小；同時考慮到，在承力框架的溫度載荷等相同時，支點動載荷越小，有利于抑制承力框架連接界面的滑移及微動磨損等情況的發生，且對靜子承力結構的激勵幅值較小，有利于提高整個轉子系統及靜子結構動力特性的穩健性。

表3 不同支點剛度組合及其臨界轉速Table 3 Different support stiffness combinations and their critical speeds

注：連接結構應變能比例上限為工作轉速范圍內的應變能比例最大值。

圖7 不同支點剛度組合下的Campbell圖Fig.7 Campbell diagram under different support stiffness combinations

圖8 不同支點剛度組合下的支點動載荷Fig.8 Support dynamic load under different support stiffness combinations

4 結 論

1) 考慮轉子結構參數及動力特性參數具有非確定性，本文提出了控制轉子振動響應的穩健設計思路，利用轉子不同共振轉速下振動相位及阻尼滯后特性，將多階臨界轉速集中于一定區間，可以有效降低轉子通過臨界轉速時的振動響應。

2) 采用區間分析方法描述轉子動力特性的非確定性，提出臨界轉速分布罰函數，用于定量評估臨界轉速的分布特征，當臨界轉速分布罰函數取值最小化，并滿足共振安全裕度要求時，高速柔性轉子動力特性具有良好的穩健性。

3) 通過算例驗證了本文提出的動力特性穩健設計方法的有效性，算例表明，臨界轉速分布罰函數可有效表征臨界轉速的分布特征，通過臨界轉速的合理分布，并控制連接結構應變能，可有效控制轉子振動響應，同時減小轉子動力特性參數的分散度，可切實提高柔性轉子動力特性的穩健性。