基于矩陣分解的空間系繩系統(tǒng)不完全反饋控制

王長(zhǎng)青， 付立春， 扎波羅特諾夫·尤里， 李愛(ài)軍

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 西安 710072； 2. 西北工業(yè)大學(xué) 中俄國(guó)際空間系繩系統(tǒng)研究中心， 西安 710072；3. 俄羅斯薩馬拉國(guó)家研究型大學(xué)， 薩馬拉 443086)

隨著人類航天事業(yè)的不斷發(fā)展，越來(lái)越多的航天器被不斷發(fā)射到太空，因此近地空間已逐漸變成十分擁擠的場(chǎng)所。與此同時(shí)，由于復(fù)雜的太空擾動(dòng)導(dǎo)致航天器軌道高度發(fā)生不同程度的變化，進(jìn)而引起不同航天器之間的碰撞，產(chǎn)生大量空間碎片。因此，安全、高效地捕獲空間碎片對(duì)于航天任務(wù)的安全完成具有重要意義。利用空間系繩系統(tǒng)(STS)進(jìn)行捕獲是一種新型捕獲方式，具有安全性、位置容錯(cuò)性、經(jīng)濟(jì)性等優(yōu)點(diǎn)。

利用空間系繩系統(tǒng)執(zhí)行碎片在軌捕獲任務(wù)時(shí)一般可以分為捕獲前系繩的展開(kāi)、交會(huì)捕獲以及捕獲后系統(tǒng)回穩(wěn)、回收、拖拽等不同階段。捕獲前系繩展開(kāi)到平衡位置、交會(huì)捕獲以及捕獲后系統(tǒng)回穩(wěn)是后續(xù)回收、拖拽任務(wù)的前提。然而，由于太空環(huán)境復(fù)雜，展開(kāi)結(jié)束后可能存在一定的長(zhǎng)度及擺角誤差；而捕獲完成后由于目標(biāo)物與捕獲機(jī)構(gòu)構(gòu)成統(tǒng)一整體，質(zhì)量突變、捕獲位置不理想等問(wèn)題，系統(tǒng)不可避免地會(huì)出現(xiàn)擺動(dòng)。因此，需要對(duì)上述情況進(jìn)行控制使其回到穩(wěn)定狀態(tài)即平衡位置。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)系繩平衡位置附近的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了大量研究。Pasca[1]研究了系繩衛(wèi)星系統(tǒng)在狀態(tài)保持階段的運(yùn)動(dòng)，并提出了利用子星推力來(lái)控制系繩的面內(nèi)振蕩。Williams等[2]提出了通過(guò)電動(dòng)力和偏置控制來(lái)控制系繩的振蕩。Mankala和Agrawal[3]設(shè)計(jì)了一套邊界控制器將系統(tǒng)控制到了徑向相對(duì)平衡的位置。Larsen和Blanke[4]設(shè)計(jì)了一套非線性控制器，并利用電動(dòng)力系繩注入阻尼的方法將系繩衛(wèi)星系統(tǒng)控制到一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡位置。余本嵩等[5]通過(guò)雅可比矩陣對(duì)處于平衡位置的繩系衛(wèi)星的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，提出了通過(guò)在子星一端安裝噴氣力控制裝置的含約束條件的PID控制律[6]。龐兆君[7]針對(duì)位于圓軌道上和橢圓軌道上的系繩衛(wèi)星的混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析，并通過(guò)Melnikov方法給出圓軌道下含阻尼系統(tǒng)的混沌域，采用延遲反饋控制，將欠驅(qū)動(dòng)系繩衛(wèi)星系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定到周期運(yùn)動(dòng)。

而對(duì)于系繩系統(tǒng)，捕獲后系統(tǒng)穩(wěn)定控制問(wèn)題則更為復(fù)雜。孫亮等[8-9]針對(duì)空間系繩系統(tǒng)面內(nèi)轉(zhuǎn)移過(guò)程中的系統(tǒng)的擺振特性及穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，指出面內(nèi)軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中面內(nèi)角會(huì)以固定的頻率繞平衡位置往返擺動(dòng)，并且這種擺動(dòng)受軌道高度、系繩長(zhǎng)度、推力加速度等影響，提出了連續(xù)常值推力系繩系統(tǒng)的軌道轉(zhuǎn)移策略和基于系繩張力系統(tǒng)的擺振抑制策略。張帆和黃攀峰[10]針對(duì)非合作目標(biāo)抓捕后保持階段的振動(dòng)特性參數(shù)辨識(shí)方法，提出了非合作目標(biāo)被系繩系統(tǒng)抓捕后處于保持階段的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)特性參數(shù)辨識(shí)方法。趙國(guó)偉等[11]在考慮捕獲平臺(tái)與目標(biāo)物的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上，提出了留位和阻尼控制相結(jié)合的張力復(fù)合控制方法。張宇靖和鐘睿[12]以模型預(yù)測(cè)控制方法為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了穩(wěn)定系繩擺動(dòng)的非線性模型預(yù)測(cè)控制算法。

上述文獻(xiàn)在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，多采用施加外力矩的方式(如電動(dòng)力、噴管推力等)，或通過(guò)輸入外部能量來(lái)控制系統(tǒng)的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。施加外力矩的方式能夠快速抑制面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且精度較高，這對(duì)于要求定繩長(zhǎng)的高精度任務(wù)場(chǎng)合尤其重要[13]。然而，電動(dòng)力系繩在地磁場(chǎng)中由于洛倫茲力的作用會(huì)使得系統(tǒng)軌道能量減少，軌道高度降低，對(duì)于狀態(tài)保持階段并不適用；噴管能夠有效產(chǎn)生交會(huì)捕獲時(shí)目標(biāo)逼近、跟蹤所需要的擺動(dòng)，但要不斷消耗燃料，然而系統(tǒng)在軌時(shí)間較長(zhǎng)，若從始至終一直通過(guò)噴管來(lái)控制子星的運(yùn)動(dòng)需要消耗大量燃料，十分不經(jīng)濟(jì)。

對(duì)于本文所研究的展開(kāi)后狀態(tài)保持以及捕獲結(jié)束后回穩(wěn)的過(guò)程，由于軌道周期較長(zhǎng)，對(duì)任務(wù)的時(shí)間要求并不強(qiáng)烈，則通過(guò)張力控制使系統(tǒng)緩慢回到穩(wěn)態(tài)也是可行的。例如，王班等[14]針對(duì)捕獲完成后提出了一種在最大擺角處收緊系繩、平衡位置處釋放系繩的面內(nèi)擺動(dòng)抑制控制方法，但僅在面內(nèi)角速率大于零的條件下有效。李超等[15]針對(duì)圓軌道下系繩系統(tǒng)的狀態(tài)保持階段提出了基于標(biāo)準(zhǔn)系繩法的穩(wěn)定控制方法。但上述方法對(duì)系繩張力機(jī)構(gòu)提出了系繩面內(nèi)、面外角姿態(tài)可測(cè)、繩長(zhǎng)可測(cè)和系繩張力可控可測(cè)等要求。

系繩系統(tǒng)測(cè)量姿態(tài)角的主要方式是GPS干涉法[16]，對(duì)姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)提出了較高要求。通過(guò)張力對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，一旦角度和角速率反饋失效，將會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成嚴(yán)重影響。例如1988年發(fā)射的ECHO-7、2003年發(fā)射的DTUsat-1、2006年發(fā)射的CUTE-1.7以及2007年發(fā)射的YES-2衛(wèi)星都出現(xiàn)了傳感器及控制器故障，對(duì)任務(wù)造成了不同程度的影響[17-18]。因此，設(shè)計(jì)在角度和角速率反饋失效時(shí)仍能夠使用的控制器，對(duì)于系繩展開(kāi)后的面內(nèi)保持以及捕獲后系統(tǒng)的回穩(wěn)具有重要意義。此外，面內(nèi)運(yùn)動(dòng)反饋被證明對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性沒(méi)有本質(zhì)影響[19]，因此在僅反饋長(zhǎng)度和速率信號(hào)的情況下設(shè)計(jì)控制律同樣可行。

針對(duì)狀態(tài)反饋不完全問(wèn)題，目前較為常用的方法為線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)+降維觀測(cè)器方法，除此之外，矩陣分解也為控制律的設(shè)計(jì)提供了一種良好的選擇，其思想為：針對(duì)線性系統(tǒng)，通過(guò)配置反饋矩陣使其閉環(huán)特征方程配置到指定位置，從而使特征方程與具有較好性能的指定標(biāo)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式具有相同的系數(shù)。本文在設(shè)計(jì)控制律時(shí)，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法將系統(tǒng)特征多項(xiàng)式設(shè)計(jì)為確定形式，在矩陣分解基礎(chǔ)上利用相容性原理解決由不完全狀態(tài)反饋所帶來(lái)的相容性問(wèn)題，從而將控制器參數(shù)計(jì)算出來(lái)，此時(shí)由于系統(tǒng)特征多項(xiàng)式確定，故其閉環(huán)特性也將比較理想，控制效果可預(yù)期。

基于上述考慮，本文針對(duì)系繩展開(kāi)后狀態(tài)保持階段以及捕獲后系統(tǒng)的回穩(wěn)任務(wù)，設(shè)計(jì)僅反饋長(zhǎng)度和速率信號(hào)的張力控制律，從而對(duì)系統(tǒng)的繩長(zhǎng)、面內(nèi)角誤差以及面內(nèi)擺動(dòng)進(jìn)行有效控制。在設(shè)計(jì)不完全狀態(tài)反饋的控制律時(shí)，本文基于矩陣分解方法，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算計(jì)算出控制器參數(shù)，控制律結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，無(wú)需復(fù)雜的參數(shù)調(diào)整。

1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮系繩系統(tǒng)為有質(zhì)量彈性桿模型。有以下4點(diǎn)假設(shè)：①捕獲平臺(tái)(母星)和捕獲前/后的捕獲機(jī)構(gòu)(子星)通過(guò)彈性系繩連接，系統(tǒng)質(zhì)心在未受擾動(dòng)的開(kāi)普勒?qǐng)A軌道上運(yùn)行。②將母星和子星視為質(zhì)點(diǎn)，且母星質(zhì)量遠(yuǎn)大于子星，即系統(tǒng)質(zhì)心位于母星上。系繩未釋放前卷軸位于母星內(nèi)。③系繩視為質(zhì)量分布均勻的彈性桿，只考慮沿其自身的縱向振動(dòng)，不計(jì)入系繩的扭轉(zhuǎn)剛性及各向異性等。④所有影響系統(tǒng)的外部作用力中，只考慮重力的影響，忽略太陽(yáng)光壓、大氣阻力、日月引力等擾動(dòng)的影響。

定義地心軌道坐標(biāo)系和繩系坐標(biāo)系如圖1所示。其中，地心軌道坐標(biāo)系OXYZ為慣性坐標(biāo)系，OXY平面與軌道平面一致，OX軸指向軌道近地點(diǎn)(對(duì)于圓軌道，沿地心指向軌道升交點(diǎn)方向)，OZ軸與軌道平面正交并沿航天器的動(dòng)量矩方向，OY軸按右手坐標(biāo)系原則確定。軌道運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系CXoYoZo與系統(tǒng)質(zhì)心C固聯(lián)，CXo軸沿航天器矢徑方向，CZo軸和OZ軸平行。坐標(biāo)系CXoYoZo相對(duì)于坐標(biāo)系OXYZ以軌道角速率Ω旋轉(zhuǎn)。繩系坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)C位于航天器質(zhì)心處，CXt軸沿著衛(wèi)星拉緊繩系的反方向，CYt軸和CZt軸的位置由相對(duì)于坐標(biāo)系CXoYoZo的面內(nèi)角θ和面外角φ確定。空間系繩系統(tǒng)所在軌道與目標(biāo)物所在軌道在同一平面內(nèi)，慣性系下目標(biāo)物的真近點(diǎn)角為η。

圖1 系繩系統(tǒng)捕獲過(guò)程示意圖Fig.1 Schematic of capture process with tether system

空間系繩系統(tǒng)的狀態(tài)可以用5個(gè)廣義坐標(biāo)描述：系繩系統(tǒng)質(zhì)心距地心距離rc、系統(tǒng)質(zhì)心的真近點(diǎn)角?、面內(nèi)角θ、面外角φ和系繩彈性應(yīng)變?chǔ)拧８鶕?jù)拉格朗日方程，推導(dǎo)出有質(zhì)量系繩的空間系繩系統(tǒng)的微分方程為

(1)

式中：“·”表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)；mA和mB分別為母星和子星的質(zhì)量，mA?mB；mt=ρl0為系繩質(zhì)量，ρ為系繩線密度，l0為系繩原長(zhǎng)，系繩當(dāng)前長(zhǎng)度為l=l0(1+ε)；T為系繩張力；μ為地球引力常量；φ1、φ2、φ3、φ4為質(zhì)量項(xiàng)。

φ1=m*/m

φ2=mA(mB+mt/2)/(mm*)

φ3=(2mA-m)mt/[2mA(mB+mt)]

φ4=(mB+mt/2)/(mB+mt)

m=mA+mB+mt

m*=(mA+mt/2)(mB+mt/2)/m-mt/6

2 線性化處理及開(kāi)環(huán)穩(wěn)定性分析

(2)

式中：“′”表示對(duì)無(wú)量綱時(shí)間τ=Ωt求導(dǎo)。

對(duì)于系繩系統(tǒng)，穩(wěn)定的平衡位置沿軌道的徑向方向，即θ1,2=0,π。將方程式(2)在平衡點(diǎn)附近線性化，并引入無(wú)量綱長(zhǎng)度，忽略高階小量可得

(3)

式中：ε0=l/lc為系繩無(wú)量綱長(zhǎng)度，lc為系繩展開(kāi)的最終長(zhǎng)度即標(biāo)稱長(zhǎng)度。

因此，平衡點(diǎn)附近系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

(4)

式中：

B=[0 1 0 0]T

經(jīng)計(jì)算可知，線性化系統(tǒng)式(4)可觀可控。

由式(3)可得系統(tǒng)面內(nèi)角運(yùn)動(dòng)的特征方程為

s2+2sφ2l′/l+3=0

(5)

該特征方程的解為

(6)

3 捕獲后面內(nèi)擾動(dòng)情況分析

系統(tǒng)展開(kāi)完成后被控處于平衡位置，而當(dāng)捕獲機(jī)構(gòu)與目標(biāo)物即將交會(huì)對(duì)接時(shí)，將通過(guò)噴管使系繩擺動(dòng)從而實(shí)現(xiàn)捕獲機(jī)構(gòu)對(duì)目標(biāo)物的跟蹤。文獻(xiàn)[20]指出，理想捕獲位置(近地點(diǎn)或遠(yuǎn)地點(diǎn))交會(huì)時(shí)，空間碎片與捕獲機(jī)構(gòu)的速度大小和方向完全一致。

然而，出于捕獲安全性考慮，通常設(shè)計(jì)理想捕獲時(shí)刻附近數(shù)十秒的捕獲窗口，此時(shí)空間碎片和捕獲機(jī)構(gòu)仍在理想捕獲位置附近運(yùn)動(dòng)。捕獲機(jī)構(gòu)速度矢量已不再沿OY軸互相平行，故此時(shí)執(zhí)行捕獲任務(wù)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生擾動(dòng)，因此被稱為非理想捕獲。本文欲針對(duì)捕獲后系繩的面內(nèi)擺動(dòng)進(jìn)行控制，故首先需對(duì)非理想捕獲所帶來(lái)的擾動(dòng)情況進(jìn)行計(jì)算分析。

由于本文假設(shè)捕獲前后捕獲平臺(tái)的軌道運(yùn)動(dòng)不受空間碎片和系繩質(zhì)量的影響，即其質(zhì)心變化忽略不計(jì)。此外，忽略空間碎片對(duì)系繩縱向振蕩所產(chǎn)生的擾動(dòng)，僅考慮系繩的面內(nèi)擺動(dòng)。且為了簡(jiǎn)化捕獲過(guò)程，將其視為恒定速率運(yùn)動(dòng)[13]，利用剛體動(dòng)量守恒原理對(duì)非理想位置進(jìn)行擾動(dòng)分析，并計(jì)算捕獲后捕獲機(jī)構(gòu)與空間碎片構(gòu)成的統(tǒng)一整體繞地垂線運(yùn)動(dòng)的角速率。

捕獲平臺(tái)在慣性坐標(biāo)系下的矢徑和速度分別為

(7)

目標(biāo)物的軌道運(yùn)動(dòng)可表示為

(8)

慣性坐標(biāo)系下目標(biāo)物相對(duì)捕獲平臺(tái)的矢徑和運(yùn)動(dòng)速度為

(9)

則繩系坐標(biāo)系下目標(biāo)物相對(duì)捕獲平臺(tái)的相對(duì)矢徑和相對(duì)速度為

(10)

系統(tǒng)動(dòng)量守恒過(guò)程如下：

(11)

式中：mp和Ip分別為目標(biāo)物的質(zhì)量和角動(dòng)量；Ibefore、Iafter分別為捕獲前、后系統(tǒng)的角動(dòng)量；Jbefore=mBlc2、Jafter=(mB+mp)lc2分別為捕獲前、后捕獲機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωbefore、ωafter分別為捕獲前、后系繩擺動(dòng)角速度；Jt=mtlc2/3為系繩的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

定義捕獲機(jī)構(gòu)能夠允許的距離誤差Rcap為

|rp-rB|≤Rcap

(12)

式中：rB為捕獲機(jī)構(gòu)(子星)矢徑。

此外，由式(1)可得，系繩完全展開(kāi)后其面內(nèi)擺動(dòng)方程為

(13)

積分可得面內(nèi)自由擺動(dòng)最大擺角應(yīng)為

(14)

可通過(guò)式(7)～式(14)計(jì)算并分析捕獲過(guò)程剛體碰撞所帶來(lái)的系繩面內(nèi)運(yùn)動(dòng)情況，進(jìn)而確定控制器所要克服的擾動(dòng)大小。

4 控制律設(shè)計(jì)

對(duì)于線性系統(tǒng)式(4)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

(15)

式中：F(s)=det(sI-A)，I為n階單位矩陣；M(s)=[m11+…+m1nsn-1,…,mr1+…+mrn·sn-1]T，n為矩陣A的維數(shù)。

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(16)

式中：P為不完全不狀態(tài)反饋下反饋矩陣，P∈R1×r，r為反饋狀態(tài)量的個(gè)數(shù)。

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

H(s)=det(sI-A+BPC)=

sn+ansn-1+…+a1

(17)

因此，通過(guò)配置反饋矩陣，理論上可將系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根配置在任意位置上，全狀態(tài)反饋下一般配置方法參見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。

由閉環(huán)特征多項(xiàng)式可得

PM(s)=H(s)-F(s)

(18)

比較方程兩端相同階次s的系數(shù)，可得

MTPT=f-j

(19)

式中：f和j分別為多項(xiàng)式H(s)和F(s)的系數(shù)，且f,j∈Rn×1。此外，

對(duì)于式(19)，可列出具有r個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程。對(duì)完全反饋的系統(tǒng)(r=n)，式(19)有唯一解；對(duì)不完全反饋的系統(tǒng)(r

將式(18)中M(s)分解為

M(s)=Cg(s)

(20)

式中：g(s)=[1,s,…,sn-1]T。

將式(19)代入式(18)，可得

LTCTPT=f-j

(21)

(22)

(23)

解方程式(22)并將結(jié)果代入式(23)中，得到相容性條件為

αf=β

(24)

式中：α=S(LT)-1，β=αj，S∈R(n-r)×n，僅與矩陣C有關(guān)，β∈R(n-r)×1。對(duì)于單輸入對(duì)象來(lái)說(shuō)，矩陣CB可逆，即矩陣C中元素不全為0。

達(dá)到相容性條件后，計(jì)算矩陣P使特征根達(dá)到事先選定的值，得到期望配置的特征根系數(shù)。以期望的特征方程(包含未知量ω的系數(shù)矩陣)代入相容性方程，解出ω，從而確定系數(shù)矩陣。以空間系繩系統(tǒng)為例選取四階標(biāo)準(zhǔn)型：

f=[k1ω4k2ω3k3ω2k4ω]T

(25)

此處ω的值可以根據(jù)相容性條件αf=αj得出，這樣既確定了ω的范圍，又滿足了相容性條件的要求。通過(guò)相容性條件解出ω的值以后，一般得到不同的值，當(dāng)ω的取值范圍為0.5～2.5時(shí)，系統(tǒng)的性能最理想。

如果式(24)中向量f的約束能夠滿足，那么反饋矩陣P為

PT=K(LT)-1(f-j)

(26)

計(jì)算系統(tǒng)的反饋矩陣P時(shí)，本文的期望特征方程以ITAE標(biāo)準(zhǔn)型為參考，當(dāng)狀態(tài)方程為四階時(shí)，可得期望的特征根系數(shù)表示為[15]：f=[ω42.7ω33.4ω22.1ω]T。

代入相容性條件可得ω為±1.527、±3.19 i和0。選擇ω在0.5～2.5附近的值(ω=1.527)代入到ITAE的標(biāo)準(zhǔn)傳遞系數(shù)中，得到期望的系數(shù)值。

由式(26)計(jì)算可得反饋矩陣為：P=[4.8123.207 0 0]T，將其代入式(17)得

H(s)=det(sI-A+BPC)=

s4+3.207s3+8.81s2+9.62s+5.436

(27)

值得注意的是，二次項(xiàng)與標(biāo)準(zhǔn)型系數(shù)有一定出入。當(dāng)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)各階次系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)型完全一致時(shí)，控制效果最好，但高階情況下很難全部成立，因此應(yīng)使各系數(shù)盡可能相近。在設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，當(dāng)(Z′/Z)≥0.8同時(shí)成立時(shí)就可滿足要求，Z′和Z分別為設(shè)計(jì)系統(tǒng)和標(biāo)準(zhǔn)型的各階系數(shù)。因此，設(shè)計(jì)的反饋矩陣P滿足相容性要求，且滿足ITAE標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)計(jì)要求，反饋系數(shù)矩陣設(shè)計(jì)成功。

5 仿真分析

由于空間碎片所處的高度越高，在地球軌道中存在的時(shí)間越長(zhǎng)。高度大于800 km的空間碎片需要幾百年的時(shí)間方可回到地球空間銷毀，且大部分空間碎片凝聚在800～850 km的高度上，尤其是傾角在71°～74°和81°～83°的低軌道和太陽(yáng)同步軌道上。

此外，為檢驗(yàn)本文設(shè)計(jì)控制律是否具有預(yù)期的控制效果，首先在線性化模型中進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)設(shè)計(jì)了LQR+降維觀測(cè)器作為對(duì)比。其中，LQR控制器的Q矩陣選取為[2,2,1,1]，降維觀測(cè)器的特征根為[-0.5,-3.3]。仿真均采用無(wú)量綱形式。

5.1 系繩展開(kāi)后非標(biāo)稱行為抑制

在利用矩陣分解方法設(shè)計(jì)控制參數(shù)時(shí)，所使用的系統(tǒng)狀態(tài)方程是在空間系繩系統(tǒng)有質(zhì)量彈性桿模型歸一化處理、平衡點(diǎn)附近線性化處理的基礎(chǔ)上得到的。因此，所得到的控制參數(shù)是在線性化模型條件下忽略了系統(tǒng)各部分質(zhì)量變化。為進(jìn)一步驗(yàn)證矩陣分解方法所設(shè)計(jì)的控制器的有效性，采用實(shí)際的非線性模型式(1)來(lái)驗(yàn)證線性化條件下得出的控制參數(shù)的控制效果。

利用傳統(tǒng)的LQR+降維觀測(cè)器對(duì)線性化系統(tǒng)進(jìn)行控制，同時(shí)分別在線性化模型式(4)和非線性模型式(1)下對(duì)比，檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的控制律的有效性，仿真結(jié)果如圖2所示，相應(yīng)的控制力(系繩張力)變化曲線如圖3所示。

如圖2所示，利用矩陣分解方法設(shè)計(jì)的控制器對(duì)線性化模型和非線性模型進(jìn)行控制，其仿真曲線基本重合。非線性模型下，4個(gè)狀態(tài)量的超調(diào)量略高于線性化模型，這是由于線性化過(guò)程中忽略了系繩長(zhǎng)度、質(zhì)量以及面內(nèi)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)等因素的影響，因此，后續(xù)針對(duì)捕獲后面內(nèi)擺動(dòng)問(wèn)題采用非線性模型式(1)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。此外，由圖3可以看出，3種情況下系繩張力變化均相對(duì)平穩(wěn)，張力保持在十幾牛的大小附近(遠(yuǎn)小于極限張力T*=σ*S=54×109×2×10-7=10 800 N)。

圖2 系繩展開(kāi)后各狀態(tài)量受控變化曲線Fig.2 Changing curves of state variables under control after tether deployment

圖3 系繩展開(kāi)后系繩張力變化曲線Fig.3 Variation curves of tether tension after tether deployment

線性化模型下，根據(jù)矩陣分解方法設(shè)計(jì)的控制器與LQR+降維觀測(cè)器對(duì)比可知,2種方法都能夠有效控制系統(tǒng)的長(zhǎng)度和角度誤差，且調(diào)節(jié)時(shí)間相差不大，系統(tǒng)的4個(gè)狀態(tài)量在5個(gè)無(wú)量綱時(shí)間(約0.8個(gè)軌道周期)時(shí)間前后全部回到了穩(wěn)態(tài)值。然而，利用LQR+降維觀測(cè)器方法時(shí)，繩長(zhǎng)、速率、面內(nèi)角及面內(nèi)角速率的超調(diào)量均遠(yuǎn)高于基于矩陣分解方法設(shè)計(jì)的控制器，即基于矩陣分解方法的模態(tài)控制器不僅能有效抑制系統(tǒng)展開(kāi)后所出現(xiàn)的非標(biāo)稱行為，使系統(tǒng)回到平衡位置，同時(shí)，與常用的LQR+降維觀測(cè)器相比，其平穩(wěn)性和靜差消除都更為理想，能夠滿足空間系繩系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)保持控制的要求。

5.2 捕獲后系繩面內(nèi)擺動(dòng)抑制

以軌道高度H=900 km、捕獲窗口30 s為例，捕獲后瞬間系統(tǒng)以5.786 5×10-4rad/s的角速率擺動(dòng)，則由式(14)計(jì)算可知，系繩不受控下最大擺角θmax可達(dá)到0.33 rad(約18.9°)，故利用本文設(shè)計(jì)的控制律針對(duì)捕獲任務(wù)完成后系統(tǒng)出現(xiàn)的面內(nèi)擺動(dòng)，對(duì)其進(jìn)行控制使其回到穩(wěn)定狀態(tài)即平衡位置。根據(jù)式(11)計(jì)算非理想情況下捕獲后面內(nèi)角速率，根據(jù)計(jì)算結(jié)果結(jié)合式(14)計(jì)算捕獲后面內(nèi)最大擺角，并將其轉(zhuǎn)換為無(wú)量綱形式，可得仿真初始條件為：ε=1，ε′=0，θ=8.68×10-3，θ′=5.786 5×10-4/Ω。與各模型、控制律相對(duì)應(yīng)的控制力變化曲線如圖4所示，仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖5可以看出，線性化系統(tǒng)初始時(shí)刻存在面內(nèi)擺動(dòng)時(shí)，基于矩陣分解的模態(tài)控制和LQR+降維觀測(cè)器作用下速率、面內(nèi)角和面內(nèi)角速率的變化趨勢(shì)大致相近，LQR+降維觀測(cè)器對(duì)面內(nèi)角和面內(nèi)角速率的控制略優(yōu)于基于矩陣分解設(shè)計(jì)的控制器，但繩長(zhǎng)和速率的變化差異較大。基于矩陣分解模態(tài)控制器下繩長(zhǎng)、速率最終全部回到穩(wěn)態(tài)值1和0(無(wú)靜差)，系統(tǒng)回復(fù)到了平衡位置，快速性和平穩(wěn)性較好；而LQR+降維觀測(cè)器對(duì)繩長(zhǎng)和速率控制的平穩(wěn)性較差，控制效果并不理想。繩長(zhǎng)超調(diào)量達(dá)到了21.59%，是基于矩陣分解控制方法的2倍；峰值速率為0.44(13.442 m/s)，對(duì)系繩機(jī)構(gòu)的要求更為嚴(yán)苛。

圖4 捕獲后系繩張力變化曲線Fig.4 Variation curves of tether tension after capture

圖5 捕獲后各狀態(tài)量受控變化曲線Fig.5 Changing curves of state variables under control after capture

基于矩陣分解方法設(shè)計(jì)的控制器對(duì)線性化模型和非線性模型的控制曲線基本重合。故基于線性化模型設(shè)計(jì)的模態(tài)控制律在實(shí)際非線性模型下也具有標(biāo)稱的控制效果，其對(duì)非線性模型的控制效果與對(duì)線性化模型控制的效果基本相同，繩長(zhǎng)、速率、面內(nèi)角及面內(nèi)角速率最終都在有限時(shí)間內(nèi)回到平衡位置附近，過(guò)渡過(guò)程相對(duì)平穩(wěn)，沒(méi)有對(duì)控制機(jī)構(gòu)提出額外的要求，從而表明利用矩陣分解方法設(shè)計(jì)的控制律對(duì)于捕獲后系統(tǒng)的面內(nèi)擺動(dòng)抑制是有效的。

由式(11)可知，捕獲完成后系繩的面內(nèi)擺動(dòng)角速率的大小直接或間接受到目標(biāo)物的質(zhì)量以及捕獲瞬間二者的距離(即繩長(zhǎng))的影響；與此同時(shí)，系統(tǒng)各部分質(zhì)量變化會(huì)直接改變非線性模型中參數(shù)φ1、φ2、φ3、φ4。因此，需計(jì)算目標(biāo)物、系繩質(zhì)量不同時(shí)捕獲后系統(tǒng)的角速率，并在新的初始條件下進(jìn)行仿真對(duì)比，進(jìn)一步檢驗(yàn)本文設(shè)計(jì)的控制器對(duì)系統(tǒng)的控制效果。

質(zhì)量mA=1 600 kg捕獲平臺(tái)利用lc=30 km的系繩對(duì)不同質(zhì)量的目標(biāo)物進(jìn)行捕獲時(shí)，利用式(11)計(jì)算捕獲前后角速率以及捕獲窗口結(jié)束時(shí)系繩的面內(nèi)角的大小，并將捕獲后角速率化為無(wú)量綱形式作為仿真初始條件進(jìn)行仿真，系統(tǒng)各狀態(tài)量變化曲線如圖6所示。盡管仿真初始條件根據(jù)目標(biāo)物質(zhì)量變化而有所改變，但系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程平穩(wěn)，4個(gè)狀態(tài)量出現(xiàn)波峰和波谷的時(shí)間相差無(wú)幾，且長(zhǎng)度、速率、面內(nèi)角的超調(diào)量均隨目標(biāo)物質(zhì)量的增加而微弱增加。

質(zhì)量mA=1 600 kg捕獲平臺(tái)利用不同的長(zhǎng)度系繩對(duì)質(zhì)量mp=100 kg的目標(biāo)物進(jìn)行捕獲時(shí)，系統(tǒng)各狀態(tài)量變化曲線如圖7所示。與捕獲平臺(tái)和目標(biāo)物的質(zhì)量變化相比，繩長(zhǎng)變化對(duì)仿真初始條件的影響更為明顯，而對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響也更為劇烈。系統(tǒng)狀態(tài)量的波峰/波谷都會(huì)隨系繩長(zhǎng)度增加而更高/低，即在一定程度上系繩長(zhǎng)度越長(zhǎng)，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。

圖6 捕獲不同目標(biāo)物后各狀態(tài)量受控變化曲線Fig.6 Changing curves of state variables under control with different captured debris

綜合上述分析可以看出，相比LQR控制器繁瑣的調(diào)參工作，以及降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)中觀測(cè)器矩陣特征值復(fù)雜的選定工作，矩陣分解方法根據(jù)較為理想的參考傳遞函數(shù)，直接設(shè)計(jì)出了控制效果較為理想的控制器，省去了相應(yīng)的調(diào)參工作。本文設(shè)計(jì)的控制律能夠有效解決捕獲后系繩面內(nèi)擺動(dòng)的抑制任務(wù)，過(guò)渡過(guò)程平穩(wěn)，其狀態(tài)量出現(xiàn)波峰波谷的時(shí)間相近，大小變化不大，控制效果良好，任務(wù)適應(yīng)性強(qiáng)。因此，基于矩陣分解方法設(shè)計(jì)的控制器能夠有效地將空間系繩系統(tǒng)控制在期望的穩(wěn)定狀態(tài)，同時(shí)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便，沒(méi)有繁瑣的調(diào)參環(huán)節(jié)。

圖7 不同長(zhǎng)度系繩完成捕獲后各狀態(tài)量受控變化曲線Fig.7 Changing curves of state variables under control with different length of tether after capture

6 結(jié) 論

1) 基于矩陣分解設(shè)計(jì)的控制律能夠有效控制系繩展開(kāi)非標(biāo)稱行為及捕獲后面內(nèi)擾動(dòng)，超調(diào)量較小，過(guò)渡過(guò)程平穩(wěn)且調(diào)節(jié)時(shí)間相對(duì)較短；此外，該控制律在模型質(zhì)量參數(shù)存在大范圍不確定性的情況下同樣具有較好的控制效果和抗干擾能力。

2) 本文設(shè)計(jì)的控制律相比于常見(jiàn)的LQR+降維觀測(cè)器方法，具有更好的控制效果，且將閉合特征方程設(shè)計(jì)為標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法中指定形式，其控制效果可預(yù)期。此外，設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)單，避免了繁瑣的調(diào)參工作。

3) 仿真表明，本文設(shè)計(jì)的控制律對(duì)于目標(biāo)物以及系繩質(zhì)量(長(zhǎng)度)大范圍變化的系統(tǒng)同樣適用，故可以適用于一大類大質(zhì)量捕獲平臺(tái)捕獲小質(zhì)量目標(biāo)物的系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持和擺動(dòng)抑制的問(wèn)題，為利用空間系繩系統(tǒng)進(jìn)行捕獲的回穩(wěn)控制提供了有用參考。