高空太陽能無人機三維航跡優化

王少奇， 馬東立， 楊穆清， 張良

(北京航空航天大學航空科學與工程學院, 北京 100083)

近年來，能源危機和環境污染已經成為人類社會面臨的主要挑戰。太陽能無人機依靠鋪設在機翼表面的太陽能電池將太陽輻射能轉化為電能，通過電機驅動螺旋槳產生前進動力，具有可持續、無污染的特點。高空太陽能無人機能夠在平流層飛行數天乃至數月，可以廣泛應用于遙感、偵察、通信等諸多領域，成為近年來各國研究的熱點[1-3]。

目前，太陽能無人機晝夜閉環飛行高度和載荷能力的進一步提升主要受太陽能電池效率和儲能電池能量密度等因素的制約[4]。這些子系統技術水平的提升需要投入大量時間和經濟成本。而由于能源系統的特殊性，飛行航跡優化為提升高空太陽能無人機飛行性能和載荷能力提供了一個重要途徑，應當引起足夠的重視[5]。

國內外針對太陽能無人機飛行航跡優化的措施主要集中在2個方面。一是通過改變無人機飛行姿態，增加凈吸收能量。Klesh和Kabamba[6-7]利用極大值原理給出了水平面內點到點飛行任務最優航跡的解析解。Spangelo和Gilbert[8-9]采用周期性樣條函數來表示航跡，研究了短時間小半徑盤旋時的最優航跡。Ma等[10]推導了最優轉彎過程的必要條件，并進一步得到了轉彎過程中的最優滾轉角控制率。Dai[11]考慮了天氣因素，結合圖譜法和Bellman-Ford搜索算法，研究了低空水平飛行的航跡規劃問題。在此基礎上，Vasisht、Mesbahi[12]和Wu等[13-14]針對地面目標追蹤、多機聯合監視等特殊任務開展了航跡優化。在這些研究中，無人機的運動限定在二維水平面內。另一個措施是通過改變飛行高度，利用重力儲能代替部分儲能電池的作用。Gao等[15-17]采用高斯偽譜法研究了下滑過程的最優航跡，分析了重力儲能和二次電池的等價性，并提出了一種晝夜閉環能量管理策略。Xu等[18]基于鋰電池的充放電特性，提出了相似的飛行策略。在這些研究中，無人機的運動限定在二維鉛垂平面內。目前國內外學者針對太陽能無人機航跡優化的研究已經取得了很大進展。但同時采取上述2種措施對高空太陽能無人機在三維運動時的航跡優化研究還鮮見相關文獻資料。

本文建立了高空太陽能無人機三維航跡優化模型，研究同時利用改變飛行姿態和飛行高度2種措施來提升飛行性能的效果。采用高斯偽譜法離散狀態方程和約束方程，將最優控制問題轉化為非線性規劃問題。針對典型的點到點飛行任務，以儲能電池剩余電量為目標函數，優化得到了能量最優飛行航跡，并與常規定高定速航跡進行了對比分析。

1 航跡優化建模

1.1 動力學模型

假設無人機具有縱向對稱平面，如圖1所示。無風條件下的質點動力學方程為

(1)

式中：x、y、z為地面坐標系下的無人機位置坐標；V為空速；γ為爬升角；χ為航跡偏角；φ為滾轉角；m為無人機質量；g為重力加速度；L、D和T分別為升力、阻力和螺旋槳推力。阻力和螺旋槳推力平行于速度方向，升力垂直于速度方向。地面坐標系Og-XgYgZg和機體坐標系Ob-XbYbZb的定義如圖1所示。

升力L和阻力D可以表示為

(2)

式中：ρ為空氣密度；S為機翼面積；CL和CD分別為升力系數和阻力系數。

圖1 地面坐標系和機體坐標系示意圖Fig.1 Schematic diagram of earth-fixed coordinate system and aircraft body-fixed coordinate system

CL、CD受翼型、迎角α和雷諾數Re的影響，通過式(3)計算，式中系數Aij、Bij通過計算流體力學(Computational Fluid Dynamics，CFD)方法得到，數值見表1和表2。

(3)

飛行高度越高，偵察范圍越廣，對z坐標作如下限制。

z≥Hmin

(4)

式中：Hmin為執行任務所允許的最低飛行高度，取15 km。

表1 系數Aij的值Table 1 Value of coefficients Aij

表2 系數Bij的值

1.2 能源系統模型

1.2.1 太陽能電池模型

對于高空太陽能無人機，因其大部分時間飛行在云層之上，可以忽略云層的遮擋。太陽能電池輸出電功率Psc為

Psc=PsdSscηscηMPPTcosκ

(5)

式中：Psd為太陽光譜密度；Ssc為太陽能電池面積；ηsc為太陽能電池效率；ηMPPT為最大功率點跟蹤(Maximum Power Point Tracking，MPPT)控制器效率；κ為太陽入射角。

太陽入射角κ可以表示為

(6)

太陽能電池板單位法向量在地面坐標系中可表示為

(7)

入射光線單位向量在地面坐標系中可表示為

(8)

式中：αe和αa分別為太陽高度角和方位角，可通過式(9)確定。

(9)

式中：Φ為當地緯度；δ為太陽赤緯；ωt為太陽時角；nd為一年中的日子數(從1月1日開始計)；th為真太陽時。

1.2.2 儲能電池模型

鋰硫(Li-S)電池能量密度較高，具有作為太陽能無人機二次電源的應用前景[19]，其充電速率可以表示為[20]

(10)

式中：VOC為開路電壓；RI為電池內阻；QB為電池容量；PB為電池放電功率；SOC表示儲能電池的電量狀態，定義為當前電量與最大電量的比值。

為使Li-S電池具有更長的循環壽命，將SOC的值限制在如下范圍：

0.25≤SOC≤0.9

(11)

1.2.3 功率消耗模型

太陽能無人機的功率消耗部件包括電機和機載電子設備，其中機載電子設備的功率相對較小，在本文中忽略。電機提取功率為

(12)

式中：ηm為電機效率；ηp為螺旋槳效率。ηp受螺旋槳前進比λ和特征雷諾數Rep的影響，通過式(13)計算。

(13)

式中：系數Cij由CFD方法得到，數值見表3，λ和Rep的定義分別如式(14)和式(15)所示。

表3 系數Cij的值Table 3 Value of coefficients Cij

(14)

(15)

式中：Dp為螺旋槳直徑；n為轉速；c0.75R為槳葉75%半徑處的當地弦長；μ為空氣動力黏性系數。

電機提取功率需滿足：

Pm-Psc-PB≤0

(16)

1.3 優化問題描述

以α、φ、PB、T為控制變量，以任務結束時刻儲能電池的電量狀態SOCf為目標函數，高空太陽能無人機三維飛行航跡優化問題可以描述為最優控制問題，即

(17)

并滿足式(1)、式(10)組成的狀態方程，同時滿足式(4)、式(11)和式(16)組成的過程約束條件。

2 離散方法

第1節中的最優控制問題的時間區間定義在[t0,tf]，經式(18)變換到[-1,1]。

(18)

以N階Legendre-Gauss多項式GN(τ)的零點τ={τ1,τ2,…,τN}作為配點，τ分布在區間(-1, 1)上，添加τ0=-1，以τ*={τ0,τ1,…,τN}作為離散點。

(19)

以N+1階Lagrange插值多項式Li(τ)作為基函數，將狀態變量近似為

(20)

式中：

(21)

類似地，將控制變量近似為

(22)

式中：

(23)

將狀態變量的時間導數近似為

(24)

式中:k=1, 2, …,N。

初始時刻狀態變量滿足：

X(-1)=x0

(25)

結束時刻狀態變量X(1)采用高斯積分估計：

X(1)=X(-1)+

(26)

式中：Ak為高斯積分系數，可表示為

(27)

通過采用高斯偽譜法，將最優控制問題轉化成為非線性規劃問題，待優化參數為：x(τi),i=0,1,…,N和u(τi),i=1,2,…,N。

3 優化結果分析

3.1 仿真參數

高空太陽能無人機參數見表4，各部件的能量轉換效率見表5。考慮一種典型的點到點飛行任務，即從指定的初始點出發，在給定的時間到達指定的終點。假設無人機在北京(39.9°N)上空飛行，日期為3月21日，太陽光譜密度為1 352 W/m2。初始時刻為0 h，初始時刻無人機位置坐標為[0 0 0]Tm，儲能電池電量狀態SOC0=0.6；結束時刻為24 h，結束時刻無人機位置坐標為[0 0 0]Tm。

表4 高空太陽能無人機基本參數Table 4 Basic parameters of high-altitude solar-powered UAV

表5 各部件能量轉換效率

3.2 結果分析

作為對比，首先給出一種常規飛行航跡。在這種航跡中，無人機以有利速度在任務允許的最低高度定高定速飛行。其能量管理策略為：

1) 當Psc=0且SOC>0.25時，令PB=Pm。

2) 當Psc>0且0.25≤SOC<0.9時，令PB=Pm-Psc。

3) 當Psc>0且SOC=0.9時，令PB=0。

取配點數量N為50，優化得到能量最優航跡，與常規航跡的仿真結果對比見表6。與常規航跡相比，優化航跡能使儲能電池剩余電量提高18.8%，相當于可以使儲能電池重量減小6.5 kg。這些重量可以省掉，也可以分配給任務載荷，將使得飛行性能進一步提高。此外，結果顯示SOCf>SOC0，這意味著無人機可以在儲能電池剩余電量不減小的前提下完成下一個晝夜循環，使數天乃至數月的超長航時飛行成為可能。

圖2給出了常規航跡和優化航跡對應的太陽能電池輸出電功率Psc、儲能電池放電功率PB及電機提取功率Pm曲線。根據優化航跡的特點，將其分為4個階段。在常規飛行航跡中，Psc的最大值為4 189 W，出現在t=12 h。而在優化航跡中，通過改變飛行姿態，Psc得到提高，其最大值為4 344 W，出現在t=12.9 h。在整個晝夜循環里，優化航跡使太陽能無人機的凈吸收能量提高了9.2%。

表6 仿真結果對比Table 6 Comparison of simulation results

圖2 常規航跡及優化航跡功率Fig.2 Power of common flight path and optimized flight path

在常規航跡中，無人機定高定速飛行，電機提取功率始終為1 104 W。而在優化航跡中，自t=12.9 h開始，電機提取功率增大至和太陽能電池輸出電功率一致。當12.9 h

常規航跡與優化航跡在水平面的投影如圖3所示。

階段①：定高巡航

由于Psc=0 W，常規航跡和優化航跡都旨在使功率消耗最小化，因而在這一階段中，2種航跡的狀態變量和控制變量幾乎相同。如圖4所示，無人機在任務允許的最低高度(15 km)以平飛最小功率對應的有利速度(23.3 m/s)飛行。迎角始終為1.5°，航跡傾角始終為0°，分別見圖5(a)和圖5(b)。螺旋槳推力約為34.4 N，儲能電池放電功率為1 104 W。

圖3 航跡在x-y平面內的投影對比Fig.3 Comparison of flight path projection on x-y plane

圖4 常規航跡與優化航跡的飛行高度及飛行速度對比Fig.4 Comparison of flight altitude and velocity between common and optimized flight path

為了盡可能降低需用功率，滾轉角本應為0°。但為了滿足結束時刻的邊界條件，同時為了在下一階段獲取更多的能量，無人機維持較小但不為0°的滾轉角以改變航向(見圖5(a))。在該階段結束時刻，航跡偏角約為180°，如圖5(b)所示。

該階段結束的標志為：Psc>0。

階段②：平飛充電

與階段①相似，無人機依舊在任務允許的最低高度(15 km)以平飛最小功率對應的有利速度(23.3 m/s)飛行，如圖4所示。當Psc>Pm時，利用剩余功率給儲能電池充電。隨著Psc逐漸增大，當t=12 h時，達到最大充電功率3 179 W，如圖2(b)所示。

為了增加太陽能電池板吸收功率，無人機以較小的滾轉角來改變航向，通過這一方式，太陽能電池獲取的能量提高了0.99 kW·h。

該階段結束的標志為：SOC達到最大值0.9，如圖6所示。

圖5 常規航跡與優化航跡的迎角、滾轉角、航跡傾角和航跡偏角對比Fig.5 Comparison of angle of attack, roll angle, flight path angle and heading angle between common and optimized flight path

階段③：爬升飛行

由于儲能電池已經充滿電，無人機利用剩余功率爬升，初始爬升率為1.5 m/s，初始爬升角為3.6°。隨著Psc的減小及Pm的增大，爬升率逐漸減小，在t=15.7 h時刻，爬升率減小至0 m/s，無人機到達最大高度(22.6 km)。在爬升過程中，飛行速度接近于當前高度對應的有利速度。爬升過程持續2.8 h，無人機利用7.6 km的高度差儲存了2.7 kW·h的重力勢能。

值得注意的是，飛行高度越高，平飛需用功率越大，在總太陽能一定的情況下，飛行需用功率越小，剩余功率越大。因此，為了使儲能電池剩余電量最大化，應在充滿電之后再爬升，而不是爬升到一定高度之后再充電。

和階段②類似，通過調整滾轉角和航跡偏角，使得太陽能電池獲取的能量增大了1.54 kW·h。

該階段結束的標志為：剩余功率為0 W。

圖6 常規航跡與優化航跡的儲能電池電量狀態對比Fig.6 Comparison of battery pack state of charge between common and optimized flight path

階段④：下降階段

太陽能不足以維持在當前高度繼續平飛，無人機開始下降。在日落前，無人機保持有動力下降，充分利用太陽能以爭取盡可能長的下降時間，在這段時間里，通過改變飛行姿態，太陽能電池獲取的能量提高了0.38 kW·h。在日落之后，利用重力勢能無動力下滑。整個下降過程持續3.6 h。

該階段結束的標志為：無人機到達任務允許的最低高度。

在階段④結束后，階段①重新開始，形成一個完整的循環。

在階段③和階段④，無人機存儲并利用重力勢能，代替了部分儲能電池的作用。在這4 個階段里，無人機不斷調整滾轉角和航跡偏角以滿足結束時刻的邊界條件，更重要的是通過這種方式，太陽能電池吸收功率得到了提高。

4 結 論

本文提出了高空太陽能無人機三維航跡優化方法，針對一種典型的點到點飛行任務進行了航跡優化，并與常規定高定速航跡進行了對比。主要結論如下：

1) 高斯偽譜法適用于高空太陽能無人機航跡優化問題。

2) 通過調整飛行姿態，可以使高空太陽能無人機的凈吸收能量提高9.2%。

3) 結合調整飛行姿態和改變飛行高度兩種措施能夠獲得更大的能量優勢，使儲能電池剩余電量提高18.8%。

4) 為了使儲能電池剩余電量最大化，應在儲能電池充滿電之后再爬升。