衛(wèi)星微振動液阻隔振器建模與試驗研究

劉巧斌， 史文庫， 柯俊， 陳志勇,*， 曹飛， 閔海濤

(1. 吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室, 長春 130022; 2. 浙江理工大學 機械與自動控制學院, 杭州 310018)

衛(wèi)星上所搭載的精密儀器設備經(jīng)常處于低頻微幅的振動環(huán)境中。液體阻尼式隔振器(簡稱液阻隔振器)是一種廣泛應用于衛(wèi)星微振動隔離的隔振裝置[1-5]。

建立準確、簡潔而物理意義清晰的隔振器模型，是進一步對隔振器進行性能預測、結(jié)構(gòu)改進以及優(yōu)化控制的基礎。國內(nèi)外學者在液阻隔振器建模方面進行了大量的研究，建立了各式各樣的液阻隔振器模型，總體而言可以分為3類：第1類為質(zhì)量-彈簧-阻尼元件模型，通過將隔振器等效為一些簡單的質(zhì)量、彈簧和阻尼元件的串并聯(lián)，從而實現(xiàn)隔振器性能的仿真預測[6-8]；第2類為流體力學集中質(zhì)量模型，通過建立流體力學模型，根據(jù)力學等效原理，將連續(xù)流體等效為集中質(zhì)量，對液體阻尼的非線性特性進行分析[9-10]；第3類為流固耦合有限元模型，這種建模方法通過建立隔振器的流體-固體耦合作用的有限元分析模型，并在有限元模型中施加載荷激勵與提取響應，從而計算隔振器的動特性[11-12]。

分數(shù)階導數(shù)建模方法是介于第1類和第2類的新方法，這種建模方法來源于黏彈性材料的分數(shù)階本構(gòu)模型。近年來，學者們引入分數(shù)階導數(shù)建立了隔振系統(tǒng)模型，取得了一系列成果[13-16]。分數(shù)階導數(shù)模型能夠在使用較少的參數(shù)條件下，實現(xiàn)對黏彈性材料宏觀力學性能的準確預測[17-19]，因此本文采用一種改進型分數(shù)階導數(shù)模型對波紋管式液阻隔振器進行建模，并通過試驗驗證模型的正確性。

1 隔振器結(jié)構(gòu)和工作原理

本文所研究的隔振器是一種波紋管式液阻隔振器，主要用于衛(wèi)星微振動的隔離。圖1為波紋管式液阻隔振器的結(jié)構(gòu)示意圖。隔振器的主要承載功能由外部的金屬波紋管承擔，并通過金屬波紋管的彈性變形吸收振動能量，從而實現(xiàn)振動的隔離。此外，阻尼板上下的波紋管構(gòu)成的液室在外部載荷的作用下，產(chǎn)生體積膨脹效應和活塞泵吸效應，這2個效應使得上下液室存在壓力差，在壓力差的作用下，液體通過阻尼通道來回振蕩運動，產(chǎn)生阻尼，消耗振動能量，實現(xiàn)沖擊振動的快速衰減。

圖1 波紋管式液阻隔振器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of bellow type vibration isolator with hydraulic damping

在靜態(tài)載荷和動態(tài)載荷的作用下，波紋管式液阻隔振器呈現(xiàn)出不同的剛度和阻尼特性，其剛度阻尼特性具有明顯的隨激勵頻率變化的頻變特性和隨激勵振幅變化的幅變動特性。

2 改進型分數(shù)階導數(shù)模型

為了實現(xiàn)對波紋管式液阻隔振器頻變、幅變動特性的模擬，借鑒Pritz[16]所提出的五參數(shù)黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系模型，建立波紋管式液體阻尼隔振器的五參數(shù)分數(shù)階導數(shù)模型，在此基礎上，進行參數(shù)的幅值相關(guān)性修正，從而建立起可以同時進行頻變和幅變分析的改進型分數(shù)階導數(shù)模型。黏彈性材料的分數(shù)階導數(shù)本構(gòu)關(guān)系模型為

(1)

式中：σ(t)為應力；ε(t)為應變；K0、K∞、τ、α和β分別為分數(shù)階導數(shù)本構(gòu)關(guān)系模型的5個參數(shù)，可由時間的應力應變關(guān)系曲線的擬合獲得。

對式(1)進行拉普拉斯變換，獲得材料的微觀彈性模量表達式，將其推廣至宏觀上，可得復剛度表達式，即

(2)

圖2 復剛度、存儲剛度和損耗剛度三者之間的幾何關(guān)系Fig.2 Geometric relationship among complex stiffness, storage stiffness and loss stiffness

由式(2)的復剛度，進一度定義動剛度和滯后角的表達式分別為

(3)

(4)

式中：動剛度Kd的數(shù)值大小即為圖2中的對角線長度。

結(jié)合波紋管式液體阻尼隔振器的結(jié)構(gòu)和實測動特性曲線，對式(2)的分數(shù)階導數(shù)模型進行改進，考慮幅變特性對5個參數(shù)的影響，將分數(shù)階導數(shù)模型改進為

k(s,x)=ks(x)+(k1(x)-

(5)

式中：引入幅變因子x，將式(2)中的初始動剛度K0，高頻動剛度K∞，時滯因子τ，分數(shù)階因子α和β這5個參數(shù)由不考慮幅變特性的常數(shù)改進為含幅變特性的ks(x)、k1(x)、τ(x)、α(x)和β(x)這5個幅變參數(shù)。

3 幅變動特性模型參數(shù)識別

為了進行分數(shù)階導數(shù)模型的參數(shù)識別，對波紋管式液阻隔振器進行動靜特性試驗。試驗在MTS 831.10彈性試驗機上進行。該試驗臺采用液壓伺服控制系統(tǒng)產(chǎn)生作動位移，位移激勵的最大振幅范圍為±50 mm，最大激振力為25 kN, 最大激振頻率為200 Hz。圖3(a)所示是試驗臺的示意圖，通過上下夾具將隔振器固定在試驗臺上，在夾具上下端分別布置有力傳感器，在下夾具下方設置有作動器，作動器通過液壓伺服系統(tǒng)產(chǎn)生所需的位移激勵。圖3(b)所示是動靜特性試驗臺的實物圖。通過在隔振器下端施加位移振動激勵載荷，在隔振器上方測量傳遞力，從而計算獲得實際的剛度和阻尼。在靜特性試驗時，分別采集位移激勵幅值最大值為0.1、0.5、1.0、1.5和2.0 mm的5組數(shù)據(jù)，獲得隔振器的位移-力滯回特性曲線，通過計算滯回曲線的斜率，即可得到隔振器的靜剛度。在動特性試驗時，分別施加位移振幅為0.1、0.2、0.4、0.6、0.8和1.0 mm，頻率為5～200 Hz的正弦掃頻位移激勵6組。由于試驗臺激振器作動頻率的限制，掃頻激勵最小頻率為5 Hz，掃頻頻率間隔為1 Hz。

圖3 隔振器動靜特性試驗臺示意圖和實物圖Fig.3 Schematic diagram and picture of dynamic and static characteristic testbed for vibration isolator

通過對比不同幅值的靜剛度滯回曲線，發(fā)現(xiàn)位移激勵對靜剛度的影響很小。為了研究的方便，忽略金屬波紋管靜剛度的幅變特性，在分數(shù)階導數(shù)模型中，令靜剛度ks為常數(shù)。圖4所示是位移激勵最大幅值為1 mm時的隔振器靜剛度特性曲線，根據(jù)試驗曲線擬合獲得靜剛度ks=18.12 N/mm。圖5所示是動特性掃頻試驗測得的隔振器被動端相對主動端的力傳遞率曲線，由圖可知，隨著位移激勵振幅的增加，隔振器的隔振性能下降，說明所研究的隔振器適用于微振動的隔離，對于大幅振動的隔離性能不如微幅振動。

根據(jù)試驗數(shù)據(jù)和式(3)～式(5)，通過調(diào)用MATLAB的nlinfit函數(shù)，采用非線性最小二乘法分別對試驗幅變動特性曲線的參數(shù)進行識別。圖6所示是模型參數(shù)識別的流程圖。識別獲得的不同幅值激勵下的分數(shù)階導數(shù)模型參數(shù)如表1所示。

分析表1的參數(shù)識別結(jié)果可知，4個參數(shù)呈現(xiàn)明顯的幅值相關(guān)性。通過曲線擬合發(fā)現(xiàn)，使用二次多項式可以對這4個參數(shù)的幅值相關(guān)性進行有效的擬合，擬合結(jié)果如表2所示。由相關(guān)系數(shù)可知，擬合值和最小二乘法參數(shù)識別結(jié)果的相關(guān)系數(shù)達到0.96以上，說明擬合效果很好。4個參數(shù)的幅值相關(guān)性的二次多項式擬合結(jié)果表達式分別為

圖4 隔振器靜特性曲線Fig.4 Static characteristic curve of vibration isolator

圖5 隔振器動特性試驗力傳遞率曲線Fig.5 Force transmissibility curves of vibration isolator in dynamic characteristic test

圖6 模型參數(shù)識別流程圖Fig.6 Flowchart of model parameter identification

幅值/mmk1/(N·mm-1)αβτ/s0.1120.1270.9180.9000.02610.2116.6510.9270.9020.03460.4103.6741.0921.0490.04440.697.3691.0941.0460.05730.894.4641.1411.0910.06061.093.9181.1321.0850.0639

表2 參數(shù)識別結(jié)果的二次多項式擬合

k1(x)=42.341x2-76.807x+128.456

(6)

α(x)=-0.426x2+0.721x+0.835

(7)

β(x)=-0.348x2+0.603x+0.829

(8)

τ(x)=-0.041x2+0.087x+0.018

(9)

圖7(a)～(d)所示分別是參數(shù)k1、α、β和τ的識別結(jié)果和擬合結(jié)果的對比。由圖可知，動態(tài)硬化剛度k1隨著激勵幅值的增大而減小，說明位移激勵的幅值越大，液體的高頻動態(tài)硬化現(xiàn)象越小；而參數(shù)α、β和τ隨著激勵幅值的增加而增大，說明激勵幅值增大，分數(shù)階導數(shù)的階次增加，液體阻尼增大，時滯增加，阻尼通道內(nèi)的液柱共振頻率減小。以上結(jié)論和相關(guān)液阻減振器的幅變動特性研究結(jié)論相一致[20-21]，并與試驗結(jié)果相吻合，說明了理論建模和參數(shù)識別結(jié)果的可靠性。

聯(lián)合式(5)～式(9)，用提出的改進型分數(shù)階導數(shù)模型對隔振器的動特性進行仿真，并與實測數(shù)據(jù)進行對比，圖8是在幅值為0.2、0.6和1.0 mm時采用改進型分數(shù)階導數(shù)模型的仿真結(jié)果與實測動剛度和滯后角的對比。由仿真結(jié)果與實測結(jié)果的對比可知，采用改進型分數(shù)階導數(shù)模型可以對波紋管式液阻隔振器的幅變、頻變動特性進行準確的描述。實測動剛度曲線由于夾具和激振器的條件限制，存在一些噪聲干擾，因此在數(shù)值上出現(xiàn)一些波動。

圖7 參數(shù)k1、α、β和τ識別結(jié)果與擬合結(jié)果對比Fig.7 Comparison between identified and fitting results of parameter k1,α,β and τ

圖8 不同幅值的動剛度和滯后角仿真與試驗曲線對比Fig.8 Comparison of simulation and experimental dynamic stiffness and loss angle curves with different amplitudes

4 參數(shù)影響分析

為分析分數(shù)階導數(shù)模型的主要模型參數(shù)對隔振器動特性曲線的影響。采用控制變量方法分別研究模型中5個參數(shù)分別相對初始參數(shù)變化0.8～1.2倍時相應的動特性曲線的變化情況。

圖9所示是高頻動剛度k1對動剛度和滯后角的影響,k10為初始值，由圖可知，隨著k1的增加，動剛度和滯后角增加，此外，k1主要影響高頻動剛度和峰值滯后角的數(shù)值。

圖10所示是靜剛度ks對動剛度和滯后角的影響，ks0為初始值，由圖可知，ks主要影響動剛度曲線的低頻段和滯后角曲線的峰值，隨著ks的增加，低頻動剛度增大，滯后角峰值減小。

圖9 參數(shù)k1對動剛度和滯后角的影響Fig.9 Influence of parameter k1 on dynamic stiffness and loss angle

圖10 參數(shù)ks對動剛度和滯后角的影響Fig.10 Influence of parameter ks on dynamic stiffness and loss angle

圖11所示是分數(shù)階導數(shù)的分子階次α和分母階次β對動剛度和滯后角的影響，α0和β0為初始值。由圖可知，這2個參數(shù)控制了隔振器動特性曲線的液柱共振區(qū)，分數(shù)階因子α和β的數(shù)值越大，液柱共振區(qū)間范圍的動剛度和滯后角越大，動剛度曲線的斜率越大，滯后角峰值越高，說明液體阻尼的慣性效應越明顯。當分數(shù)階次因子為1時，分數(shù)階模型轉(zhuǎn)化為線性速度阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)阻力主要與位移的導數(shù)成正比；而分數(shù)階次因子為2時，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為質(zhì)量慣性系統(tǒng)，系統(tǒng)阻力主要與位移的二階導數(shù)成正比。對于本文所研究的黏彈性液阻隔振器，分數(shù)階因子介于1和2之間，在激勵幅值小時，由于彈性力的影響更明顯，分數(shù)階因子出現(xiàn)略小于1的現(xiàn)象，與表1所示的參數(shù)識別結(jié)果所揭示的規(guī)律相一致。

圖12所示是時滯因子τ對動剛度曲線和滯后角的影響，τ0為初始值。由圖可知，τ改變后，曲線沿橫坐標平移，說明時滯因子τ主要表征阻尼通道中液柱的共振頻率，隨著時滯的增加，共振頻率減小，曲線整體左移。

圖11 參數(shù)α和β對動剛度和滯后角的影響Fig.11 Influence of parameter α and β on dynamic stiffness and loss angle

圖12 參數(shù)τ對動剛度和滯后角的影響Fig.12 Influence of parameter τ on dynamic stiffness and loss angle

5 結(jié) 論

本文在分析了某衛(wèi)星微振動液阻隔振器結(jié)構(gòu)和工作原理的基礎上，建立了隔振器改進型分數(shù)階導數(shù)模型，對隔振器的幅變、頻變動特性進行仿真，并與實測動特性曲線進行對比，驗證了所提出的模型的正確性，可為類似微振動隔振器的動特性建模提供參考。主要結(jié)論如下：

1) 微振動液阻隔振器具有頻變特性，在液柱共振時，隔振器動剛度和阻尼角出現(xiàn)峰值，從而可以提高隔振器衰減大幅振動的能力。

2) 微振動液阻隔振器具有明顯的幅變特性，隨著激勵振幅的增加，分數(shù)階的階次因子逐漸增大，時滯因子逐漸增大，動態(tài)硬化等效線剛度逐漸減小，可采用二次多項式對分數(shù)階導數(shù)動特性模型的參數(shù)幅變相關(guān)性進行擬合。

3) 由分數(shù)階導數(shù)模型的參數(shù)影響分析結(jié)果可知，液阻隔振器的靜剛度ks主要影響動剛度曲線的起點和滯后角曲線的峰值；動態(tài)硬化等效線剛度k1主要影響動剛度曲線的高頻段和滯后角曲線的峰值；分數(shù)階因子α和β共同決定了動剛度特性曲線共振區(qū)斜率和峰值頻率；時滯因子τ主要影響動特性曲線液柱共振峰值頻率點的位置。