基于平流層風場預測的浮空器軌跡控制

李魁， 鄧小龍， 楊希祥， 侯中喜

(國防科技大學空天科學學院, 長沙 410073)

臨近空間是介于航空與航天區域之間、尚未為人類所開發利用的大氣層，其獨特的資源優勢成為了人們關注的焦點[1]。臨近空間底部的平流層具有氣流穩定，空氣流動相對緩慢的特點，特別是在一定時間內，平流層底部存在風速較小的準零風層[2]，一般指平流層高度為17～22 km大氣層內存在的一個上下層緯向風風向相反，上層為東風層，下層為西風層，經向風小，平均全風速小于10 m/s的區域。該區域可用于部署長時間駐空低動態飛行器進行高分辨率對地觀測、通信中繼等任務。

浮空器一般指飛行高度在海拔20～30 km之間的臨近空間低動態飛行器，通過攜帶光學、微波等遙感載荷和無線通信載荷，可實現對特定區域的長期、實時、全天候、全天時的高分辨率對地觀測和高速移動通信，可為空天預警、戰場偵察監視、實時監視、反恐維穩、防災減災、環境監測和高速通信等應用需求提供嶄新的技術手段[3]。

針對準零風層現象，通過控制浮空器上升或下降可以使其進入不同的風層，借助相應風層的風場，使浮空器以期望的方向和速度進行飛行，理論上能以較小的能源和動力代價實現區域駐留。近年來，這種基于風場環境利用的臨近空間浮空器在民用和軍事上取得了突破性的進展。民用上，谷歌公司提出的“Project Loon”項目采取超壓球體制，通過調節副氣囊內空氣量對2 km范圍內不同高度風層的利用進行飛行軌跡設計，通過對氣球組網的控制進行區域連續覆蓋，目的是為偏遠地區提供網絡服務[4]。軍事上，諾斯羅譜·格魯曼(Northrop Grumman)公司提出的“STRATACUS”項目采用零壓球體制的諾格氣球通過控制氦氣溫度對不同高度層風場的利用進行飛行軌跡設計，目的是通過跨多網協作的平流層氣球群為戰區提供C4ISR服務[5]。國內西北工業大學常曉飛等[6]通過控制軌跡控制器姿態調整浮空氣球高度，利用準零風層上下區域緯向風反向的特點實現東西方向控制；利用軌跡控制器產生經向控制力，通過系繩拖動氣球實現南北方向控制。

綜上所述，基于風場利用的臨近空間浮空器是當前研究前沿，通常采取借助平流層底部準零風層緯向風相反的特點實現在一定區域的駐留。因此，對平流層風場環境的研究是開展浮空器軌跡控制和區域駐留研究的前提和保障。本文以長沙地區風場數據為例，研究平流層風場隨空間和時間的變化特點，通過本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)方法對風場數據進行降階處理；在此基礎上，分別采用Fourier級數與BP神經網絡算法對平流層風場進行預測，并分析了基于2種平流層風場預測模型對浮空器軌跡控制的影響。

1 平流層風場預測模型

POD方法是風場建模中常用的一種方法，本文在采用POD方法對風場數據進行降階處理的基礎上，分別采用Fourier級數與BP神經網絡算法對風場進行預測，風場預測模型原理如圖1所示。

圖1 風場預測模型原理圖Fig.1 Schematic of wind field prediction model

1.1 基于POD方法的風場降階模型

建立海拔高度h1～hL的風場模型，即

(1)

式中：V為風速。假設風場模型統計天數為Md，則A∈RL×M，通常Md≥L。

定義相關矩陣[7]：

R=AAT

(2)

則R∈RL×L，顯然R是實對稱正定矩陣，可分解為

R=DΛDT

(3)

式中：Λ為L個由大到小排列的特征值(λ1>λ2>…>λL)組成的對角陣；D為L個列為互相正交的特征向量dk(k=1,2,…,L)，它是L維向量的一組基，稱為最優POD基，又稱為POD模態。

(4)

式中：系數矩陣a由L個值組成，計算式為

(5)

若要提取主要的物理信息，利用截斷后的前r階POD模態較全階模態所捕獲的能量比求出需要選取的POD模態階數，將特征值從大到小排列，模態能量比公式為

(6)

以長沙地區為例，采用2005-01-01—2010-12-31每天00：00所測量的風場數據，風場數據由國防科技大學氣象海洋學院提供，數據記錄了長沙地區00：00(世界時)的風速、濕度、溫度和氣壓等氣象要素，數據覆蓋海拔高度0～60 km每隔0.5 km所對應的天氣數據。考慮到臨近空間低動態飛行器駐空期間的工作高度范圍，本文針對海拔高度10～30 km進行研究，下面分別從東西和南北方向進行分析。

相對模態能量分布主要用于識別數據降階處理所需的模態數量。圖2(a)給出了東西方向風場各階POD模態的相對模態能量，前5種模態能量所占的比重相對于其他模態能量具有明顯的區別，圖2(b)表示POD模態的累積模態能量，顯示前6階POD模態可以捕獲到東西方向風場總特征性的99.24%。

由圖3(a)可知，南北方向風場的相對模態能量分布除第1階POD模態之外，其余模態能量呈逐漸下降的趨勢，若只選取前5種模態進行降階處理，不足以表現出風場的主要特征，因此，南北方向風場不能像東西方向一樣高效地進行降階建模。圖3(b)顯示出前11階POD模態能夠捕獲到南北方向風場總特征性的99.16%。東西方向上前6階POD模態的風場模型如圖4(a)所示，南北方向上前11階POD模態的風場模型如圖4(b)所示。

1.2 基于Fourier級數的風場預測模型

通過POD方法可以獲得風場數據在最優POD基上的投影系數，若每一階POD模態的投影系數都具有明顯的空間相關性和周期性，可采用Fourier級數直接進行表示。通過最優POD基與Fourier級數所表示的投影系數可計算出風速隨時間的變化情況，從而可對未來風場進行預測[8]，其計算式為

圖2 東西方向風場POD模態的相對和累積模態能量Fig.2 Relative and cumulative modal energy of east-west wind field POD modes

圖3 南北方向風場POD模態的相對和累積模態能量Fig.3 Relative and cumulative modal energy of north-south wind field POD modes

圖4 POD降階模型Fig.4 POD reduced order model

(7)

式中：t為時間，d；mf為Fourier級數展開的項數；aki和bki為Fourier系數；T為投影系數的振蕩周期。

通過POD方法對2005-01-01—2009-12-31五年風場數據進行降階處理，得到相應的投影系數，分別以東西和南北方向的第1階POD模態的投影系數為例，根據投影系數存在的規律性和周期性，采用Fourier級數進行擬合，如圖5所示。

由圖5可知，相對于南北方向，東西方向的第1階POD模態的投影系數更緊湊、周期性更強，其Fourier級數擬合度高達91.1%，而南北方向上的擬合度只達到32.2%，因此東西方向上的預測風場更能體現出實際風場的變化趨勢。如圖6所示，基于Fourier級數預測出的風場與實際風場具有一定的誤差，預測精度不高。除此之外，風場預測誤差具有隨機性，表現在Fourier級數擬合系數與實際投影系數兩者之間的偏差。

圖5 Fourier級數擬合Fig.5 Fourier series fitting

1.3 基于BP神經網絡的風場短期預測模型

針對Fourier預測模型預測精度不高的問題，在對風場數據進行POD方法降階處理后，采用BP神經網絡算法對風場進行短期預測，將投影系數進行BP神經網絡建模，通過訓練好的網絡對投影系數進行預測。

BP神經網絡模型一般分為3層前饋網或3層感知器：輸入層、中間層(也稱隱含層)和輸出層。主要特點：各層神經元只與相鄰層神經元相連接，同層的內神經元彼此獨立沒有連接，同時各層神經元之間也不存在反饋連接，從而構成了層次分明的前饋型神經網絡系統[9-10]，BP神經網絡拓撲結構如圖1中虛線框圖所示。

BP算法的實質是將一組輸入、輸出問題轉化成非線性映射問題，并通過梯度下降算法迭代求解權值[11-13]。平流層風場短期預測中，對于輸出層有

(8)

對于隱含層有

(9)

式中：變量含義見文獻[11-13]。

設輸出層和隱層的轉移函數為單極性S型函數

(10)

當網絡輸出與實際輸出不等時，存在輸出誤差E，定義如下：

(11)

將以上誤差定義展開至隱含層有

(12)

進一步展開至輸入層有

(13)

網絡輸入誤差是各層權值wjk、vij的函數，因此調整權值可改變誤差E。顯然，調整權值的原則是使誤差不斷的減小。因此在本文所建立的預測模型中將采用一個常用而又有效的方法——快速梯度下降法，使權值的調整量與誤差的負梯度成正比：

(14)

式中：負號表示梯度下降；η∈(0,1)為學習速率。

引入誤差信號：

(15)

可推導出誤差調整公式為

(16)

為了預測2010-10-05的風場，通過POD方法對10月5日以前的風場數據進行降階處理，得到相應的投影系數，分別以東西和南北方向的第1階POD模態的投影系數為例，通過BP神經網絡算法對投影系數的變化進行預測，如圖7所示。

將最優POD基與通過BP神經網絡算法預測出的系數結合可對未來的風場進行預測，如圖8所示，東西方向上的預測風場能夠大致體現出實際風場的變化趨勢，南北方向上的預測精度雖然不高，但由于南北方向上的風速較小，隨高度的變化比較復雜，因此其預測風場具有一定的參考價值。BP神經網絡算法是一種誤差反向傳播算法，不依賴于數據的周期性和規律性，因此基于BP神經網絡算法只能對未來短期內的風場進行預測。

圖7 基于BP神經網絡預測系數Fig.7 Prediction of coefficients based on BP neural network

圖8 基于BP神經網絡風場預測Fig.8 Prediction of wind field based on BP neutral network

2 風場預測誤差分析

分別將東西和南北方向的預測風場與實際風場進行比較，對風場預測誤差進行分析，如圖9所示。隨高度的變化，基于BP神經網絡算法的風場預測誤差在-5～5 m/s小范圍波動，而基于Fourier級數擬合的風場預測誤差范圍較大。在高度20 km附近，2種風場預測模型的預測誤差都接近于0；在15 km附近，基于Fourier級數擬合的預測風場與實際風場相差約20 m/s，因此基于BP神經網絡算法的預測風場與實際風場更吻合，其風場預測精度更高。

2種風場預測方法采取的POD降階階數一致，降階模型導致的誤差也一致，因此風場預測精度與投影系數的擬合程度有直接的關系。分別將2種預測模型的擬合系數與實際投影系數進行比較分析，以第1階POD模態的投影系數為例，如圖10和圖11所示。相對于Fourier級數擬合誤差，基于BP神經網絡所獲取的系數擬合誤差范圍更小，誤差值的分布更加平整、均勻，說明采用BP神經網絡算法的系數擬合程度更高，可信度更強。

圖9 風場預測誤差Fig.9 Wind field prediction errors

圖10 Fourier級數擬合誤差Fig.10 Fourier series fitting errors

圖11 BP神經網絡預測誤差Fig.11 Prediction errors of BP neural network

3 動力學建模

對不同高度緯向風場綜合利用，通過高度調控對浮空器進行東西方向的飛行控制，建立浮空器系統的質點模型，忽略球體彈性變形和姿態變化的影響[14]。下面分別對豎直和水平方向建立動力學模型。

由牛頓第二定律，豎直方向動力學方程為

(17)

式中：M為浮空器總質量和附加慣性質量的總和;vvertical為升降速度。附加慣性質量為飛行器由于運動所排開空氣對其反作用效應，對于體積小的飛行器，其作用可以忽略，但對于體積較大的浮空類飛行器，應考慮附加慣性質量的影響：

M=msystem+kρaVR

(18)

其中：msystem為浮空器系統各部分的質量之和；k為附加慣性質量系數；VR為浮空器體積。

浮空器內氣體狀態方程：

PVR=mHeRHeT+mairRaT

(19)

式中：mHe為浮空器內氦氣質量；RHe為氦氣常數；mair為浮空器內空氣質量；Ra為空氣常數；T為氣體溫度，由于系統高度變化遠快于溫度變化，假定氦氣溫度與環境溫度相同。浮空器在豎直方向所受外力包括浮力Fb、重力G、氣動阻力Fd：

Fvertical=Fb+G+Fdv

(20)

Fb=ρagVR

(21)

G=Mg

(22)

(23)

式中：ρa為大氣環境密度；Sxy為參考面積。本文采用正球形浮力體，其阻力系數CD經驗公式為[15]

(24)

其中：Re為雷諾數。

由牛頓第二定律，水平方向動力學方程為

(25)

在水平方向只受氣動阻力Fdh：

(26)

式中：vhorizontal為水平方向空速；Sxz為參考面積。

浮空器通過高度調控主要是對不同高度風層的風進行有效利用。高度調控分系統通過將空氣排出或壓入副氣囊，改變浮空器的總重量，進而調整駐空浮重平衡狀態。當需要提升浮空器的飛行高度時，開啟排氣閥，副氣囊中空氣受內外壓差作用而排出，減少浮空器總重，在到達預期飛行高度時控制浮重平衡。反之，當需要降低浮空器的飛行高度時，鼓風機作功，將環境空氣壓入副氣囊，增加浮空器總重，在到達預期飛行高度時控制浮重平衡即可。

當浮空器處于上升調控過程，空氣閥門打開，副氣囊中空氣被排出，空氣質量的變化[16]為

(27)

式中：mair為副氣囊空氣質量；ΔP為超壓氣球與大氣環境壓差；Rair為閥門開口半徑；K為閥系數。

當浮空器處于下降調控過程，鼓風機做功將外界空氣壓入副氣囊，空氣質量變化[17]為

(28)

式中：Vin為單位時間進氣量。

4 飛行仿真與分析

根據長沙地區風場數據統計，在10～11月的時間段內，平流層20 km附近存在風速較小的準零風層，因此，通過對臨近空間浮空器的飛行高度進行調控，綜合利用平流層風場能量，可實現在一定區域內駐留。浮空器高度調控的范圍越大，外界壓強的影響越大，對其材料要求、技術水平越高，因此，通過上述所說的2種風場預測方法對18～22 km高度范圍2010-09-29—2010-10-03五天的東西方向風場進行預測，如圖12所示，從其中的實際風場輪廓線可看出，在19 km高度附近存在零風層，在其上下存在風向相反的風層。

根據9月29日的預測風場輪廓線，通過高度調控，將浮空器飛行在風速為零的高度，由于預測風場與實際風場具有偏差，浮空器將會偏離起始位置，隨風自由飄行，因此，計算出這一天實際的飛行位移，再根據9月30日的預測風場輪廓線，搜索出需要的風速所在高度，并對浮空器進行高度調控。依次反復進行調控，具體工作流程如圖13所示。

圖12 五天風場預測Fig.12 Wind field prediction for 5 days

分別以Fourier級數預測風場與BP神經網絡算法預測風場作為參考，根據工作流程，通過仿真，得到浮空器飛行過程中豎直方向的運動狀態如圖14所示。從圖14(a)可看出，基于Fourier級數預測風場，浮空器五天飛行從18 km高度調節到了22 km，調控范圍較大，基于BP神經網絡算法預測風場，大大減少了浮空器的調控范圍，從而可以增強浮空器的使用壽命，減小對浮空器材料與技術的要求。相對于Fourier級數預測風場，基于BP神經網絡算法預測風場的高度調控范圍較小，則高度調控過程中所消耗的時間較短，大大減小了對浮空器排氣閥和鼓風機的要求性能，如圖14(b)所示。

相對于Fourier級數預測模型，基于BP神經網絡算法預測模型的預測精度更高，因此，以BP神經網絡算法預測風場作為參考更為準確，浮空器在東西方向上將隨較小的風速來回飄行，使其在東西方向上的駐空范圍較小，能夠充分利用經向風場能量，實現在一定區域內駐留，如圖15所示。

圖13 工作流程圖Fig.13 Diagram of work process

圖14 豎直方向運動狀態Fig.14 Motion state in vertical direction

圖15 水平方向運動狀態Fig.15 Motion state in horizontal direction

5 結 論

本文通過POD方法將平流層風場數據進行高精度高效率降階處理后，采用了2種預測模型對風場進行預測，分別考慮了2種風場預測模型對浮空器軌跡控制的影響，得出：

1) 以長沙地區為例，選取海拔高度10～30 km五年風場數據，采用了一種對平流層風場數據進行降階處理的POD方法，在此基礎上，分別采用了Fourier級數與BP神經網絡算法對平流層風場進行預測。

2) 對2種模型的預測精度進行了比較分析，通過建立臨近空間浮空器的動力學模型和高度調控模型，分析了2種風場預測模型對浮空器軌跡控制的影響。

3) 相對于Fourier預測模型，基于BP神經網絡預測模型的預測預測誤差波動的范圍更小，誤差值的分布更加平整、均勻，預測精度更高，可信度更強，能夠更好地為浮空器飛行軌跡控制提供參考價值。