基于萊維飛行的改進(jìn)蟻群算法的PID參數(shù)優(yōu)化

孫 悅，何同祥

（華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河北 保定 071003）

比例—積分—微分（PID）控制器以其原理簡(jiǎn)單、性能良好等優(yōu)點(diǎn)一直被工程人員青睞，如何選取最優(yōu)的PID控制器參數(shù)成為改善控制器性能，提高控制品質(zhì)的關(guān)鍵。

PID控制器參數(shù)整定的方法有傳統(tǒng)的穩(wěn)定邊界法、衰減曲線法和階躍響應(yīng)曲線法等方法，這些方法實(shí)踐過程繁瑣，難以實(shí)現(xiàn)控制品質(zhì)最優(yōu)。隨著人工智能理論的發(fā)展，遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等智能優(yōu)化方法相繼被提出，這些智能優(yōu)化方法與傳統(tǒng)的PID技術(shù)結(jié)合，以適應(yīng)復(fù)雜的工況和高指標(biāo)的控制要求。

本文以蟻群算法解決TSP（旅行推銷員）問題為基礎(chǔ)，結(jié)合萊維飛行隨機(jī)搜索模式對(duì)蟻群算法進(jìn)行改進(jìn)，利用改進(jìn)的算法對(duì)PID參數(shù)整定優(yōu)化，并應(yīng)用于過熱汽溫系統(tǒng)，取得了良好的控制效果。

1 蟻群算法

蟻群算法（Ant Colony Algorithm，簡(jiǎn)稱ACO）是由M.Dorigo，V.Maniezzo和A.Colorni等人于20世紀(jì)90年代初期通過模擬自然界中螞蟻集體尋徑行為而提出的一種基于種群的啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法[1]。

蟻群算法優(yōu)化PID參數(shù)時(shí)，首先定義一個(gè)有向多重圖。有向多重圖有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)集合為{A1, A2, …, An}，分別代表不同的城市。其中A1為起始節(jié)點(diǎn)，終點(diǎn)未記錄在集合內(nèi)。每個(gè)城市節(jié)點(diǎn)只與相鄰城市節(jié)點(diǎn)之間有路可尋，且每相鄰兩個(gè)城市節(jié)點(diǎn)之間存在10條可選路徑，分別以數(shù)值1，2，…10編號(hào)標(biāo)記（代表可行解某一位的可能數(shù)值），螞蟻從起始節(jié)點(diǎn)A1出發(fā)，做單向運(yùn)動(dòng)，依次訪問n個(gè)城市，到達(dá)終點(diǎn)。

根據(jù)優(yōu)化參數(shù)的個(gè)數(shù)N，設(shè)置城市的個(gè)數(shù)n為N的整數(shù)倍：

每只螞蟻從起點(diǎn)開始，依次訪問全部城市到達(dá)終點(diǎn)，即得到一個(gè)問題的解X={xi｜i=1, 2,…,N}。其中，xi的編碼長(zhǎng)度為L(zhǎng)。按照螞蟻訪問城市的先后順序，每經(jīng)過L個(gè)城市，即對(duì)應(yīng)著一個(gè)變量xi。設(shè)第k只螞蟻的某次訪問形成的軌跡為{ck1, ck2, …, cks}，則該螞蟻的訪問過程所對(duì)應(yīng)的解為：

式中：ckj表示螞蟻k從第j個(gè)城市出發(fā)時(shí)所選路徑的編號(hào)，取值在0～10之間。ei為變量xi的歸一化數(shù)值，xiH和xiL分別為變量xi取值范圍的上、下限。

蟻群算法優(yōu)化過程中，首先將各個(gè)路徑上的信息素初始化。令τij(t)表示時(shí)刻t城市i到下一個(gè)城市的第j條路徑上的信息素量，τij(t)是常數(shù)。然后，令每只螞蟻從同一起點(diǎn)開始訪問各個(gè)城市，每只螞蟻從上一個(gè)城市選擇任意路徑到下一個(gè)城市所需要的時(shí)間是相同的。在時(shí)刻t每只螞蟻都要以某種概率選擇一條路徑去下一個(gè)城市，并在t+1時(shí)刻到達(dá)該城市。那么，對(duì)于時(shí)刻t，螞蟻k從城市i選擇第j條路徑到下一個(gè)城市的概率為Pijk(t)，其計(jì)算公式為：

每只螞蟻根據(jù)由式（4）計(jì)算的最大概率選擇路徑。當(dāng)螞蟻訪問過所有城市到達(dá)終點(diǎn)后，評(píng)價(jià)每只螞蟻?zhàn)哌^的路徑。首先利用式（2）和式（3）求得對(duì)應(yīng)的解，并求取相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)Qk的值，然后記錄下此次循環(huán)的最佳路徑，更新最佳目標(biāo)函數(shù)值。為了避免殘留信息素過多而讓啟發(fā)信息淹沒，在每只螞蟻完成對(duì)n個(gè)城市的訪問后，對(duì)各只螞蟻所經(jīng)過的路徑上的信息素進(jìn)行更新，即：

其中，ρ (0＜ρ＜1)表示路徑上信息素的蒸發(fā)系數(shù)，1-ρ表示信息素的持久性系數(shù)；Δτijk表示本次遍歷中邊ij上信息素的增量，Δτijk(t)的計(jì)算式為：

式中：Q為常數(shù)，表示信息素強(qiáng)度；Qk為第k只螞蟻在本次遍歷中的目標(biāo)函數(shù)值。

信息素更新完成后，進(jìn)入下一次循環(huán)，直到達(dá)到最大循環(huán)次數(shù)Nc或算法最后收斂到所有的螞蟻訪問軌跡相同為止。

2 基于萊維飛行的改進(jìn)蟻群算法

在基本蟻群算法中，信息素量大的路徑對(duì)每次路徑選擇和信息素的更新起主要作用，強(qiáng)化最優(yōu)信息反饋，可能導(dǎo)致“早熟”停滯現(xiàn)象。信息素蒸發(fā)系數(shù)ρ的大小將直接影響到整個(gè)蟻群算法的收斂速度和全局搜索性能。ρ過小時(shí)，則表示以前搜索過的路徑被再次選擇的可能性過大，會(huì)影響到算法的隨機(jī)性能和全局搜索能力；ρ過大時(shí)，說明路徑上的信息素?fù)]發(fā)的相對(duì)較多，雖然可以提高算法的隨機(jī)性能和全局搜索能力，但過多無用搜索操作將降低算法收斂速度[2]。

萊維飛行是一種步長(zhǎng)較小的短距離行走與偶爾大步長(zhǎng)的行走相互交替的行走方式。因此，一部分解在當(dāng)前最優(yōu)值附近搜索，從而加速了局部搜索；另一部分解可以在離當(dāng)前最優(yōu)值足夠遠(yuǎn)的空間進(jìn)行搜索，從而保證系統(tǒng)不會(huì)陷于局部最優(yōu)[3]。傳統(tǒng)蟻群算法中信息素蒸發(fā)系數(shù)ρ通常是一個(gè)定值，改進(jìn)的蟻群算法借鑒萊維飛行機(jī)制，能夠擴(kuò)大搜索范圍，有效解決算法易于陷于局部最優(yōu)解的問題。

由于實(shí)現(xiàn)萊維飛行很復(fù)雜，所以使用Mantegna算法模擬萊維飛行產(chǎn)生隨機(jī)步長(zhǎng)，那么萊維飛行位置更新式如下：

其中：xi(t)表示xi第t代位置；⊕為點(diǎn)乘運(yùn)算符；α表示步長(zhǎng)控制量；μ / |v|1/β為隨機(jī)搜索路徑。

μ為正態(tài)分布，定義：

其中：β通常取值為[1,2]，Γ為標(biāo)準(zhǔn)伽馬函數(shù)。v服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

對(duì)萊維飛行模式做出一定改進(jìn)，以符合蟻群算法的搜索方式。信息素蒸發(fā)系數(shù)ρ的位置更新式即為[4]：

3 目標(biāo)函數(shù)的建立

蟻群算法優(yōu)化PID參數(shù)是為了使系統(tǒng)擁有更好的性能，提高控制品質(zhì)。因此，選用性能指標(biāo)做依據(jù)建立目標(biāo)函數(shù)衡量PID控制器參數(shù)是否最佳。時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則（ITAE）能反映控制系統(tǒng)的快速性和精確性，按照這種準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)具有較小的超調(diào)量和較快的響應(yīng)時(shí)間。

圖1 PID單位階躍響應(yīng)比較圖Fig.1 PID Unit step response comparison chart

因此，選用ITAE為目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)如下：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文過熱汽溫控制系統(tǒng)引用自文獻(xiàn)[5]，該系統(tǒng)導(dǎo)前區(qū)傳遞函數(shù)為：

惰性區(qū)傳遞函數(shù)為：

過熱控制系統(tǒng)的主回路采用PID控制器，副回路采用P控制器。利用經(jīng)驗(yàn)公式整定出的主控制器參數(shù)為：Kp1=0.35，Ti1=318.6，Td1=39.8～79.6，副控制器參數(shù)為：Kp2=1.33。選擇主控制器參數(shù)范圍：Kp1為[0.25,0.67]，Ti1為[150,450]，Td1為[40,80]，副控制器參數(shù)范圍：Kp2為[0.83,2.86]。

在仿真中輸入信號(hào)采用單位階躍函數(shù)，令Q=1×1015，α=1，螞蟻的總數(shù)m為40，循環(huán)次Nc=30，各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的信息素初始值為100。尋優(yōu)結(jié)果：Kp1=0.5599，Ti1=280.8627，Td1=78.3790，Kp2=1.8556。

圖2 目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)化曲線Fig.2 Objective function value optimization curve

為了分析本文提出的算法性能，將改進(jìn)后的算法與傳統(tǒng)的蟻群算法做了比較，得到系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖1所示。可以看出改進(jìn)的蟻群算法幾乎不產(chǎn)生超調(diào)量，過渡時(shí)間比較短，能夠更快地進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。與蟻群算法整定出的PID參數(shù)相比，改進(jìn)的蟻群算法整定出的PID控制器參數(shù)，具有良好的控制效果。兩種算法同樣迭代30次，其目標(biāo)函數(shù)值變化如圖2所示。改進(jìn)蟻群算法雖然收斂速度相對(duì)較慢，但提高了收斂精度，具有更優(yōu)的全局尋優(yōu)能力。因此，基于萊維飛行的改進(jìn)蟻群算法是合理可行的。

5 結(jié)束語

本文對(duì)蟻群算法進(jìn)行了分析，將自然界中一些鳥類和果蠅的萊維飛行行為與螞蟻搜索食物的過程相結(jié)合，從而達(dá)到優(yōu)化目的；對(duì)過熱汽溫控制系統(tǒng)的PID參數(shù)優(yōu)化進(jìn)行了仿真測(cè)試，并與改進(jìn)前的蟻群算法比較，結(jié)果表明改進(jìn)的蟻群算法能很好地兼顧快速性和穩(wěn)定性，有效提高算法的精度，避免陷入局部最優(yōu)。