高等數學在中學數學中的應用

張永澤

摘 要：隨著新課程改革的加快，高等數學知識在高考中的比重越來越大。高中教育應該認真的研究新課程的標準、新的考試大綱，認真研究高等數學的知識，了解高等數學在中學數學中的應用問題。高等數學是初等數學的基礎上發展起來的，與初等數學有著非常緊密的關系。在高等數學的角度上看待中學數學會更加深刻和全面。本文對高等數學在中學數學中的應用展開了研究。

關鍵詞：高等數學;中學數學;應用

一、引言

通過研究證明，高等數學是在初等數學的基礎上發展起來的，和初等數學有著很多聯系[1]。有的初等數學無法解決的問題，高等數學都給出了解答。所以，高等數學能夠幫助學生從不同的角度思考問題、研究初等數學問題。這些問題都是和中學教育內容密切相關但是也沒有完全解決的，應用高等數學知識也可以解決理論和方法問題[2]。利用高等數學，可以從更高的角度來重新認識初等數學中的重要的概念、理論基礎和背景知識等等，也可以借助高等數學知識統一處理和解決初等數學知識。

二、高等數學在中學數學中的應用

高等數學中的微積分的知識在中學數學的許多問題上能起到馭繁的作用，尤其在證明不等式、恒等式和研究函數的變化性態及作圖，不僅可以簡化解法，并能使問題的研究更為深入全面。

（一）不等式的證明

在研究變化過程中變量之間的相互制約關系時，更多的是不等式的研究.中等數學中經常通過恒等變化、數學歸納法、二次型等方法解決，或運用已有的基本不等式的證明，為此先要進行恒等變形，這需要較高的技巧。

利用微積分的知識和方法，例如微分中值定理，函數的增減性，極值判定法，定積分的性質等。可簡化不等式的證明過程，降低技巧性。

歸納：從以上兩題可以知道在中學階段僅可通過恒等變形比較兩個函數的形式進行講解，操作麻煩，學生也很難接受，但學了高等數學之后，問題就變得簡單了[3]。

（二）函數的圖象

函數的圖象以其值、直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說明一個函數的整體情況及其特性的時候，作用尤為明顯，例如兩個看起來很像的函數：，熟悉它們兩的圖象就知道中學數學的描點作圖是不完善的，有許多的不足之處，總會擔心點取的不夠多或點取的太多，例如函數的正確圖形應為1-1（下左）而描點法很可能畫出1-2（下右）的錯誤圖形：

利用導數作為工具，就可有效的對函數的增減性，極值點，凹凸性等重要性態和關鍵點作出準確的判斷，從而比較準確地作出函數的圖象，一般來說，描繪函數的圖象可以按以下的步驟進行：

（1）求函數的定義域.

（2）考察函數的奇偶性，周期性.

（3）求函數的某些特殊點，如與兩坐標的交點，不連續點，不可導點等.

（4）確定函數的單調區間，極值點，凸性區間及拐點.

（5）考察漸近線.

（6）根據討論最后畫出函數的圖象.

三、高等數學在中學數學中的應用策略

（一）結合數學教學內容。當前，高等數學在中學數學中的應用必須要結合教學內容來設計高等數學思想方法的途徑，讓數學教學的思想方法都蘊含在數學知識的內涵中[4]，在中學數學教學的過程中，必須要抓住分析的過程、概念的形成過程和定理的發現過程，同時，熟悉一些公式的推導過程和證明問題的方法的過程[5]。

（二）反復訓練和強化。學生對于數學教學思想的掌握并不是一蹴而就的，而是應該教師長期、耐心的進行練習和指導，才能夠掌握好。在每一個章節的課外練習和期末考試中都應該具備一定的數學思想和方法，另外，教師也應該讓學生練習各個章節的小結[6]，并積極主動的閱讀和數學思想方法有關系的參考書。在教學的過程中，我們要重點考察數學思想和方法，這是在數學知識的更高層次的抽象和概括，蘊含在數學知識的發生和應用的過程中，在數學考試中也應該多涉及到這方面的內容[7]。

（三）揭示事物的本質。在數學思想教學中，數學的本質在于數學的思想性，數學的本質在于推理的過程，數學涉及到很多公式、定理，這些公理都是通過推理獲得的[8]。教師應該引導學生抓住數學的本質，交給學生數學知識結構、數學思維方法和數學思想觀念。我們要揭示事物的本質，揭示一些抽象的概念、計算定理、公式等等計算方法的本質，涉及到一些極限方法，這是一種運動的、互相聯系的和量變引起質變的辯證方法，例如函數的極值和最值問題，都可以設計到中學數學中，體現出來高等數學方法在中學數學教學中的應用。

綜上所述，相對于中學數學而言，數學的對象和方法比較復雜的一部分，高等數學是比中學數學更加復雜的數學。一直以來，初級數學之外的數學都屬于高等數學，也有把中學中比較深入的代數、幾何和簡單的集合論初步、邏輯初步成為中等數學的。高等數學一般都被認為是涉及到微積分的代數學，在中學數學教學中，逐漸的改變教學的方法，把高等數學和中學數學結合起來，有助于一些抽象的數學問題的解決，也能夠幫助學生更好的掌握數學知識和方法。

參考文獻：

[1]淺談大學數學與初等數學的知識銜接[J].蘭華龍.河南科技.2013（22）

[2]淺析高等數學與中學數學的教學銜接[J].牛新宇，張若東.科技創新導報.2013（18）

[3]高中數學課程改革與高等數學銜接的利與弊[J].楊丹，陸媛.沈陽大學學報（社會科學版）.2013（01）

[4]高等數學與中學數學教學的銜接[J].吳文前.教育與教學研究.？2010（10）

[5]中國高等數學與高中數學銜接的內容改革研究[J].瞿曉鴻，楊靈娥.中國科教創新導刊.2009（26）

[6]高等數學與中學數學教學銜接問題的調查分析[J].肖永紅，范發明.高師理科學刊.2009（02）

[7]從初等數學到高等數學轉型期的教學[J].賀金波，魯潔.赤峰學院學報（自然科學版）.2007（04）

[8]高等數學與高中數學銜接改革的研究[J].馬仲立.天津理工學院學報.2000（S1）.