求解非線性方程的三種新的迭代法

黃芳芳 湯玉榮

摘 要：如何構造合適的迭代法求解非線性方程是數值計算中的一個基本問題。本文對解非線性方程的迭代法進行分析與拓展，以經典的牛頓迭代法和弦截法為基礎，構造了三種新的迭代法。通過數值例子表明，這三種迭代法在一定程度上加快了收斂速度。

關鍵詞：非線性方程；迭代法；數值模擬

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.12.203

眾所周知，現實生活中的許多問題都可以轉化為非線性方程解的問題。但是，由于方程求解問題的復雜性以及直接求解問題的多變性，使得非線性方程的求解絕非易事，一般不能直接對其求解。因此，迭代法[1-3]是非線性方程求根中最基本、最常用的方法，其思想是尋找一個精確度較高的近似解來代替無法得到的精確解，而不同的迭代格式具有不同的逼近速度與準確度。

近年來，很多學者在牛頓迭代方法的基礎上提出了許多改進的迭代法。張旭[4]構造了一種三階含牛頓迭代法；單吉寧等[5]對解非線性方程的牛頓法進行了改進；張輝等[6]基于四點牛頓-柯特斯求積公式提出了六階迭代方法；黃娜等[7]提出一種新的三階迭代法；王小瑞等[8]構造了條件最優兩步迭代法；高建強等[9]探究了牛頓迭代對收斂速度的影響；王堯等[10]提出求解非線性方程的三步六階迭代法。為此，本文在上述工作基礎上提出了一些新的迭代格式用于求解非線性方程，通過數值例子來檢驗迭代法的有效性與實用性。

1 三種新的迭代格式

1.1 迭代格式一

設非線性方程，在方程的解區間之內有一個近似解為，將在近似解點處依泰勒公式對其作展開處理：

在牛頓迭代格式中取前兩項近似的表示原方程，即：

類似地，取前三項近似表示原方程，可以得到：

設方程的解為且則有如下：

經處理得到新的迭代格式如下：

迭代格式（1）式中的右邊存在了這一項，將其記作加以區分，將迭代格式更改為：

同時對于這一項的計算利用牛頓迭代格式來計算，即，則可得新的迭代格式一：

設可控制誤差為，則在進行次迭代之后的近似值為。那么只需時，迭代終止。

1.2 迭代格式二

牛頓迭代格式中用差商替換得到了割線法的迭代格式。一般來說，在迭代的過程中迭代次數的增多意味著所得到的近似解越接近于方程的解，因此可用后一次的差商來近似的替代，將替換過的式子帶入割線法的迭代格式：

得到：

通過整理得到迭代格式：

將等式右邊的記作加以區分。即迭代格式應寫為：

同樣利用牛頓迭代格式來計算，再將計算得到的帶入（3）式。推出新的迭代格式二：

只需將迭代一直進行到迭代得到的近似值誤差在可控制的范圍之內。設可控制誤差為，則在進行次迭代之后的近似值為。則只需即可。

1.3 迭代格式三

割線法和上面的新型迭代格式二均為利用差商替代而得到。以這種思想也可以用新的一種差商形式來近似的替代。這里，用來近似的替換就可以得到：

將替換的結果整理后得到新型迭代格式三的迭代過程如下：

同樣地，將等式右邊的記為。帶進去之后得到：

在上述的迭代格式中同樣需利用牛頓迭代格式先計算。因此，得到新型的迭代格式三：

只需將迭代一直進行到迭代得到的近似值誤差在可控范圍內。假若，可控制誤差為，則在進行次迭代之后的近似值為。則只需即可。

2 數值模擬

定理2.4：設在上滿足下列條件：

（1）；

（2）；

（3）存在且不變號；

則在內任取一點，只要，由牛頓迭代格式產生的數列一定收斂于在上唯一的根 [1]。

下面，利用具體的方程數值計算與牛頓經典迭代格式的計算結果來驗證所提出的新型迭代格式與解非線性方程的有效性。

例：求方程在解區間之中根的近似值，精確到即，初始值。

解：由

且在解區間上，根據定理2.4可以知道牛頓迭代格式收斂。

分別用牛頓法與三種新型迭代格式對方程進行迭代，得到其迭代結果即表1。

觀察數值結果，當每一種迭代法的，即可結束該迭代過程。表2的迭代次數說明迭代式的收斂速度的快慢且牛頓迭代法和三種新型迭代格式的近似值誤差在可控制的范圍之內，迭代結果均有效。

3 小結

現實中對于有些事實情況的要求經典迭代法并非實用，因此需研究新型迭代法來替代它。在表1和表2中，文中構造的三種新型迭代式和牛頓迭代法運算結果相比較可以看出，新型迭代格式一、二提高了迭代效率。但在實際的數值計算中新型迭代式一計算量較大，而新型迭代格式二、三由于利用了差商來替換的原因，使其計算復雜度要低于牛頓迭代法，加之它們每一次計算都是以為結果在所得解的基礎上對進行新一輪的迭代，保證了最終解出的根的有效性。也許還可以用以上的思想將新型的迭代格式推廣到非線性方程組上進行探索與驗證。

參考文獻：

[1]石瑞民，許志剛，孫靖.數值計算[B].北京：高等教育出版社，2004

（01）：14-35.

[2]白峰彬.數值計算引論[B].北京：高等教育出版社，2004（01）130-145.

[3]李慶楊，關治，白峰彬.數值計算原理[B].北京：清華大學出版社號，2000，9（01）：242-299.

[4]張旭.求解非線性方程組的幾種迭代方法[D].合肥工業大學，2014.

[5]單吉寧，蔡靜.解非線性方程的一類改進型牛頓法[J].湖州師范學院學報，2015，37（02）：9-13+34.

[6]張輝，陳豫眉，周琴.構造一種六階牛頓迭代法解非線性方程組[J].山東師范大學學報（自然科學版），2017，32（04）：37-44.

[7]黃娜，馬昌鳳.求解非線性方程的一個新的三階迭代算法[J].山西大學學報（自然科學版），2012，35（03）：460-464.

[8]王小瑞，劉喜蘭.條件最優的兩步迭代法及Jarratt變形方法[J].延邊大學學報（自然科學版），2017，43（04）：314-320+349.

[9]高建強，薛薇.牛頓迭代法收斂速度分析[J].鄭州輕工業學院學報，2005（04）：100-102.

[10]王堯，陳豫眉.求解非線性方程的三步六階迭代法[J].濱州學院學報，2014（06）：21-25.

基金項目：甘肅省自然科學基金項目（17JR5RA284）

作者簡介：黃芳芳（1995-），女，壯族，廣西南寧人，本科在讀，研究方向：數值計算。