3-RSR型并聯車載天線機構動力學優化與仿真

楊彥東 周治宇 鄧云蛟 段艷賓 竇玉超 曾達幸，3 侯雨雷，3

1.燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004 2.中國電子科技集團公司第五十四研究所，石家莊，050081 3.河北省重型智能制造裝備技術創新中心，秦皇島，066004

0 引言

天線作為宇航探測、導航定位、氣象分析等領域中數據信息交互的重要設備，應用范圍十分廣泛[1]。并聯機構因其結構緊湊、比剛度大、承載能力強、運動慣性小、不存在累積誤差等特點[2]在天線領域有其獨特應用[3]。

文獻[4]采用Stewart并聯機構作為大型射電望遠鏡支撐架，分析了該機構的指向精度。文獻[5]將Stewart并聯機構應用于上海65 m射電望遠鏡天線副反射面調整系統。世界上最大的單口徑射電望遠鏡——500 m口徑球面射電望遠鏡(FAST)[6]，其饋源艙也是通過Stewart并聯平臺驅動。文獻[7]研究了影響Stewart并聯機構用于天線座架的主要因素，并設計了相關構型。

從工作運動需求方面考慮，天線多為俯仰及方位運動，即要求在0°～360°方位、0°～90°俯仰范圍內連續可調，兩轉動并聯機構即可實現，兩轉一移三自由度并聯機構則更為合適。而相較于Stewart六自由度并聯機構，少自由度并聯機構自由度少于6，分支及構件數目減少，結構更為簡單、制造成本更低，易于保證高可靠性。文獻[8]采用3-RPS(R為轉動副，P為移動副，S為球面副)并聯機構作為天線支撐機構。文獻[9]提出了3-RSR并聯機構用作衛星天線支撐的方案。目前，并聯機構在天線領域已有應用，但多見于地面基站，機構定平臺與基座固連，而考慮基座運動的并聯車載天線機構研究尚不充分[10]。車載天線在其運行過程中，固定于車體的天線基座隨車輛行駛而運動，同時隨地面路況的變化而振動，振動頻率變化[11]會對天線運動精度及其動態特性產生影響，這種影響對高精度、高速度、高可靠性的天線而言是不容忽視的[12-13]。

動力學模型是進行動力學設計與特性分析的基礎。文獻[14]采用凱恩方法建立了5UPS/PRPU并聯機床動力學模型。文獻[15]利用拉格朗日方程建立了二自由度球面并聯機構動力學模型。文獻[16]借助虛功原理對Stewart并聯機構進行了動力學分析。文獻[17]研究了基于面向對象的機械產品動態設計建模方法。文獻[18-19]利用動態優化設計方法設計研究了振動篩，并求解得到系統的固有頻率、響應和主振型。文獻[20]利用子結構位移法分析了Delta機械手的動態性能。

本文針對車載天線應用環境，以3-RSR型并聯車載天線機構為研究對象，建立基體運動下機構動力學模型，以固有頻率為目標進行優化，并考慮風雪載荷進行動力學仿真分析。

1 3-RSR并聯天線機構動力學建模

1.1 天線機構基本組成與初始參數

圖1中天線面為1.8 m口徑，采用鋁合金；3-RSR并聯機構由動平臺、定平臺和3條結構完全相同的RSR支鏈組成，為鋼材質；與定平臺相連的轉動副為驅動副。

圖1 3-RSR并聯天線三維模型Fig.1 3-RSR parallel antenna three-dimensional model

考慮運動一致、受力均勻，3-RSR并聯機構整體結構對稱，機構上下連桿長度相等，設為L；定平臺、動平臺鉸鏈點外接圓半徑相等，設為R，3個鉸鏈點呈120°均布；機構初始高度設為H。為實現天線俯仰90°、方位360°轉動的工作要求，進行機構運動學分析，通過位置反解，設計確定3-RSR并聯天線機構初始參數如表1所示。

表1 3-RSR并聯天線機構初始參數

1.2 天線機構坐標系建立與幾何描述

3-RSR并聯天線機構簡圖見圖2，以P?i?i?=1,2,3表示與定平臺相連的轉動副，G?i?(i?=1,2,3)表示球副，Q?i?i?=1,2,3表示與動平臺相連的轉動副。以定平臺質心O?為原點建立定坐標系Oxyz?，其中，x?軸指向鉸鏈點P?1，z?軸垂直于定平臺，方向向上；以動平臺質心C?為原點建立動坐標系Cuvw?，其中，u?軸指向鉸鏈點Q?1，w?軸垂直于動平臺，方向向上。M?點為OC?與G?1G?2G?3平面的交點。建立大地坐標系Gstk?，初始時原點G?與機構定坐標系原點O?重合，s?軸與x?軸重合，k?軸與z?軸重合。

圖2 3-RSR并聯天線機構簡圖Fig.2 Schematic diagram of 3-RSR antenna structure

因3-RSR并聯機構結構對稱，故矢量OC始終垂直于各支鏈中間球副所構成的平面G?1G?2G?3，即有

OC⊥MGi?

(1)

根據式(1)幾何關系，有

OM(M-Gi?)T=0

(2)

機構各分支鏈中球副G?i?點坐標可以表示為

Gi?=((R?+L?cosβ?i?)cosθ?i?， (R?+L?cosβ?i?)sinθ?i?，?L?sinβ?i?)T

其中，R?為定平臺鉸鏈點P?i?外接圓半徑(即質心O?到轉動副P?i?的距離);L?為機構下連桿長度;β?i?i?=1,2,3為各分支輸入轉動角度;θ?i?為OP?i?與定坐標系x?軸夾角。

將M?點、G?i?點坐標代入求解方程，即可得到動平臺中心點C?在定坐標系下的顯式表達X?C?、Y?C?、Z?C?。

在機構運動過程中，動平臺平面Q?1Q?2Q?3與定平臺平面P?1P?2P?3始終關于3個分支鏈中間球副所形成的平面G?1G?2G?3對稱，已知G?1、G?2、G?3在定坐標系下的坐標表達，可得G?1G?2G?3平面的法向矢量為

kG?=G1G2×G2G3

(3)

機構定平臺轉動副Pi?坐標可表示為

Pi?=(L?cosθ?i?，?L?sinθ?i?， 0)T

取3-RSR并聯機構某單支鏈，其幾何關系如圖3所示。由對稱關系可知，Pi?Qi?垂直于G?1G?2G?3平面，Pi?Qi?與kG?方向相同。由P?i?、G?i?、Q?i?三點之間的幾何關系，在已知P?i?點坐標和kG?的前提下，易得Q?i?點在定坐標系下的坐標表達。

圖3 3-RSR并聯機構單支鏈幾何關系Fig.3 Geometric relationship of single branched chain of3-RSR parallel mechanism

1.3 基體運動下天線機構動力學模型

當天線機構基體跟隨運載車輛運動，同時機構自身進行跟蹤目標的運動時，其動平臺中心點C?相對于大地坐標系的運動為上述兩個獨立運動的疊加。根據坐標矢量疊加法則，可得此時機構動平臺中心點C?在大地坐標系下的坐標表示為

CD=CC+CG

(4)

式中，CC為僅考慮機構自身進行跟蹤目標的運動時C?點在大地坐標系下的坐標；CG為僅考慮基體跟隨運載車輛運動時C?點在大地坐標系下的坐標。

將CD對時間求導，可得基體運動情況下動平臺質心相對于大地坐標系的線速度vD。由合成定理，基體運動情況下動平臺質心在定坐標系下的角速度為

ωD=ωC+ωG

(5)

式中，ωC為僅考慮機構自身進行跟蹤目標的運動時動平臺中心在大地坐標系下的角速度；ωG為僅考慮基體跟隨運載車輛運動時動平臺中心在大地坐標系下的角速度。

根據機構動平臺在大地坐標系下的線速度和角速度，可求得在基體運動情況下機構的動能為

(6)

式中，m?為機構動平臺質量；ID為動平臺相對于動坐標系的慣性張量。

機構的勢能為

U?D=mgZ?CD

(7)

式中，Z?CD為動平臺中心在大地坐標系下的k?坐標值。

由主動力為非保守力時的拉格朗日方程可得

(8)

K?D=T?D-U?D

式中，K?D為拉格朗日函數；τDi?為第i?支鏈的廣義力或力矩。

經整理可得機構在基體運動情況下的動力學方程為

(9)

2 3-RSR并聯天線機構動力學優化

天線結構固有頻率因其影響天線的伺服帶寬，故而是系統動態性能及穩定評估的重要參考。以提高3-RSR并聯天線機構固有頻率為主要目標，選取定/動平臺鉸鏈點所在外接圓半徑R?、分支鏈桿長L?、機構動平臺初始高度H作為機構優化的設計變量，開展動力學優化。優化目標函數可以描述為

(10)

式中，ω?為天線機構固有頻率；f?of為優化目標函數；g?i?表示優化問題的約束條件函數。

3-RSR并聯機構存在運動學奇異位形，即動平臺從初始位形(上、下平臺平行)運動到最高位置，上、下連桿軸線共線時，機構處于奇異位形。為了規避機構奇異位形，機構動平臺初始高度H與機構支鏈連桿長度L?之間需滿足條件

g?1=H?-2L?<0

(11)

為滿足天線俯仰90°、方位360°轉動的工作空間要求，設計變量的取值范圍還需滿足如下幾何尺寸約束(單位mm)：

(12)

選擇遺傳算法對天線機構結構參數予以優化，優化過程中各基本參數及有關設定見表2。

依據優化目標函數、約束條件以及遺傳算法優化過程所設的各個參數，利用MATLAB工具軟件編制程序，運行所得適應度函數優化迭代的變化如圖4所示。

表2 遺傳算法參數設置

圖4 適應度函數優化迭代收斂過程圖Fig.4 Diagram of fitness function optimization iterativeconvergence process

在迭代過程中，當運行至51代時，計算結果收斂，相應機構參數為L?=453.5 mm，R?=197.9 mm，H?=500.3 mm，此時機構固有頻率為26.30 Hz。

由圖5可知，優化后3-RSR并聯機構各個方向上的固有頻率均有所提高。其中優化前機構固有頻率最小值為18.02 Hz，優化后固有頻率最小值為26.30 Hz，提高了45.9%。

圖5 3-RSR并聯天線機構的固有頻率Fig.5 Inherent frequency values of 3-RSRantenna mechanism

圖6為天線俯仰90°過程中優化前后3-RSR并聯機構雅可比矩陣條件數λ?變化曲線，優化前機構雅可比矩陣條件數λ?最小為1.26，而優化后λ?為1.03，機構各向同性有所提高。

圖6 3-RSR機構雅可比矩陣條件數Fig.6 Condition number of Jacobian matrix of3-RSR mechanism

球副的轉角范圍是影響天線機構工作空間的重要因素之一。優化前后3-RSR并聯機構球副轉角φ?如圖7所示，在俯仰90°極限位姿下，優化前各支鏈球副轉角φ?最大達到106°，優化后機構球副的最大轉角φ?減小至88°，降低了球副設計的難度。

(a)優化前

(b)優化后圖7 天線俯仰90°時各支鏈球副轉角Fig.7 Rotation angle of each branch ball with theantenna pitched at 90°

此外，車載天線受限于運載車輛空間，因此機構運動包絡空間也是設計考量的因素之一。車載天線主要有兩種狀態，分別為正常工作狀態和天線收藏狀態。天線機構正常運行時，動平臺在初始位姿高度下進行俯仰、方位運動，以實現跟蹤目標和接收信號的功能，此時機構運動包絡空間為一球體，如圖8a所示。天線機構在收藏狀態時，天線在初始位姿高度下沿定平臺法線方向豎直向下運動，因此收藏狀態下天線系統的運動包絡空間包含在工作狀態運動包絡空間之內，如圖8b所示。

(a)工作狀態

(b)收藏狀態圖8 3-RSR機構運動包絡空間Fig.8 Motion enveloping space of 3-RSR mechanism

由前所述，天線機構的運動包絡空間為機構在工作狀態下形成的球面所包圍的體積，其中球心位于機構中心軸線上的1/2初始位姿高度處，故3-RSR并聯天線機構的運動包絡空間表達式為

(13)

式中，d?a為天線口徑；h?a為天線面到動平臺的垂直距離。

據此計算，優化前3-RSR并聯天線機構運動包絡空間體積為5.59 m3，而優化后為5.09 m3，減小了8.9%。

綜上可見，優化后3-RSR并聯天線機構在保證固有頻率提高的前提下，機構各向同性、球副轉角要求、運動包絡空間均有改善，綜合性能更優。

3 3-RSR并聯天線機構動力學仿真

車載天線放置于車體之上并跟隨車輛運動，且多在戶外作業，環境復雜，其中風載荷、積雪載荷和車體隨機激勵均對天線機構指向精度存在較大影響。

3.1 天線機構工況模型的構建

天線受到的風載荷包括風阻力和風力矩兩部分[21]，其中，風阻力計算式為

F?f=C?fqA?

(14)

當天線為俯仰90°工作狀態時，風側吹天線受力面積最大，A?取天線拋物面口面積。

天線所受風力矩計算式為

M?f=C?mqAD?

(15)

式中，C?m為風力矩系數，參考風洞試驗，天線在不同姿態下風力矩系數最大取0.15；D?為天線與轉軸垂直方向的尺寸。

所受積雪載荷按照天線口徑計算，天線拋物面曲線方程為

y?=2.15x?2-3.74x?-0.174

(16)

則天線拋物面內積雪的體積

(17)

進而天線拋物面內由積雪產生的重力為

G?x?=ρ?x?gV?x?

(18)

式中，ρ?x?為濕雪密度。

車體隨機激勵模型的建立首先需分析影響車體運行的主要因素。路面不平度是引起汽車在運行時產生振動的一個主要激勵源，當由路面不平度激起的振動達到一定程度時，車輛行駛的平順性以及承載系統的可靠性將大大降低。除此之外，還需要考慮車速的影響，不同的車速也會使車輛產生不同的激勵。路面激勵的時域模型[22]為

(19)

式中，n?00為下截止空間頻率，n?00=0.011 m-1；u?為車輛行駛速度；n?0為參考空間頻率，n?0=0.1 m-1；G?q?(n?0)為路面不平度系數；W?(t?)為均值為0的高斯白噪聲。

由式(19)在MATLAB/Simulink中搭建隨機路面仿真模型，如圖9所示，分別取不同等級路面對應的設計車速，生成相應的路面隨機模型。在仿真模型中只需輸入不同等級路面的路面不平度系數和對應的車輛運行速度，即可得到對應情況下的路面隨機激勵。

圖9 隨機路面生成模型Fig.9 Random pavement model

以B級路面為例，其路面不平度系數G?q?(n?0)為64×10-6m3。通過隨機路面生成模型，分別生成車速為60 km/h和80 km/h時的車體隨機激勵曲線，如圖10所示。可見，隨著車速的提高，路面隨機激勵的幅值h?不斷增大，仿真結果與車輛在道路上的實際行駛情況相符。

(a)u?=60 km/h

(b)u?=80 km/h圖10 不同車速下的路面激勵-時間曲線Fig.10 Pavement excitation-time curve at different speed

3.2 天線機構驅動力矩仿真分析

對應不同的環境條件，天線有保精度運行和可驅動運行兩種工作狀態。天線機構主要在保精度運行狀態下工作，本文即針對天線保精度運行要求分析機構所需驅動力矩。

選擇兩條軌跡進行仿真，軌跡1為天線拋物面做0°～90°俯仰運動，天線軸線指向支鏈1；軌跡2為天線拋物面做0°～90°俯仰運動，天線軸線指向支鏈2與支鏈3中間。

在保精度運行狀態下，天線需要在風力不大于13.8 m/s(6級風)時實現在0°～90°之間任意姿態的俯仰運動。此處選用6級風載荷產生的風力、風力矩進行分析，并選擇車輛以80 km/h的車速運行在B級路面上時車體振動產生的路面隨機激勵。

風向分為風沿x?軸吹向天線拋物面和風始終垂直吹向天線拋物面兩種情況。其中，風始終沿x?軸吹向天線拋物面時，3-RSR并聯機構在兩條規劃運動軌跡下各分支驅動力矩M?變化曲線見圖11。風始終垂直吹向天線拋物面時，3-RSR并聯機構在兩條運動軌跡下各分支驅動力矩M?變化曲線見圖12。由圖11、圖12可知，受車體隨機激勵的影響，機構驅動力矩也呈現較大的隨機性，相比于風始終沿x?軸吹向天線拋物面的情況，天線機構在風始終垂直吹向天線面的情況下，支鏈驅動力矩更大。

(a)運動軌跡1

(b)運動軌跡2圖11 風沿x軸吹向天線拋物面的3-RSR機構驅動力矩Fig.11 Driving moment of 3-RSR mechanism withwind blowing to antenna paraboloid alongxaxis

(a)運動軌跡1

(b)運動軌跡2圖12 風垂直吹向天線拋物面的3-RSR機構驅動力矩Fig.12 Driving moment of 3-RSR mechanism withwind blowing vertically to antenna paraboloid

4 結論

(1)考慮基體運動,利用拉格朗日方程法建立了3-RSR型并聯式車載天線機構動力學模型，以固有頻率最大化為目標，以機構規避奇異和邊界幾何尺寸為約束條件，通過遺傳算法進行動力學優化，獲得了綜合性能較優的機構參數。

(2)考慮風雪載荷與車體隨機激勵建立了天線工況模型，針對所規劃運動軌跡完成仿真分析，繪制出天線機構驅動力矩變化曲線，為并聯式天線樣機研制提供了參考。