空間3R機械手逆向運動學的多模塊神經網絡求解

肖 帆 李 光 游雨龍

湖南工業大學機械工程學院，株洲，412007

0 引言

機器人逆運動學求解作為機器人離線編程、軌跡規劃、控制算法設計等其他課題研究的基礎，一直是機器人學中的一個經典問題，同樣也是研究熱點[1]。逆運動學求解的實質是完成機器人工作空間到關節空間的映射，它們之間的映射關系是非線性且多耦合的，問題比較復雜。很多學者在該領域做了大量研究與探索，提出了許多理論與方法。傳統方法有解析法[2]、幾何法[3]和迭代法[4]等。在求機器人逆運動學解問題中，解析法計算較為復雜，但是在機器人滿足PEIPER[5]、DUFFY[6]分別提出的結構特點時，可以得到全部解；幾何法針對機器人的某些特殊結構進行簡化，再進行求解，一般無法單獨使用甚至根本無法使用[7]；迭代法受到初始值選取的約束，只能求得一組逆運動學解。

雖然傳統方法中解析法和幾何法能求機器人逆運動學的多解，但是需要滿足特殊結構。隨著機器人結構復雜化和計算機發展的突飛猛進，現代智能算法[8-10]被應用來求逆運動學解。

神經網絡對連續函數具有非常好的擬合能力及泛化能力，尤其是后者，使其被廣泛應用于機器人逆運動學求解中。通常，在使用神經網絡求機器人的逆運動學解時，采用如下思路進行:通過正向運動學，得出關節空間Q對應的工作空間位姿T,從而得到學習樣本中輸入與輸出關系T→Q。在這種學習樣本獲取方法中，無法準確地建立一組位姿對應多組逆解，而只能建立一組位姿對應一組逆解的訓練方式，這會導致在存在逆運動學多解的區域用訓練好的神經網絡求解時得到的是一個折中的結果。

文獻[9]提出在關節子空間下，使用6個子神經網絡組成的多層感知結構，解決了平面二連桿機器人逆運動學多解問題。文獻[10]使用三層BP神經網絡，通過增加方位角作為輸入參數，消除了輸入-輸出間的映射錯誤關系。雖然文獻[9]和文獻[10]提出了應用神經網絡解決機器人逆運動學多解的方法，但是二者都是在工作空間為二維平面運動的機器人中實現的，都沒有解決三維工作空間中逆運動學多解的問題。末端執行器在三維工作空間的逆運動學多解問題遠比二維平面的復雜。文獻[11]提出多神經網絡結構的方式，求得了高精度的空間3R機械手的逆運動學完備解。

本文通過對空間3R機械手進行幾何分析，確定了在關節空間中逆運動學多解的分布規律，根據該規律將關節空間劃分為4個子空間，每個子空間用3個BP神經網絡訓練及求解，并在每個神經網絡的輸入中，增加繞Z軸旋轉的矩陣元素作為特征參數；并進行了仿真驗證。

1 三連桿機器人運動學分析

1.1 正向運動學模型

圖1a所示是空間3R機械手，其中(p?x?，p?y?，p?z?)表示末端執行器的空間位置，關節1的軸線為鉛垂方向且和關節2的軸線垂直，其交點與基座的距離為L?1；關節2和關節3的軸線水平且平行，距離為L?2；末端執行器與關節3軸線的距離為L?3。根據標準D-H坐標[12]建立圖1b所示連桿坐標系，相應的連桿參數列于表1。其中，L?1=783 mm，L?2=702.5 mm，L?3=651 mm，α?1=π/2。根據表1所示連桿參數可求得其正向運動學方程為

(1)

(a)空間3R機械手

(b)D-H坐標系圖1 空間3R機械手及其連桿坐標系Fig.1 Space 3R manipulator and its linkagecoordinate system

表1 空間3R機械手連桿參數

1.2 基于幾何分析的關節子空間劃分

(a)組合1

(b)組合2圖2 觀察視角Fig.2 Observation perspective

根據上述記法，將表1中的關節空間劃分為表2中的4個子空間。

表2 關節子空間

1.3 特征參數

三連桿機械手的工作空間可以理解為二連桿形成的平面工作空間繞Z?軸旋轉形成的三維圖，因此，表2中的4個區域在Z?軸上的位置仍然有無窮多組解。參考文獻[9]對接近點的描述可知，以ε?(ε?為最小正實數)為半徑、Z?軸為旋轉軸的鄰域內，在用神經網絡訓練時也會存在映射錯誤。

假設每個區域的θ?1都平分成n?-1份，則每個區域對應的工作空間將由n?個平面組成，在第i?個平面中，末端執行器的位置都相同地增加一個繞Z?軸旋轉θ?1i?的旋轉矩陣R：

θ?1i?=arctan2p?y?,p?x?

(2)

R=rotzθ?1i?

(3)

式(2)用于Zone1和Zone2中時，每個平面只需選擇一個滿足p?y?>0，p?x?≠0的點即可;式(2)用于Zone3和Zone4中時，同樣只需選擇一個滿足p?y?≤0，p?x?≠0的點即可。

2 BP神經網絡及其MATLAB實現

2.1 BP神經網絡的結構

BP神經網絡具有多層結構，分別是輸入層、一層或多層隱含層、輸出層。各層神經元之間是全連接的，層內無連接。隱含層各神經元節點采用Sigmoid函數[13]作為激勵函數。圖3所示是一個三層的BP神經網絡，其中閾值未畫出。

圖3 三層BP神經網絡Fig.3 Three-layer BP neural network

圖3中，輸入層有M?個神經元，輸入向量X=(x?1,x?2,…，x?M?)T；隱含層有I?個神經元；輸出層有J?個神經元，輸出向量Y=(y?1,y?2,…，y?J?)T；ω?mi?是輸入層與隱含層之間的權值，ω?ij?是隱含層與輸出層之間的權值，隱含層各神經元閾值為a?i?(i?=1,2,…,I?)，輸出層各神經元閾值為b?j?(j?=1,2，…,J?)。

根據圖3可以得到網絡的輸出：

(4)

j?=1,2,…,J?

式中，f?(·)為隱含層的激勵函數。

2.2 MATLAB神經網絡工具箱

在MATLAB中可通過以下步驟訓練BP神經網絡[14]。

(1)創建前向神經網絡：

net?=feedforwardnet?(hiddenSizes?,trainFcn?)

(5)

其中，hiddenSizes?表示隱含層的規模，列數表示隱含層數，每列的數值表示各隱含層神經元個數；trainFcn?是訓練權值的算法，默認為“trainlm”，即LM算法(Levenberg-Marquadt算法)。LM算法將梯度下降法與高斯-牛頓法相結合，既有高斯-牛頓法的局部收斂性，又具有梯度下降法的全局特性[15]。

(2)參數設定。net?.trainParam?.epochs?為迭代最大輪數；net?.trainParam?.max_fail?為訓練最大的失敗次數，默認為6；net?.divideParam?.trainRatio?為訓練樣本占總樣本百分比，默認75%；net?.divideParam?.valRatio?為校驗樣本占總樣本百分比，默認15%；net?.divideParam?.testRatio?為測試樣本占總樣本百分比，默認15%。net?.trainParam?.goal?為目標誤差。

(3)訓練BP神經網絡：

[net?,TR?]=train?(net?,Ptrain,Ttrain)

(6)

式中，Ptrain為訓練樣本的輸入矩陣；Ttrain為訓練樣本的輸出矩陣；TR?為記錄訓練的結果。

(4)預測數據：

Y=net?(Ttest)

(7)

式中，Y為網絡預測結果；Ttest為需要預測的輸入。

2.3 樣本選取

采用以下方式得到訓練樣本，在Zonei?(i?=1,2,3,4)中，先將θ?j?(j?=1,2,3)平均分成M?θ?、I?θ?、H?θ?，然后將θ?j?進行組合，如圖4所示。

圖4 關節角的組合Fig.4 Combination of joint angle

Zonei?中的關節角組合均為M?θ?×I?θ?×H?θ?組，記為Qi?(i?=1,2,3,4)。

2.4 網絡的輸入輸出

LM算法訓練權值時，在每輪計算中均會存儲一個M?×P?×N?(M?為輸出神經元個數，P?為樣本個數，N?為權值與閾值的總個數)的雅可比矩陣，雅可比矩陣的大小直接影響網絡的訓練速度。每個網絡只用一個關節角作為輸出與多個關節角作為輸出相比，可以大大地提高訓練速度，減小各網絡的計算開支，加之LM算法具有收斂快、誤差小的特點，從而使得每個網絡可以在更短的訓練時間內收斂。

2.5 預測效果評定

用θ?Pij?(i?=1,2,3;j?=1,2,…,N?)表示預測得到的關節角，θ?Tij?(i?=1,2,3;j?=1,2,…,N?)表示實際的關節角，(x?Tj?,y?Tj?,z?Tj?)表示實際位置，(x?Pj?,y?Pj?,z?Pj?)表示預測位置，其中i?是關節角序號，N?是測試樣本數量。評價指標公式如下：

e?j?=θ?Tij?-θ?Pij?

(8)

(9)

式中，e?j?為預測的關節角與實際關節角間的誤差；E?j?為實際笛卡兒坐標與預測笛卡兒坐標之間的絕對誤差。

3 輸入點區域識別及逆運動學求解

3.1 輸入點的識別方法

由于在整個工作空間中，部分區域將不存在四組逆運動學解，在進行預測前，需要確定如何選用訓練好的BP神經網絡。本文使用投影識別方法確定輸入點所在的工作子空間。

(1)工作子空間輪廓的投影方法。在OXY?平面中，邊界條件為θ?1的取值范圍；在OXZ?平面中，投影輪廓根據表1中各關節子空間取值范圍代入式(1)得到，其中Zone1和Zone2的θ?1都取0°，Zone3和Zone4的θ?1都取π(或-π)。

(3)識別點的判據。若θ?在Zonei?的θ?1范圍內，且在OXZ?的投影坐標也屬于Zonei?的輪廓范圍，則輸入點屬于Zonei?，其中有一條不符合則不屬于Zonei?。

3.2 逆運動學求解

對每個工作子空間都建立一個區域識別器Recognition Unit，簡寫為RU?i?(i?=1,2,3,4)，RU?i?與net?i?串聯且每個net?i?中有3個子神經網絡，分別為net?ij?(i?=1,2,3,4;j?=1,2,3)。當位置輸入時，先通過每個識別器進行識別，符合其條件的，添加旋轉4矩陣，再輸入到與之對應的BP神經網絡中求逆運動學解。

Zone1和Zone2中，p?y?>0的部分仍然用式(2)求θ?1i?，p?y?≤0的部分用式(10)求θ?1i?；Zone3和Zone4中，p?y?≤0的部分仍然用式(2)求θ?1i?，p?y?>0的部分用式(11)求θ?1i?。位于Z?軸上的點，以實際需要給予一個θ?1i?：

θ?1i?=π+arctan2p?y?,p?x?

(10)

或

θ?1i?=arctan2p?y?,p?x?-π

(11)

圖5為逆運動學求解流程圖，圖中的net?i?均表示已訓練好的BP神經網絡。net?i?若是有輸出，表示該點在相應的關節子空間有逆運動學解，net?i?沒有輸出，則表示該點在相應的關節子空間中沒有對應的逆運動學解。輸出Qi?的個數，表示存在逆向運動學解的組數。

圖5 逆運動學求解流程Fig.5 Inverse kinematics solution flow

4 算例

4.1 BP神經網絡的訓練及結果分析

取2.3節的M?θ?=18,I?θ?=16,H?θ?=14，Zonei?均得到4 032組樣本，使用MATLAB神經網絡工具箱創建BP神經網絡，篇幅所限，僅列出Zone1中net?1j?(1,2,3)的訓練和求解結果進行分析。

每個神經網絡的參數如下：net?11中,hiddenSizes?=[8,8,8];net?.trainParam?.epochs?=6 000;net?12中,hiddenSizes?=[13,12,10],net?.trainParam?.epochs?=6 000;net?13中,hiddenSizes?=[13,12,11],net?.trainParam?.epochs?=6 000。

每個BP神經網絡中的樣本均分為訓練樣本、校驗樣本、測試樣本，各樣本所占比例為2.2節中的默認值，net?.trainParam?.goal?均設為10-10，其余參數均設為默認值。

圖6～圖8所示分別為Zone1中BP神經網絡的訓練過程、測試樣本中各關節角預測誤差、測試樣本中預測位置與實際位置間的絕對誤差。

(a)net11訓練及預測均方差

(b)net12訓練及預測均方差

(c)net13訓練及預測均方差圖6 各BP神經網絡的訓練過程Fig.6 Training process of each BP neural network

在每個區域中雖然使用了3個BP神經網絡訓練，但是各區域內網絡依次訓練的時間之和均在30 min內，與文獻[11]相比，網絡訓練的輪數或時間均大大減少。文獻[11]中關節角預測誤差分別為±0.06°，±0.15°，±0.05°，而本文的關節角誤差分別為±0.002°，±0.05°，±0.02°，位置誤差在0.04 mm內。通過對比，顯然本文所用方法具有更快的收斂速度和更高的預測精度。

4.2 預測點的識別及其逆運動學求解結果

在工作空間中選3個點(表3)按圖5的流程求逆運動學解，最終結果顯示，P1有四組逆運動學解，P2在Zone1和Zone4中有逆運動學解,P3沒有逆運動學解，說明P3不在工作空間內。表4為P1、P2分別用訓練好的BP神經網絡求得的逆運動學解和預測位置。

(a)關節1

(b)關節2

(c)關節3圖7 各關節角預測誤差Fig.7 Error of each joint angle prediction

圖8 位置絕對誤差Fig.8 Absolute error of position

Pipx(mm)py(mm)pz(mm)P13002001 700P2-834722600P3-100-100100

5 結論

(1)本文提出了一種基于幾何分析的多模塊神經網絡求解空間3R機械手逆運動學多解的方法。

(2)進行了幾何分析，將關節空間劃分為4個只有唯一逆運動學解的子空間，對各子空間用3個BP神經網絡進行訓練和求解。仿真試驗結果表明，該方法具有訓練時間短、預測精度高的優點。

(3)對于已訓練好的BP神經網絡，可以通過輸入點區域識別的方法進行選擇。