中、低階煤的煤層氣吸附極大值的數學分析

郝靜遠 李 東 馬青華 張學梅

(西安思源學院能源及化工大數據中心，陜西 710038)

在溫度壓力共同作用下，煤層吸附氣含量會出現極大值。大家熟悉的示意圖包括有機質吸附甲烷氣模型圖(圖1)和煤階吸附氣量變化圖(圖2)。

圖1 有機質吸附甲烷氣模型圖

圖1和圖2表示對于不同煤階的煤巖，其吸附量會隨埋深的增加一開始上升，達到一個極大值后會隨著埋深的進一步增加而下降。從圖2中還看出對于阜康、韓城這些較大鏡質組反射率的高階煤有十分明顯極值，而對于新疆的五彩灣、老君廟這些較小鏡質組反射率的低階煤煤巖的極值卻不明顯。本文將試圖解釋能否有一個溫度-壓力-吸附方程能從數學上解釋為什么煤層氣吸附量會出現極大值及出現極大值的必要條件和必要且充分條件。同時通過不同煤階的吸附數據來比較中、低階煤的吸附極值以及各自的變化趨勢。

圖2 不同煤階吸附氣量-埋深關系圖

1 溫度-壓力-吸附方程(TPAE)形式及參數計算

1.1 方程形式

一個四參數的溫度-壓力-吸附方程(Temperature-Pressure-Adsorption-Equation, TPAE)可以寫成：

(1)

式中：A為吸附介質的幾何形體常數，無量綱；B為吸附流量系數，無量綱；M為分子量，甲烷的分子量為16；P為測試時的壓力，MPa；T為測試時的熱力學溫度，K；V為吸附量，m3/T；b為壓力影響的參數，無量綱；Δ為溫度影響的參數，K。

1.2 吸附數據與參數計算

本文引用的吸附數據分別是東北遼寧撫順煤田西露天礦第三系本層煤(撫順F2)、西北新疆吐哈盆地艾維爾溝礦侏羅系5號煤(吐哈A8)、和華東安徽淮北煤田朔里礦二疊系3煤層(淮北S3)。進行系列等溫吸附實驗的溫度和相應的蘭氏參數列于表1。

表1 吸附煤的種類、性質、溫度和蘭氏參數

表2 根據表1的蘭氏體積和蘭氏方程參數回歸得TPAE參數

圖3到圖5分別畫出三種煤的實測點(根據表1蘭氏參數計算值)與TPAE曲面。因為測試溫度是30℃、50℃、和70℃，所以每種煤樣的實測點為三排。看不見的實測點是隱藏在曲面以下。換句話說，TPAE曲面將一些實測點覆蓋，所以從成圖的曲面角度是看不見。

圖3 遼寧撫順煤樣的實測點與TPAE回歸曲面

圖4 新疆吐哈煤樣的實測點與TPAE回歸曲面

圖5 安徽淮北煤樣的實測點與TPAE回歸曲面

從表2的相對平均誤差的大小以及圖3、圖4、圖5點與曲面的吻合得出溫度-壓力-吸附方程可以精確的表示系列等溫吸附實驗。

2 TPAE的偏導數和全微分

如果A值相對較小而被忽略，則TPAE(方程1)簡化為：

(2)

若V=f(T,P)的各一階偏導數都存在且連續，則

(3)

式中

(3-1)

(3-2)

方程3是變溫度和變壓力對吸附量變化的共同影響的數學表達式，也是方程2的全微分。基于方程組(3-1、3-2)還可以做以下數學推論：

根據方程3-1，等壓變溫條件下，吸附量的變化既有大小更有方向。如果Δ>T，方程的右邊小于零，等壓條件下吸附量的變化受溫度變化負影響；

根據方程3-2，在等溫變壓條件下，吸附量的變化只有大小和正方向，吸附壓力對煤的吸附能力永遠起著正影響；

因此只有吸附量的變化受溫度變化的負影響存在且大于受壓力變化的正影響時，會出現煤層氣吸附極大值。這就是煤層氣吸附極大值出現的必要條件。

3 計算煤層氣吸附極大值

如果在變溫變壓條件下吸附量出現極大值，那么表現其函數關系的方程一階全微分必須等于零，即：

(4)

方程中的溫度變量dT和壓力變量dP可以用地溫梯度和地壓梯度的耦合關系來解決。假設每鉆深一百米溫度梯度為3℃和壓力梯度1MPa，對于增加100m埋深，下面等式成立：

dP=1MPa/hm=dT=3K/hm

如果地面平均溫度為15℃，表示絕對溫度與壓力的數學關系為T=288+3P,方程4則變為一個求壓力P的一元二次方程：

aP2+bP+c=0

(5)

這樣一個標準的一元二次方程有兩個實數解的必要且充分條件是：

b2-4ac>0

(6)

將列于表2中東北遼寧撫順煤田撫順F2、西北新疆吐哈盆地吐哈A8、和華東安徽淮北煤田淮北S3的相應參數、地溫梯度3℃/hm和地壓梯度1MPa/hm代入計算吸附極大值的壓力與溫度，并將計算的溫度壓力換算回埋深，所得結果列于表3。這三種不同煤階吸附氣量隨埋深的變化規律也可以用圖6顯示。

表3 煤的種類、性能、TPAE參數和出現吸附極大值的溫度與壓力

圖6 三種不同煤階吸附氣量隨埋深變化規律

如上所述，在計算煤層氣吸附極大值時，使用地溫梯度、地壓梯度、地面溫度的三個假設值。而在任何一個地質勘探中，都會測得實際的地溫梯度、地壓梯度和地面溫度。因此當這些數值改變時，會得出不同的結果。而且如果能將煤層氣吸附極大值與深部地應力轉換的相關性結合在一起研究將是很有意義。

雖然三個不同煤階的煤樣都出現煤層氣吸附極大值現象，但各自出現的深度卻不同，而且各自極值出現前的變化趨勢以及極值出現后的變化趨勢也不同。從現有的三個煤樣的數據看，有較小的最大鏡質組反射率的低階煤(撫順煤、吐哈煤)在較深的位置出現煤層氣吸附極大值；而有較大的最大鏡質組反射率的中階煤(淮北煤)卻在較淺的位置出現煤層氣吸附極大值。因此煤階不僅影響吸附量，還影響吸附極大值。但僅用三組數據還不能得出變化趨勢，所以有待于進一步加大數據庫。

4 結論

TPAE是一個含四個參數的溫度、壓力、吸附方程；其參數可以通過系列等溫吸附或變溫變壓吸附的實測數據回歸得到。

TPAE的偏導數和全微分說明當受溫度變化的負影響存在并大于受壓力變化的正影響時，煤層氣吸附極大值會出現。利用等深來表示溫度變化dT和壓力變化dP，可以得到一元二次方程；出現吸附氣含量極大值的必要且充分條件是該一元二次方程的判別式大于零。按每鉆深一百米溫度增加3℃和壓力增加1MPa，和假設地面平均溫度為15℃，計算東北遼寧撫順煤田撫順F2煤層氣吸附極大值出現在1143m、西北新疆吐哈盆地吐哈A8煤層氣吸附極大值出現在1153m、和華東安徽淮北煤田淮北S3煤層氣吸附極大值出現在640m。