同心球殼-球體系感應磁場的解析解

杜豫冬，朱武兵，韓海東，徐 楠，劉月林

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同心球殼-球體系感應磁場的解析解

杜豫冬1，朱武兵1，韓海東1，徐 楠1，劉月林2

（1. 中國人民解放軍31011部隊，北京 100089；2. 海軍工程大學電氣工程學院，武漢 430033）

考慮薄殼體和非薄殼體結構的感應磁場可提高艦艇感應磁場數值建模精度，開發相應的磁場數值程序包時，磁場解析解模型是驗證程序包數值準確性的有效手段。同心球殼-球體系模型是驗證同時考慮薄殼體和非薄殼體感應磁場數值準確性的理想模型。基于分離變量法推導了該模型感應磁場的解析解，以積分方程法和有限元法為參照，解析解誤差均在5%以內，表明了導出解析解表達式的準確性。

艦艇 感應磁場 解析解 分離變量法 同心球殼-球體系模型

0 引言

艦艇磁場使得其更容易暴露于磁性兵器（魚水雷、反潛航空器）的威脅中，艦艇磁隱身水平對于艦艇安全力和戰斗力尤為重要[1-3]。磁隱身技術水平主要由磁場預測水平和消磁系統優化設計水平決定。消磁勤務中，磁場預測及消磁系統的優化設計均是基于磁場實際測量數據展開。對于正在設計或建造的艦艇，采用數值方法獲取磁場仿真數據用于磁場預測和消磁系統優化設計研究是切實可行、便捷的方法。即便對于已經服役艦艇，艦艇磁場數值模型對于磁場的預測和消磁系統的優化設計也具有十分重要的參考意義。艦艇磁場數值建模方法主要包括有限元法[4,5]、積分方程法[6,7]、邊界元法[8]。在開發各類數值程序包時，通常希望采用感應磁場具有解析解的模型驗證程序計算準確性。文獻[9]推導了實心和空心鐵磁球體的感應磁場解析解，已有效應用于驗證有限元法、積分方程法、邊界元法感應磁場數值程序的準確性。

對于實際艦艇，其鐵磁結構可分為兩類：一類是薄壁結構，主要包括艦艇外殼、艙壁等；另一類是非薄壁結構，主要是一些大型艦載設備，比如大型吊車等。感應磁場建模需同時考慮薄壁結構和非薄壁結構對感應磁場的影響，開發一種同時可考慮兩種結構感應磁場的數值程序包顯得尤為必要。因此需相應地推導適用于驗證同時考慮薄壁和非薄壁結構感應磁場數值程序準確性模型的解析解。同心球殼-球體系模型（即實心球體外套一個同心球殼體）感應磁場解析解模型非常適用于驗證感應磁場數值程序，本文基于分離變量法推導該模型感應磁場的解析解。

1 問題的描述

圖1 垂向激勵場作用下的球體?球殼體模型

在激勵磁場的作用下，四個分區均存在感應磁場，本文推導各分區感應磁場解析解表達式。

2 各區域感應磁場的解析解

根據邊界條件與參考磁位條件，借鑒空心球殼附加磁場解析解推導的相關結論[9]，各區域磁位可表示為：

式中：

2.1 V1區磁場解析解（實心球內）

2.2 V2區磁場解析解（空氣間隙）

2.3 V3區磁場解析解（鐵殼層內）

2.4 V4區磁場解析解（外部空氣空間）

3 驗證與分析

3.1 驗證算例

分別以積分方程法和有限元數值結果為參照，磁感應強度各分量的誤差分析見表1，其中XZ分量（X的含義為分量激勵引起的附加磁感應強度的分量，Y和Z的物理含義類似）采用平均相對誤差（，定義見式(15)）為評估指標，解析解為0，以最大絕對誤差考察數值誤差。可看出，和的平均相對誤差在4.5%以內，的最大絕對誤差在5 nT以內，表明了模型感應磁場解析求解的準確性。

表1 實驗算例誤差分析

3.2 球殼體對內部球體磁場的屏蔽系數

其中，實心球體模型和同心球殼-球體系模型中的實心球體部分坐標系、尺寸和磁性參數均相同。

4 結論

為便于驗證同時考慮薄殼體和非薄殼體感應磁場數值程序包計算準確性，基于分量變量法推導了同心球殼-球體系模型感應磁場的解析解。具體模型算例的有限元和積分方法結果檢驗了所推導的解析解表達式的準確性。同心球殼-球體系模型和實心球體、球殼體模型組成了驗證艦艇磁場數值計算精度的系列標準模型，對于艦艇磁場數值研究具有重要意義。

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Analytical Solution of the Induced Magnetic Field of Concentric Shell Sphere and Solid Sphere System

Du Yudong1, Zhu Wubing1, Han Haidong1, Xu Nan1, Liu Yuelin2

(1. PLA 31011, Beijing 100089, China; 2. College of Electrical Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

O441.3

A

1003-4862（2019）05-0039-03

2018-10-16

國家自然科學基金資助項目（41476087）

杜豫冬（1978-），男，高級工程師。研究方向：指揮自動化監控技術與電磁環境監測技術。E-mail: 13488661081@139.com

朱武兵（1989-），男，博士。研究方向：電磁環境與防護技術。E-mail: beonlyzwb@163.com