錐形內(nèi)表面干涉測量誤差分析

黃 欣，吳 鵬，唐壽鴻，韓 森，李雪園，王全召

（1．上海理工大學(xué) 光電信息與計算機工程學(xué)院，上海 200093；

2．蘇州慧利儀器有限責(zé)任公司，江蘇 蘇州 215123；

3．蘇州維納儀器有限責(zé)任公司，江蘇 蘇州 215123）

引 言

錐面作為一種特殊的非球面，它的子午線始終沿著錐面軸線方向。高精度的錐面元件由于自身的特性，可以廣泛地應(yīng)用在測試計量、航天航空、工業(yè)加工等領(lǐng)域[1-2]。尤其是在航天航空設(shè)計制造領(lǐng)域內(nèi)，對于零件的平整度、圓柱度、粗糙度等各項指標(biāo)具有較高的要求。因此，高精度的錐面測量對于精密類軸承的制造和推廣尤為重要。

目前，國內(nèi)錐面元件的測量主要是針對外表面的檢測，測量方法主要分為非干涉測量和干涉測量兩種。非干涉測量的方法主要有樣板法、條紋投影法[3]和接觸式測量法。干涉檢測的方法主要有掠入射零位干涉測量[4]、計算機全息法（CGH）[5]。

為了能夠一次性對回轉(zhuǎn)圓柱內(nèi)表面的形貌進行高精度檢測，孫昊等采用了直角圓錐反射鏡，在無拼接的情況下，利用干涉原理，一次性獲得了整周被測面的面形[1-2]。本文在此基礎(chǔ)上進行了改進，并將其應(yīng)用于錐面內(nèi)表面的測量。通過分析誤差產(chǎn)生的原因，建立了誤差計算公式。

1 測量原理

基于Fizeau干涉儀的回轉(zhuǎn)錐形內(nèi)表面檢測系統(tǒng)原理如圖1所示。從干涉儀中射出的光線經(jīng)分光棱鏡之后，一部分光線沿光軸照射到圓錐反射鏡上，反射光垂直照射在被測樣品表面后，光線原路返回，與另一部分光線發(fā)生干涉，產(chǎn)生的干涉圖像被CCD所接收。

圖1 檢測系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of detection system

當(dāng)圓錐反射鏡的頂角和反射表面為理想形狀且圓錐反射鏡和被測樣品均處于理想位置時，干涉圖為一個黑白相間的同心圓環(huán)圖樣，如圖2所示。

干涉圖的光強分布為

式中：It和Ir分別為測試光和參考光的各點光強值； φ(x,y)為相位差； δ為引入的相移量。

圖2 干涉圖Fig.2 Interference figure

可得到相位差。

2 誤差分析

2.1 誤差來源

由回轉(zhuǎn)體的特性可知，繞z軸的旋轉(zhuǎn)和沿z軸的平移不會對實驗結(jié)果產(chǎn)生影響。誤差包括：圓錐反射鏡垂直z方向產(chǎn)生的偏移誤差 Δt；圓錐反射鏡頂角加工所產(chǎn)生的角度誤差 θ。如圖3所示，α為被測表面的傾斜角。

圖3 誤差產(chǎn)生的原理圖Fig.3 The cause of the error

2.2 偏移誤差

當(dāng)圓錐反射鏡軸線與被測樣品沒有相對旋轉(zhuǎn)，僅存在偏移誤差的時候，如圖4所示。定義在被測表面中過P(R,β,ZP)點且與xy平面平行的截面為，過U點且與xy平面平行的截面為S1，過V點與xy平面平行的截面為S2。其中截面Sp的半徑為，截面S1的半徑為r1，截面S2的半徑為r2。

為了方便計算，可以假設(shè)反射鏡軸線是沿x軸從O平移了 Δt到O′位置，對于被測樣品任意一點P(R,β,ZP)點，其偏移誤差的幾何光路如圖5所示。圖中黑色大圓，虛線小圓和黑色小圓分別是截面Sp、截面S1和截面S2在xy平面的投影。其中OP與圓O相交于Q點，O′P與圓O′相交于點B(r2,βB,ZB)，其反射光線與圓O′相交于點A(r2,βA,ZA)。

圖4 偏移誤差示意圖Fig.4 Offset error

圖5 偏移誤差幾何光路俯視圖Fig.5 Top view of geometrical optical path by offset error

故當(dāng)圓錐反射鏡處于理想位置時，光束打在U點，其對應(yīng)的投影點為Q，則此時理想光程在xy平面的投影為2QP。當(dāng)反射鏡位于實際偏移位置，實際光路在xy平面的投影則為AP+BP。

故由偏移誤差帶來的光程差在xy平面的投影為

根據(jù)小角度近似和泰勒級數(shù)一級展開，通過求解A、B點坐標(biāo)，有

式中x0為點P在笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，且x0=Rpcos β(β為被測表面上任意一點P在柱面坐標(biāo)系中的極角)。

由投影與實際光路的幾何關(guān)系和式(5)可知，實際光程差為

當(dāng)圓錐反射鏡與被測表面存在偏移誤差時，被測表面上任意一點的光程差如式(6)所示。

在實際測量的精調(diào)過程中，偏移量極小，根據(jù)式(6)繪制出偏移量與光程差的曲線圖，如圖6所示，其中由圖6可知，對于被測面上任意一點P，偏移量與光程差為線性關(guān)系。

圖6 偏移量與光程差的曲線圖Fig.6 Relationship between offset and optical path difference

2.3 角度誤差

假設(shè)反射鏡軸線與被測樣品軸線都處在理想位置，僅有反射鏡頂角存在加工誤差，則由角度誤差造成的光程差如圖7所示。圖中虛線三角形表示理想反射鏡，實線三角形表示實際反射鏡。記參考面到反射鏡頂點的距離為s，圓錐反射鏡高為hc。圖中，點E(rE,βE,ZE)為光線在理想反射鏡上的反射點，點F(rF,βF,ZF)和點D(rD,βD,ZD)為光線在實際反射鏡上的反射點。

圖7 角度誤差示意圖Fig.7 Angle error

對于被測面任意一點P(R,β,ZP)，其光程差為

通過求解D、E、F點的坐標(biāo)，得到：

根據(jù)幾何關(guān)系，利用rD、rE、rF可以求得：

并將式(11)代入到式(7)，則有：

根據(jù)式(12)，可以繪制出角度誤差 θ和光程差L2之間的曲線圖，如圖8所示，其中令s=200 mm，R=93 mm。

由圖8可知，光程差對于角度誤差非常敏感。當(dāng)角度誤差超過5′時，光程差已經(jīng)超過100 μm。當(dāng)角度誤差極小，即在1′以內(nèi)時，角度誤差與光程差近似線性關(guān)系。為了保證測量精度，圓錐反射鏡的頂角精度需要被嚴格控制。

3 結(jié) 論

本文通過分析誤差產(chǎn)生的原因，進行光路追跡，以此構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出誤差計算公式，繪制出光程差與誤差的曲線圖。研究發(fā)現(xiàn)：在圓錐反射鏡的偏移量極小情況下，光程差與偏移量成線性關(guān)系；光程差對于反射鏡的角度誤差非常敏感，為了保證實驗精度，需要嚴格控制角度誤差的大小。誤差計算公式的推導(dǎo)，可為后續(xù)利用算法校正誤差的研究提供參考。

圖8 不同的角度誤差與光程差曲線圖Fig.8 Relationship between the angle error and optical path difference