粘結單元在模擬FRP層合板低速沖擊響應中的應用*

蔣 振，文鶴鳴

（中國科學技術大學中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室，安徽 合肥 230026）

纖維增強樹脂基復合材料（fibre reinforced plastic composites，FRP）具有比強度和比模量高、可設計性強、耐疲勞性好等特點，在諸多工程中得到了越來越廣泛的應用[1]。但由于FRP本身對低速沖擊比較敏感，使得FRP層合板在受到外物撞擊后很容易出現內部損傷。

目前對FRP層合板的數值模擬研究，重點在于對其本構關系的研究。在宏觀尺度上，主要有2種本構模型：（1）脆性失效模型（brittle failure model，BFK）[2-6]，即在未滿足失效準則時材料的響應是線彈性的，一旦滿足失效準則，材料即刻完全失效，表現為其應力、強度和模量立刻變為零；（2）連續介質損傷力學模型（continuum damage model，CDM）[7-11]，即一旦滿足損傷準則，材料并非立刻喪失承載能力，材料發生損傷，但隨著損傷的發展，材料的剛度慢慢減小直到完全失去承載能力。Xin等[12]提出了一個基于連續損傷介質力學的三維模型，該模型借鑒了Hou等[2]提出的失效準則并通過引入斷裂能的概念和利用應力-位移關系來描述材料的本構方程，從而在一定程度上減少了由于應變集中而造成的網格依賴性。模型考慮了多種破壞形式，如面內纖維的拉伸斷裂、壓縮破壞、基體開裂、層間剪切，厚度方向上的壓潰失效以及分層。在失效準則中，還考慮了沿著厚度方向的剪應力和正應力對不同失效模式的影響，并認為層間分層破壞不僅發生在層間正應力為拉應力的情況下，而且當層間正應力為壓應力但剪切應力足夠大的情況下也有可能發生。一旦滿足失效準則，便認為材料發生損傷。除此之外，該模型還通過引入動態增強因子在統一框架內考慮了FRP的應變率效應。

分層是FRP層合板在沖擊荷載作用下主要的損傷模式之一，預測FRP層合板的分層也是目前研究的熱點和難點。Olsson[13]提出了一個分析模型來預測復合材料在受到低速沖擊時的分層損傷的產生和發展。Espinosa等[14]提出了一個針對GFRP(glass fiber reinforced plastic)層合板三維各向異性的黏彈性模型，并結合黏性接觸理論，分析了GFRP在動態載荷下的分層情況。Aymerich等[15]用黏性面單元來研究復合材料的分層并取得了很好的結果。Johnson等[16]利用二維損傷模型和界面層單元研究了編織GFRP的動態響應。Singh等[17]提出了一種三維的彈塑性本構模型并結合基于界面間的黏性區域的相互作用來模擬CFRP(carbon fiber reinforced plastic)層合板在低速沖擊下的分層行為，模擬結果與實驗吻合得較好。

本文中建立有限元模型來預測FRP層合板在低速沖擊下的響應和破壞。模型不再將整個層合板當成連續均勻的各向異性材料，而是認為層合板是由單層板通過黏結層粘結而成。單層板的本構模型采用新近提出的漸進損傷本構關系[12]，粘結層的本構模型采用了改進的黏性區域理論。最后，將有限元模型預測的結果與實驗觀察結果進行比較和討論。

1 本構模型

1.1 單層板連續介質損傷模型

Xin等[12]提出了一個FRP層合板沖擊載荷作用下的連續介質損傷模型，將單層板當成連續均勻的各向異性材料，并不具體區分基體和纖維。該模型包含3個部分即：失效準則、損傷演化、應變率效應。

當以上任何一種失效模式滿足時，便認為材料受到不可逆的損傷，直到材料完全失效。為了表征材料的損傷和失效，通過損傷變量來描述材料的剛度折減因子。需要注意的是，單層板的連續損傷模型用基于應力-位移關系的斷裂能方法來計算損傷變量。通過引入動態增強因子概念，考慮了材料模量和強度的應變率效應。具體的單層板的連續介質損傷模型的詳細介紹可以參考文獻[12]。

1.2 粘結層損傷模型

黏性區域方法（cohesive zone method, CZM）[18-19]把基于應力的初始損傷判斷準則和基于斷裂力學的損傷演化規律結合起來。然而，黏性區域方法和其后相關文獻[14, 17]都沒有考慮應變率效應。在下面的章節中，較為詳細地介紹一種考慮應變率效應的修正的黏性區域方法（modified cohesive zone method)。

黏性區域方法借鑒斷裂力學的概念，認為分層的破壞有3種基本形式，即：張開型分層（Mode Ⅰ，open mode）、剪切型分層（Mode Ⅱ，shear mode）、撕裂型分層（Mode Ⅲ，tearing mode）。由于在實驗中環氧樹脂撕裂斷裂韌度很難測量，因此在本文中將剪切型分層和撕裂型分層當成相同形式，將都等效為剪切型分層，推導出相關的理論解。

1.2.1 牽引力位移準則

如圖1所示，牽引力-位移(traction-separation)準則包括3個部分，即：初始線性響應階段、分層開始發生階段、分層擴展階段。

圖1 牽引力-位移準則示意圖Fig.1 Schematic diagram of traction-separation law

在線性階段，在不考慮耦合的情況下，可以把應力-牽引準則寫成如下的形式：

式中，tn、ts、tt分別代表牽引t在沿著法向和2個切向的分量即tn、ts、tt分別為法向和2個切向的應力，δn、δs、δt是指在相應方向上分離的距離，Kn、Ks、Kt則分別是在相應方向上的剛度值。

隨著載荷的進一步加載，一旦應力場滿足以下二次應力損傷準則，則認為初始的分層開始發生。二次應力損傷準則可以寫成：

式中分別為法向和2個切向的極限應力。將Mode Ⅱ和Mode Ⅲ當成都是剪切分層，則式（2）可以重新寫為：

式中其中＜ ＞ 是Macaulay括號，定義為：

等效位移δm可以寫成如下表達式：

式中當開裂位移大于0時，可以定義參數β

將式（6）代入方程（5）中，得到：

進一步假設3種模式的剛度相同，即K=Kn=Ks=Kt，將ti=Kiδi代 入式（3）中，通過相關推導，并考慮時的情況，可以得出在發生初始分層時對應的等效位移：

式中是對應牽引力極限值時的位移，其可以寫成

從式(8)可以清楚地看出，當β=0時是單純的拉伸，即Mode Ⅰ模式；而當β→∞時便是單純的剪切模式。

當等效位移δm達到損傷發生的臨界位移時，便認為損傷開始發生了。此時，隨著載荷的增加，便開始進入損傷演化階段。B-K準則[20]是應變率釋放率的函數，認為B-K準則一旦滿足，便發生了完全的損傷，分層便發生。B-K準則表達式如下：

式中：GI、GII、GIII分別是Mode Ⅰ、Mode Ⅱ和Mode Ⅲ的應變能釋放率，Gshear=GI+GII是剪切模式的應變能釋放率，GT=GI+Gshear是總的應變能釋放率，GIC、GIIC分別是Mode Ⅰ、Mode Ⅱ的斷裂韌度，GC是總體的斷裂韌度，η是從混合模式彎曲實驗中擬合得到的一個經驗參數，本文中取1。

如圖1所示，可以把斷裂韌度GC寫成：

將等式（11）代入式（10），并且考慮時的情況，得出最后完全分層的失效位移表達式為：

從式(11)中可以清楚地看出，當β=0時是單純的拉伸，即Mode Ⅰ模式；而當β→∞時便是單純的剪切模式。

為了描述該損傷的不可逆性，引入一個狀態變量

式中：δm(T)是當前分析步長的等效位移，δm(T-ΔT)是前一個分析步的等效位移。這樣，就可以把牽引力-位移準則寫成統一的形式：

1.2.2 應變率效應

與單層板連續介質損傷模型相類似，粘結層的應變率效應可表示為[12]：

式中：ψ為動態增強因子，A、B、C是描述FRP層合板應變率效應的經驗常數。動態的強度和模量等于靜態的強度和模量乘以動態增強因子，其表達式如下：

式中Ki是動態的強度和模量是靜態的強度和模量。

2 有限元模型

FRP層合板的有限元模型包括兩個部分，即單層板和粘結層，如圖2所示。在實際建模中，先利用Truegrid軟件生成單層板模型，然后再在ABAQUS/CAE中通過偏置方法在指定位置生成8節點零厚度的粘結層單元，粘結單元和實體單元是共節點的，相當于在單層板之間插入粘結單元，如圖3所示。單層板用C3D8R單元來創建，而粘結層用COH3D8單元（cohesive單元）來創建。彈體和靶板間的接觸是通用接觸，其摩擦因數設為0.1。

圖2 FRP層合板組成示意圖Fig.2 Schematic diagram of FRP laminates

圖3 將粘結單元插入實體單元示意圖Fig.3 Illustration of cohesive elements inserted in solid elements

對于實體單元失效問題，認為當單元等效應變達到極限等效應變時單元便被刪除，具體細節可以參考文獻[12]。而對于粘結單元，通過在用戶子程序中定義一個狀態變量令其值等于粘結單元的損傷變量D的值，來控制單元的狀態。當D=0時，表示單元未發生損傷，而當D=1時，認為單元完全破壞，單元將被刪除。粘結單元被刪除表示此處發生了分層破壞。

對于各種不同鋪層方向的單層板，在總體坐標系下，對每層單層板來建立一個局部坐標系，來確定單層板的主方向，用來表征單層板的不同鋪層方向。粘結單元和實體單元是共節點的，兩者面內單元尺寸保持一致，在文獻[7]中詳細討論了網格收斂性，結果表明單元面內尺寸為1 mm×1 mm時數值計算結果具有良好的精度，因此本文中撞擊區域的單元面內尺寸都選為1 mm×1 mm。

從幾何上來看，2個單層板通過零厚度的粘結層連結在一起，但從計算的角度來說，由于要將應變增量變成等效位移的增量，必須對粘結單元賦予一個厚度。在這里，計算厚度取單位長度，粘結單元的計算厚度的選取關系到粘結單元的剛度參數的單位的選取。在這里，粘結單元的計算厚度取1，則粘結單元的剛度的單位與模量的剛度一致。

將粘結層當成一種與環氧樹脂相接近的材料，其相關材料性質如斷裂韌度、模量等都可以通過設計相關實驗測出，并認為粘結層的應變率效應與單層板的應變率效應保持一致。表1給出了粘結層的相關材料參數。其中 是強度的應變率參數 是模量的應變率參數。Ai、Bi、CiAm、Bm、Cm

如圖4所示，建立了Aymerich等[15]的低速撞擊實驗的有限元模型。根據實驗中的描述，建立了尺寸為 65 mm×87.5 mm×2 mm 的 CFRP（carbon fiber reinforced plastic）層合板模型，并將落錘系統簡化為質量為2.3 kg，直徑為12.5 mm的半球頭剛彈。模型中，在開口區域45 mm×67.5 mm處單元面內尺寸約為1 mm×1 mm，在開口區域外單元尺寸約為2 mm×2 mm，中間用一個蝴蝶網格進行過渡。在厚度方向上，層合板的實際鋪層方式為 [03903]s，如圖4所示，層合板從上到下依次是纖維取向為 0°單層板3層、90°單層板3層、 9 0°單層板3層、 0°單層板3層，下標s代表對稱。其中0°方向沿著長邊的方向。在實際建模中，將相同鋪層方向的三層板當作單層板處理，每層單層板厚度為0.5 mm，模型中的鋪層方式為[0/90/90/0]。在不同鋪層方向的單層板之間插入零厚度的粘結單元，因此共有2層粘結單元，如圖4所示。實驗中，層合板是放在開口區域為45 mm×67.5 mm的墊板上，并用夾具將4個角固定住。

圖4 低速沖擊下CFRP層合板的有限元模型Fig.4 Finite element model for CFRP laminates under low velocity impact

3 結果和討論

利用前面介紹的模型，來對落錘低速撞擊CFRP層合板的實驗進行數值模擬，并于相關實驗進行了比較。落錘分別以2.1 J（半球頭彈撞擊速度為1.35 m/s）和4.9 J（半球頭彈撞擊速度為2.06 m/s）的能量撞擊CFRP板。單層板的相關參數如表2所示。其中E是彈性模量，參數下標1、2、3分別表示面內縱向，面內橫向和面外方向；G是剪切模量，參數下標1、2、3分別表示面內縱向，面內橫向和面外方向；Xt、Yt、Zt分別表示1、2、3方向的拉伸強度；Xc、Yc、Zc分 別表示1、2、3方向的壓縮強度；S是剪切強度，參數下標1、2、3分別表示面內縱向，面內橫向和面外方向；ν是泊松比，參數下標1、2、3分別表示面內縱向，面內橫向和面外方向分別表示不同失效準則對應的斷裂位移。

表2 Graphite/epoxy單層板的參數值Table 2 Parameters for graphite/epoxy laminates

圖5給出2種不同低速落錘撞擊能量下的數值模擬得到的載荷-時間曲線與實驗觀察結果的比較。從圖5可以看出，與實驗結果相比，數值模擬結果的峰值載荷和作用時間都吻合得很好。

圖6給出2種能量下的數值模擬得到的載荷-位移曲線與實驗觀察結果的比較。從圖6可以看出，與實驗結果相比，數值模擬預測的中心最大位移和最終殘余位移都吻合得很好。

圖5 數值模擬得到的載荷-時間歷程與實驗觀察[15]的比較Fig.5 Comparison of the numerically predicted load-time histories with the experimental observations[15]

圖6 數值模擬得到的載荷-位移曲線與實驗觀察[15]的比較Fig.6 Comparison of the numerically predicted loaddisplacement cures with the experimental observations[15]

圖7給出了graphite/epoxy層合板在不同能量（2.1 J、4.9 J）打擊下底部[90/0]兩層單層板之間分層形貌的數值預測結果與實驗觀察的比較。在圖7(a)和(b)中，左邊是數值模擬得到的結果，通過[90/0]中間的粘結單元的破壞來表征分層形貌；右邊是實驗中通過X光技術掃描得到底部[90/0]間形貌，陰影部分表明發生了分層破壞。界面層的粘結單元的損傷通過損傷因子D來控制。當損傷因子D=0時，說明粘結單元未有任何損傷，云圖中顏色為藍色；而當損傷因子D=1時，說明粘結單元已經完全失效，說明此處發生了分層破壞；云圖中為中間過渡的顏色表明粘結單元受到損傷卻還未完全失效。不難看出，本模型得到的分層的形貌和面積與實驗觀察吻合得較好，在[90/0]層間分層的形貌是雙火焰形狀，分層的長邊都是沿著底層單層板纖維的鋪層方向。

圖7 數值模擬得到的分層形貌與實驗結果[15]的比較Fig.7 Comparison of the numerically predicted delamination areas with the experimental observations[15]

通過與實驗的觀察比較，驗證了本文模型的可靠性，本文的模型能較好地預測CFRP層合板在落錘低速撞擊下的動態響應，并成功地預測了CFRP層合板在橫向沖擊載荷下的分層行為。本模型考慮了應變率效應，使得模型能夠處理動態載荷問題，相比不考慮應變率效應，對于不同能量沖擊層合板，本模型計算得到的分層損傷結果與實驗結果更加吻合。另外，由于考慮了應變率效應，該模型不僅可用于低速撞擊問題而且還可用于中、高速撞擊問題。

4 結束語

本文建立了一個有限元模型來預測纖維增強樹脂基復合材料（FRP）層合板在低速沖擊下的響應和破壞。模型不再將整個層合板當成連續均勻的各項異性材料，而是認為層合板是由單層板通過粘結層粘結而成。提出考慮應變率效應的基于粘性區域方法的粘結層的損傷模型，并將提出的本構方程和失效準則通過子程序VUMAT嵌入到有限元軟件ABAQUS/EXPLICIT中；將FRP層合板當成由單層板通過粘結層粘結而成，并建立了有限元模型；在低速撞擊時，有限元模型能夠很好地預測FRP層合板的載荷-時間歷程、載荷-位移曲線和分層效應。