基于雙彎曲質點彈簧系統的Waterbomb鋪嵌快速模擬

于麗潔 孫紅巖

摘 要：通過對Waterbomb鋪嵌模型的結構分析，提出雙彎曲質點彈簧系統并對其進行模擬。根據與棱相鄰的三角形面片是否對稱，將Waterbomb鋪嵌模型的非邊界棱（邊）歸為兩類，建立兩類彎曲彈簧，設置不同的彎曲彈性系數，該質點彈簧系統被稱為雙彎曲質點彈簧系統。然后運用隱式歐拉法和塊坐標下降法求解最小化問題，得到下一時刻物體運動變形的速度和位置，實現對Waterbomb鋪嵌模型快速、穩定和準確的模擬。實驗證明，在誤差允許范圍內，該算法速度快于牛頓法。相比單彎曲（基本）系統，雙彎曲質點彈簧系統提升了模擬穩定性、真實性，并減小了誤差。

關鍵詞：質點彈簧系統;彈性變形模擬;薄殼;Waterbomb折紙鋪嵌;雙彎曲質點彈簧系統

DOI：10. 11907/rjdk. 181788

中圖分類號：TP317.4文獻標識碼：A文章編號：1672-7800（2019）001-0186-06

Abstract：According to the analysis of waterbomb tessellation model structure， bi-bending mass-spring system is proposed to simulate waterbomb tessellation. According to the symmetry of the triangular facets adjacent to the edge， the non boundary edges of the waterbomb tessellation model are classified into two classes， and two kinds of bending springs are established with different bending elasticity coefficients. This mass-spring system is called the bi-bending mass-spring system. Then， we use the implicit Euler method and solve the minimization problem by block coordinate descent method （also known as alternating optimization） to get the velocity and position of the movement and deformation of the object at the next time. This paper realizes the fast， stable and accurate simulation of waterbomb tessellation model. Within the allowable error range， the algorithm is faster than Newtons method. Compared with the single bending （basic） system， the bi-bending mass-spring system further improves the stability and realism of the simulation and reduces the error.

0 引言

基于物理的模擬方法符合客觀物體運動和變形規律，能夠很好地保持運動和變形的真實性。在基于物理的模擬中，模型的表示方法包括質點彈簧模型、有限元模型、無網格表達等。質點彈簧模型由一系列質點和連接各個質點的彈簧構成，是一種最簡單的彈性體模擬方法，在圖形學中得到了快速發展。不同種類的彈簧具有不同特性。

在圖形學的物理模擬中，薄殼容易彎曲、寬度與厚度之比大于100，在未變形狀態下是彎曲的結構[1]。而與之相對的薄板在未受力狀態下是平整的。常見的薄殼結構有轎車外殼、草帽、紙張、雞蛋殼、樹葉等。

紙張本身是剛性的薄殼結構。當紙張被折疊，形成具有負泊松比的鋪嵌模型時，紙張整體便具有了彈性，成為柔性曲面，可形成各種形狀。折紙（Origami）既是一種古老的藝術形式，又是一種很好的娛樂方式。人們可以通過折紙藝術將具有水密性的硬質材料如紙張、金屬等通過彎曲或折疊形成復雜的三維形狀。

拼嵌模式包括waterbomb tessellation、Miura-ori、Yoshimura pattern、Resch's pattern、Curved folding、Huffman's Origami Tessellations等。Waterbomb樣模鋪嵌或水雷鋪嵌是應用最廣泛的折紙圖案之一。它是基于三角形可平面折疊的圖案模式，具有周期對稱，泊松比為負，屬于具有各向異性的拉漲材料[2]。Waterbomb樣模鋪嵌的負泊松比特性通過剛性的完整紙張折疊得到，無需通過剪切實現。Waterbomb樣模分為六折痕樣模和八折痕樣模[3]，兩種樣模可形成不同的鋪嵌模型。由于曲面既有凹點也有凸點，因此Waterbomb鋪嵌具有足夠的柔性，可形成多種折紙圖案[4]。

1 相關工作

質點彈簧模型原理簡單，易于操作，在更加注重模擬速度和穩定性、而不十分注重模擬精度的實時模擬中應用廣泛。2009年，Lu等[5]用雙層質點彈簧系統對植物葉片進行模擬。2013年，劉雪梅等[6]基于粘彈性力學模型耦合無網格伽遼金與質點彈簧對軟組織進行形變仿真，在大變形和拓撲改變區域使用無網格伽遼金法，其它區域使用質點彈簧法，兩個區域之間建立過渡單元。高精度及與拓撲無關的無網格伽遼金法與高效簡單的質點彈簧組合的方式有效解決了精度與效率平衡的問題，實現了高精度實時形變仿真。2013年，陳瑛等[7]根據織物拉伸形變過程中受力與形變程度的非線性關系特征，提出分段線性化彈性系數的改進質點彈簧模型，解決了織物模擬中超彈性的問題，提高了模擬真實感。2013年，Liu等[8]將隱式歐拉方法轉換為能量最小化問題，并引入彈簧方向作為輔助未知變量，用塊下降法對最小化問題進行求解，實現了對質點彈簧系統的快速實時模擬。2015年，王崴等[9]對繩索形變進行模擬，將傳統正方形質點彈簧網格進行改進，提出一種蜂窩狀的彈簧質點模型，利用Verlet-梯形預測-校正法進行數值積分以求得下一時刻速度和位置。實驗結果表明，蜂窩狀質點彈簧模型有效，算法提高了計算效率和精確度。2017年，王舒珍等[10]在傳統四邊形模型的基礎上對質點彈簧模型進行改進，去除剪切彈簧，以結構彈簧代替，對軟組織形變進行模擬。

自1987年Terzopoulos等[11]對彈性變形物體進行模擬后，基于物體的模擬方法被成功運用到立體、薄殼、布料、流體的變形模擬中。在薄殼模擬中，2003年，Grinspun等[1]提出了一種簡單的離散薄殼模型，該模型無需重復之前模型復雜的連續介質力學公式和算法。該方法主要關注不可拉伸的薄殼，即薄殼的變形主要為等距變換。彎曲能量用相鄰面片二面角的變化進行描述。在此基礎上，2007年Garg等[12]提出實現更簡單、計算更高效的基于折葉（hinge-based）的物理模型，對易彎曲或接近剛性的、各向同性或各向異性的薄板或薄殼進行模擬。一個彎曲折頁由兩個相鄰三角形面片形成。由于折頁的方法簡單，計算復雜度低，在網格模型模擬中大受歡迎。2014年，Bouaziz等[13]提出投影動力學，能夠支持一系列幾何約束，在同一框架中對立體、布料、薄殼進行基于實例的模擬。其中，薄殼的彎曲能量用變形狀態下和未變形狀態下平均曲率的變化（差的平方）描述。對于等距變換，該彎曲能量可以用附加的（auxiliary）旋轉矩陣重寫為拉普拉斯-貝爾特粒米算子，然后用分段線性的帽子基函數（hat basis）將該連續彎曲能量進行離散化。2016年，Zhang等[14]提出用交互工具對3D中空打印模型變形進行設計。根據模型各部分彎曲彈性的不同，中空模型各部分被設計成不同厚度。2017年，Liu等[15]將投影動力學解釋為擬-牛頓法，并用L-BFGS進行加速，能夠支持多種不同超彈材料的模擬，包括新虎克彈性材料和基于樣條的材料。

在折紙領域方面，2003年Grinspun等[1]提出可通過修改標準布料模擬器快速實現離散薄殼模型。2006年，Burgoon等[16]以該薄殼模型為基礎，考慮了紙張彈性，提出將紙張折疊成為簡單模型的交互界面。該方法沒有重點處理折痕多的紙張間碰撞問題，折出了簡單的折紙模型，如5個折痕的小狗模型。2010年，Tomohiro Tachi在文獻[4]中提出設計三維自由曲面的方法和Freeform Origami 系統，可對給定的圖案進行自由編輯;在文獻[17]中，Tomohiro Tachi提出一種折出任意三維形狀的方法Origamizer Method， 可將材料折疊成給定多面體的折痕圖。2013年，Tomohiro Tachi[18]研究了由給定多面體曲面設計Resch式折紙鋪嵌自由形狀的方法;在文獻[19]中，Tomohiro Tachi提出交互式模擬和設計折紙的計算方法，其中折紙形狀由每個樣模（圖元，基本型）彎曲情況決定。2013年，Davis等[20]對David Huffman的折紙鋪嵌進行了重建。

2 Waterbomb鋪嵌上的雙彎曲質點彈簧系統

2.1 模擬對象

本文對圖1（a）所示的折紙鋪嵌圖案類型進行模擬，其模擬模型來自Tomohiro Tachi的Freefrom Origami系統[4]，見圖1（b）。

2.2 雙彎曲質點彈簧系統

Waterbomb鋪嵌模型的質點彈簧模型主要包括結構彈簧和彎曲彈簧。

將紙張沿折線向上折疊，稱為峰折或山折（moutain fold），向下折疊稱為谷折（valley fold），向上向下折兩次稱為中性折（genderless fold），帶有折痕模式的紙張平面圖稱為折痕圖或CP圖（crease pattern），最基本的折痕圖稱為waterbomb 樣模（base）、圖元或基本型，將一組waterbomb 樣模在三維空間按照一定規律重復拼嵌便組成waterbomb 鋪嵌或拼嵌（tessellation）。Waterbomb樣模邊界邊、峰折折痕和谷折折痕統稱為邊（或棱）。

六折痕Waterbomb樣模解析如圖2所示。

2.2.1 結構彈簧

在所有棱（包括Waterbomb樣模邊界邊、峰折折痕和谷折折痕）上設置結構彈簧，如圖3中直線所示。

2.2.2 彎曲彈簧

（1）單彎曲彈簧。將所有彎曲彈簧均使用同一彈性系數的質點彈簧系統稱為單彎曲質點彈簧系統。以單個Waterbomb樣模為例，對如何建立其鋪嵌模型質點彈簧系統中的彎曲彈簧進行說明。單個Waterbomb樣模的質點彈簧模型如圖3所示。

對于薄殼結構來說，彎曲變換是一個重要變換。根據對圖2的分析，本文以棱為中心（面向棱）構建Waterbomb彎曲彈簧，如圖3中的虛線點狀曲線所示。例如，與邊OB相鄰的三角形分別為三角形OBE和三角形OBD，其上與邊OB相鄰的頂點分別為點E和點D。連接ED，建立在邊OB上的彎曲彈簧。

（2）雙彎曲彈簧。由于Waterbomb鋪嵌模型變形時具有各向異性特性，本文在系統中設定具有不同彎曲彈性系數的彎曲彈簧，即雙彎曲質點彈簧系統。仍然以單個Waterbomb樣模為例說明Waterbomb折紙鋪嵌模型雙彎曲質點彈簧系統的構建（見圖4）。通過對Waterbomb樣模鋪嵌的結構進行分析，發現根據棱兩邊三角形面片結構是否對稱，可以將Waterbomb鋪嵌模型非邊界棱分為3類：①與棱相鄰的兩個三角形面片關于棱是軸對稱的，該類棱包括：峰折折痕（如邊OE）和Waterbomb樣模中邊界較長的邊（如邊BD）;②與棱相鄰的兩個三角形面片關于棱是中心對稱的，該類棱包括Waterbomb樣模中邊界較短的邊（如邊EB）;③與棱相鄰的兩個三角形面片關于棱不具有對稱性，該類棱包括谷折折痕（如邊OB）。

以棱為中心，根據不同類型的棱（面向棱）構建Waterbomb的彎曲彈簧（見圖4）。

根據以上分析，本文將Waterbomb折紙樣模鋪嵌模型的棱（或邊）分為3類。本文將與棱兩邊相鄰的三角形面片對稱（包括軸對稱和中心對稱）的第1、第2類棱統稱為Ⅰ類棱，Ⅰ類棱包括Waterbomb樣模所有邊界邊和“峰折”折痕;將與棱兩邊相鄰的三角形面片不具有對稱性的第3類棱統稱為Ⅱ類棱。

本文在Ⅰ類棱和Ⅱ類棱上分別建立彎曲彈性系數不同的彎曲彈簧。將Ⅰ類棱上的彎曲彈簧稱為峰彎曲彈簧（或者相同彎曲彈簧），Ⅱ類棱上的彎曲彈簧稱為谷彎曲彈簧（或者不同彎曲彈簧）。

圖4展示了一個Waterbomb樣模的雙彎曲質點彈簧構建。以棱OE為例：與棱OE相鄰的三角形面片為三角形OEB和三角形OEA，從而與棱相對頂點為點A和點B。因此對于棱OE，本文連接鄰接點點A和點B建立相同彎曲彈簧AB。同理，在棱OB上連接鄰接點點E和點D，建立谷彎曲彈簧ED或不同彎曲彈簧ED。

3 基本概念與受力分析

設所模擬物體質點數為[m]，經歷的離散時刻依次為[t1，t2，t3，？]，時間步長用[h]表示。物體在時刻[tn]的位置坐標為[qn∈R3m]。系統所受的力用非線性函數表示為[f：R3m][→R3m]，則[tn]時刻系統所受的力為[f（qn）]。[f=-？E]，其中[E]為包括內部力和外部力的勢能函數，[E：R3m→R]。

設[M∈R3m×3m]為對角質量矩陣，[vn]為[tn]時刻的速度。

物體所受的力包括內力和外力。內力是指質點間的相互作用力，主要有彈性變形產生的力。本文中內力主要是彈簧彈性力。根據胡克定律，彈簧彈性勢能為：[Es=12kp1-p2-r2]。其中，[k]是彈性系數，[r]為彈簧原長（[r0]），[p1，p2∈R3]為彈簧的兩個端點。外力指物體受到的外部作用力，包括物體本身的重力、外界施加的力、碰撞反應力、風力等。本文暫時只考慮物體所受的重力。外力[fext=Mg]，其中[g]為重力常數。

4 數值方法

本文采用文獻[8]的隱式歐拉法和數值求解方法。

4.1 隱式歐拉法

4.2 數值求解

最小化問題可用塊坐標下降法（又稱交替優化法）求解，以下稱為local-global方法。首先，為[x]指定一個初始猜測值[y]。在局部過程中，固定[x]計算最優的[d];在全局過程中，固定[d]計算最優的[x]。一直重復該過程直到收斂或達到最大迭代次數。

5 實驗結果與分析

本部分首先從誤差、穩定性及模擬速度方面，對單彎曲（基本）質點彈簧模型的實驗結果進行分析和討論，確定迭代次數和彎曲彈性系數的范圍，然后對雙彎曲質點彈簧系統的實驗結果進行分析討論。

本文實驗環境為64位Windows10 操作系統，Intel（R） Core（TM） i56300HQ CPU@ 2.30GHz 。本文采用的實驗模型如圖1所示，該模型質點個數為67，邊數為170，三角形面片數為104。在實驗中，設定時間步長為[h=1/30s]，質點總質量為10g，結構彈簧拉伸彈性系數為80，重力常量為10kg/N，阻尼系數為0.001。

5.1 參數范圍

單彎曲質點彈簧模型即基本質點彈簧模型。本文首先用單彎曲質點彈簧模型確定模擬參數大致范圍。

5.1.1 實驗效果

從圖5可以看出，與沒有彎曲彈簧相比，有彎曲彈簧的質點彈簧系統模擬的Waterbomb鋪嵌模型折痕不會隨時間慢慢展平，很好地保持了模型變形的細節特征，由此說明彎曲彈簧的重要性。雙彎曲質點彈簧系統對彎曲彈簧進行細分，提高了模擬精確性。

5.1.2 誤差與穩定性分析

其中，[x0]為初始的預測值（[x0=y]），[x*]為采用牛頓法迭代到收斂時的值，[xi]表示第[i]次迭代時的位置。從定義可以看出，將由牛頓法得到的值作為基準（“準確值”）。相對誤差主要描述了算法的收斂性，“絕對誤差”則表示由本文算法得到的位置與準確值之間的差異。

在物理模擬中，模擬速度和精度往往是一對矛盾。本文綜合模擬速度和精確度對Waterbomb結構的彎曲彈性系數進行選擇，并設置結構彈簧拉伸系數均為80。

在單彎曲質點彈簧系統中，本文采用不同的彎曲彈性系數檢測算法收斂性。彎曲彈性系數分別為10、20、100、500時的相對誤差值，如圖6所示。其中，相對誤差值是綜合第30、60、90幀后得到的平均值。

從圖6可以看出，本文將Tiantian Liu等[8]提出的質點彈簧快速模擬方法運用在Waterbomb樣模鋪嵌模型的模擬時，對于不同的彎曲彈性系數，該方法最終均可收斂。整體而言，彎曲彈性系數越低，收斂速度越快。

此外，實驗結果證實，相對誤差并不是迭代次數的遞減函數。當迭代次數為20次或30次時，相對誤差增大，有些幀的相對誤差遠遠大于1。相對誤差描述了快速模擬方法相對于牛頓法的收斂情況。對實驗結果整理后發現，[g（x0）-g（x*）<0]即[g（x0）

本文分別在圖6和圖7中描繪了彎曲彈性系數為10、20、100、500時相對誤差和絕對誤差的曲線，經綜合分析可知，相對誤差和絕對誤差最終均會收斂。

除去彎曲彈性系數[bs=20]的情況，可以發現彈性彎曲系數越大，相對誤差和絕對誤差越小，收斂速度越快。當[bs=10]時，相對誤差和絕對誤差尤其小：相對誤差最大在1左右。

綜上分析，當彎曲彈性系數[bs=10]時，實驗中的相對誤差和絕對誤差均最小。由此，本文選擇彈性彎曲系數為10對Waterbomb樣模鋪嵌進行模擬。

5.1.3 模擬速度分析

在物理模擬中，除了精確度外，模擬速度是一個重要因素，而模擬精確度和速度往往不能兼顧。實驗記錄了迭代次數分別為10、15、20、30、40時各數值方法的計算效率數值，如表1所示。

在表1中，當迭代次數分別為10、15、20、30、40時，本文算法（local-global）的fps數值依次遞減，分別為19.5、14、11、7.5、5.6，即隨著迭代次數增多，模擬速度降低。牛頓迭代法的fps數值均為11，這是因為本文所用的Waterbomb模型的復雜度較低，當迭代次數分別為10、15、20、30、40時，牛頓法已經收斂。

5.1.4 參數范圍確定

在單彎曲質點彈簧系統中，從模擬效果、誤差及穩定性、模擬速度方面綜合考慮，通過對實驗結果進行討論分析，選擇迭代次數為15、彎曲彈性系數小于等于10。此時，模擬穩定，誤差在允許范圍內，并且模擬速度快于牛頓法。

5.2 雙彎曲質點彈簧模型

5.2.1 實驗效果

根據實驗結果，選擇相同彎曲彈性系數[sb=5]，不同彎曲彈性系數[db=10]，迭代次數為15，對Waterbomb樣模鋪嵌模型進行模擬。實驗結果如圖8所示。

5.2.2 誤差與穩定性分析

雙彎曲質點彈簧系統的Waterbomb折紙模型模擬的相對誤差和絕對誤差曲線如圖9、圖10所示。

從圖9可以看出，雙彎曲質點彈簧系統中的相對誤差比單彎曲質點彈簧系統更穩定、誤差更小（保持在1附近及以下）。從絕對誤差方面來看，當[sb=5，db=10]時，雙彎曲質點彈簧系統的絕對誤差數量級為10-4，在誤差允許范圍內，如圖10所示。相對誤差和絕對誤差的計算綜合了第30、60、90幀誤差的平均值。圖10幀數較少，大致描繪了誤差走勢。

在物理模擬中，模擬速度和精度往往是一對矛盾。根據對Waterbomb的結構分析，綜合模擬速度、精確度及穩定性，本文選擇彎曲彈性系數為5、不同彎曲彈性系數為10、迭代次數為15時對Waterbomb折紙模型進行物理模擬。此時，模擬穩定性良好，誤差在允許范圍內，并且速度快于牛頓法。

5.2.3 參數確定

首先，在單彎曲質點彈簧模型上，對模擬Waterbomb鋪嵌模型的參數進行初步確定;然后，根據Waterbomb鋪嵌模型結構特征，建立雙彎曲質點彈簧系統。實驗結果證明，相對于單彎曲質點彈簧系統，雙彎曲質點彈簧系統的穩定性更好、誤差進一步降低;最終選擇模擬參數為：相同彎曲彈性系數等于5、不同彎曲彈性系數等于10、迭代次數等于15。此時，算法模擬速度快于牛頓法。

6 結語

本文根據基本質點彈簧模型確定參數范圍，為Waterbomb鋪嵌的每條邊均建立結構彈簧，并以每條非邊界邊為基礎建立彎曲彈簧。采用隱式歐拉法和塊坐標下降法（或交替優化法）求解方程，得到物體運動變形的下一位置坐標。通過對實驗效果的誤差及穩定性分析發現，當迭代次數為15、彎曲彈性系數小于等于10時，模擬效果穩定、誤差在允許范圍內且效果真實。然后，根據與棱相鄰的三角形面片是否對稱，將非邊界棱歸為兩大類，并設定不同的彎曲彈性系數，建立雙彎曲質點彈簧系統。實驗結果表明，相對于單彎曲質點彈簧系統，雙彎曲質點彈簧系統進一步提升了穩定性、減小了誤差、提高了模擬真實性。本文實現了對Waterbomb鋪嵌模型的穩定模擬，在誤差允許范圍內，模擬速度比牛頓法更快。雙彎曲質點彈簧系統進一步提高了模擬穩定性、降低了模擬誤差。

本文沒有建立對角相望彈簧。在Waterbomb樣模中，如圖4中的E點和F點之間會發生彎曲，但是在本文算法中并沒有建立該彎曲彈簧。因為該彎曲彈簧是基于點的，而本文彎曲彈簧是基于棱建立的。因此，在以后的研究中，可嘗試基于點建立質點彈簧系統。另外，本文將與棱相鄰的三角形面片是軸對稱還是中心對稱視為同種情況（對稱）處理的做法不夠精確。由于彈簧對二面角的符號不敏感，所以本文并不是嚴格意義上的薄殼，但是由于Waterbomb鋪嵌的結構特性，運用質點彈簧對其進行模擬的做法也得到了很好的效果。

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（責任編輯：江 艷）