曲面結(jié)構(gòu)的表面電荷反演計(jì)算方法

杜志葉　易凡　金頎　鄒建明　姚勇

摘? 要：研究高壓直流輸電線路下絕緣材料表面電荷積聚與消散規(guī)律時(shí)，只能根據(jù)絕緣材料表面靜電電位反演計(jì)算得到電荷密度，但當(dāng)材料表面為曲面時(shí)，很難準(zhǔn)確計(jì)算出材料表面電荷密度.提出了一種針對曲面的電荷密度反演計(jì)算方法，針對曲面的絕緣材料，合理、密集地選擇電位測量點(diǎn)，通過多軸運(yùn)動(dòng)控制器得到電位測量點(diǎn)的相對位置坐標(biāo)，再按測量點(diǎn)將曲面劃分為三角形的網(wǎng)格，求出各點(diǎn)處的法向量，進(jìn)而反演出表面電荷密度.測量得到的3D打印的曲面圓盤和懸式絕緣子表面電位，以此為算例計(jì)算其表面電荷密度.計(jì)算結(jié)果同理論分析趨勢一致，絕緣材料表面的靜電電位與電荷密度相關(guān)性較強(qiáng)，電位高的區(qū)域?qū)?yīng)的電荷密度也大;電荷分布按照離放電電極距離的遠(yuǎn)近，呈現(xiàn)“同心圓”分布;但靠近懸式絕緣子鋼帽的區(qū)域電荷難以積聚，電荷密度小.

關(guān)鍵詞：曲面電荷反演計(jì)算;絕緣子;表面電位;振蕩Kelvin探頭

中圖分類號：TM851? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Surface Charge Inversion Calculation Method for Curved Surface Structures

DU Zhiye1，YI Fan1，2，JIN Qi1，ZOU Jianming3，YAO Yong3

（1.School of Electrical Engineering and Automation，Wuhan University，Wuhan 430072，China;

2. Wuhan Metro Group Co Ltd，Wuhan 430017，China;

3. Central China Branch of State Grid Corporation，Wuhan 430075，China）

Abstract： When studying the surface charge accumulation and dissipation law of insulating materials under HVDC transmission lines，the charge density can only be calculated by surface electrostatic potential inversion of insulating materials. However it is difficult to accurately calculate the surface charge density when the insulating material surface is curved. In this paper，a charge density inversion method for curved surface was proposed. The potential measurement points were selected reasonably and intensively，and then curved surface was divided into triangular meshes according to the selected measurement points. The normal vectors at each point were obtained，and the surface charge density was then inverted. As an example，the surface potential of 3D printed curved surface and suspended insulator was measured，and the surface charge density was calculated. The calculated results are in accordance with the theoretical analysis trend. The electrostatic potential of insulating material surface has a strong correlation with the charge density，and the charge density corresponding to the high potential area is also large. The charge density presents a“concentric circle” distribution according to the distance from the discharge electrode，but the charge near the suspended insulator cap is difficult to accumulate，and the charge density is small.

Key words： surface charge inversion calculation;insulator;surface potential;oscillating Kelvin probe

高壓直流輸電線路運(yùn)行時(shí)，電暈產(chǎn)生的空間電荷在電場力的作用下會(huì)作定向運(yùn)動(dòng)，影響線路下方的電場分布[1-2].電暈電荷積聚到電氣設(shè)備絕緣表面，如絕緣子、直流分壓器等設(shè)備的絕緣傘裙表面，使得絕緣表面的電位分布和沿面電場發(fā)生畸變，引發(fā)閃絡(luò)等嚴(yán)重后果[3].隨著電壓等級的提升，特別是特高壓直流輸電工程，電暈電荷對電氣設(shè)備外絕緣性能的影響不容忽視.近年來，國內(nèi)清華大學(xué)、重慶大學(xué)、西安交通大學(xué)等在絕緣材料電荷積聚問題方面進(jìn)行了大量試驗(yàn)研究[4-9]，但要研究絕緣材料表面電荷積聚與消散規(guī)律，就必須準(zhǔn)確定量計(jì)算出絕緣材料表面電荷密度分布.

目前，常見的絕緣材料表面電荷密度測量方法主要有3種，分別為：粉塵圖法[10]、電容探頭法[11]以及基于普爾克斯（Pockels）效應(yīng)的光學(xué)測量方法[12].其中，粉塵圖法只能對表面電荷進(jìn)行定性的測量分析，無法得到其具體的數(shù)值.基于普爾克斯（Pockels）效應(yīng)的光學(xué)測量方法只能針對一些透明的絕緣薄膜材料，而電力系統(tǒng)中電氣設(shè)備絕緣表面使用的絕緣材料大多數(shù)都是不透明的.所以，目前國內(nèi)外學(xué)者在對絕緣材料表面電荷進(jìn)行試驗(yàn)測量研究時(shí)，都采用電容探頭法先對表面電位進(jìn)行測量，再利用靜電場理論，計(jì)算反演得到絕緣材料表面電荷密度.

在20世紀(jì)90年代，日本學(xué)者Ootera等人[13]在研究絕緣子表面電荷的積聚分布規(guī)律時(shí)，提出了利用表面視在電荷法將試驗(yàn)測得的絕緣子表面電位轉(zhuǎn)換為表面電荷，也即進(jìn)行電荷反演計(jì)算.隨后，清華大學(xué)對電荷反演方法進(jìn)行了簡化[14]，但是面對復(fù)雜的曲面結(jié)構(gòu)，在不知道曲面具體尺寸時(shí)，依舊不能精確計(jì)算出其表面電荷密度.

本文基于振蕩Kelvin探頭測量的電位結(jié)果[15]，提出一種能計(jì)算任意曲面尺寸的電荷反演方法，通過合理的網(wǎng)格劃分，計(jì)算出復(fù)雜曲面的電荷密度.

1? ?電荷反演方法簡介

通過振蕩Kelvin探頭測量得到了絕緣表面的電位分布，為了進(jìn)一步得到絕緣表面的電荷分布，采用表面電荷反演計(jì)算方法，將試驗(yàn)得到的電位值轉(zhuǎn)換為電荷密度值.

視在電荷法認(rèn)為：在電暈放電之后，絕緣子表面存在著極化電荷和自由電荷，根據(jù)疊加定理，空間中任意一點(diǎn)P的電位φ（P）和電場強(qiáng)度E（P）都由這兩種電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的電位和電場強(qiáng)度疊加形成.因此，引入絕緣表面視在電荷密度的概念：

σa = σ + σ′ ? （1）

式中：σ為自由電荷密度;σ′為極化電荷密度.則點(diǎn)P的電位和電場強(qiáng)度的積分表達(dá)式分別為[16]：

式（2）～式（3）中：ε0為真空中的介電常數(shù);r為點(diǎn)P到空間中任意一點(diǎn)的距離;S為空間中的所有表面.

根據(jù)有限元的思想，將絕緣表面劃分成n個(gè)網(wǎng)格，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)n足夠大的時(shí)候，可以認(rèn)為每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的電荷均勻分布，此時(shí)對于每個(gè)單元網(wǎng)格，其電位和電場強(qiáng)度的表達(dá)式可以進(jìn)一步改寫成如下

形式：

由式（4）便可以得到絕緣表面視在電荷密度與絕緣表面電位之間的矩陣方程如下：

定義電位系數(shù)矩陣P如下：

則可以求得絕緣表面各個(gè)單元的表面視在電荷密度為：

對于任意一個(gè)單元格，其自由電荷密度的計(jì)算表達(dá)式為：

式中：ε1和ε2分別指絕緣材料和空氣的介電常數(shù);Ei1和Ei2分別為交界面處絕緣表面和空氣表面的場強(qiáng);ni為第i個(gè)單元格由分界面指向空氣側(cè)的單位法向量.

可以認(rèn)為Ei2和Ei1大小相等，而Ei2的數(shù)值可由式（5）計(jì)算得到，將其代入式（9）則可以得到關(guān)于自由電荷密度σ和視在電荷密度σa的矩陣表達(dá)式：

定義矩陣F如下：

矩陣F中的每個(gè)元素的計(jì)算表達(dá)式如（12）所示.

在式（7）中，電位系數(shù)矩陣P的每個(gè)元素可由式（2）計(jì)算得到，但涉及到積分過程，計(jì)算過程較為復(fù)雜，因此本文對其進(jìn)行如下處理.

當(dāng)i≠j時(shí)，Pij的積分表達(dá)式如下：

式中：rij為第i個(gè)點(diǎn)到第j個(gè)單元的距離.當(dāng)網(wǎng)格的劃分足夠密的時(shí)候，兩個(gè)單元格之間任意兩點(diǎn)的距離相差很小，因此可以使用2個(gè)單元格中心之間的距離來代替在積分過程中變化很微弱的rij.此時(shí)式（13）可以簡化為式（14）.

式中：Si為第i個(gè)網(wǎng)格單元的面積.當(dāng)i=j時(shí)，會(huì)使得rij→0，此時(shí)式（14）不再成立，無法使用其計(jì)算Pij.將第i個(gè)網(wǎng)格單元的Si等效為半徑Ri的圓盤，并帶有均勻的視在電荷面密度σ（a），其中Ri可由下式計(jì)算得到：

由于圓盤和原網(wǎng)格的面積相等，因此沿圓盤的軸線z方向上任意一點(diǎn)的電位可以表達(dá)為：

式中：z0為沿軸線方向上任意一點(diǎn)與圓盤的垂直距離.為了計(jì)算緊挨網(wǎng)格表面的電位，令z0→0，計(jì)算式（16）的極限可得

因此，當(dāng)i=j時(shí)，Pij的計(jì)算表達(dá)式為

由式（14）和式（18）可以得到，絕緣表面視在電荷與表面電位之間的電位系數(shù)矩陣P的任意一個(gè)元素計(jì)算表達(dá)式如下

2? ?曲面結(jié)構(gòu)電荷反演計(jì)算

2.1? ?曲面電荷反演和平面的區(qū)別

根據(jù)上一節(jié)介紹的反演計(jì)算原理可知，平面與曲面材料進(jìn)行反演計(jì)算時(shí)，主要存在兩點(diǎn)區(qū)別：

1）平面材料在進(jìn)行表面網(wǎng)格劃分時(shí)，所有單元位于同一平面上，因此可以簡化為二維模型，只需用x和y兩個(gè)坐標(biāo)即可表示每個(gè)單元的位置;而曲面材料進(jìn)行單元?jiǎng)澐趾髣t需要用x、y、z這3個(gè)坐標(biāo)才能表示出每個(gè)單元的位置.

2）在計(jì)算時(shí)，式（12）表達(dá)形式不一樣.具體而言，當(dāng)i≠j時(shí)，對于平面材料Fij=0;而對于曲面材料，則需要計(jì)算出對于整個(gè)曲面各個(gè)單元中心點(diǎn)處單位法向量nk，然后算出兩個(gè)向量rik和nk之間的夾角;將rik和nk之間的夾角記為θ，在實(shí)際的電荷密度計(jì)算過程中，F(xiàn)ij表達(dá)式可以簡化成如下形式：

2.2? ?曲面表面電荷密度反演方法

由2.1節(jié)可知，曲面和平面在進(jìn)行電荷反演計(jì)算時(shí)，主要區(qū)別就在于表面法向量的計(jì)算.平面向量的乘積為0;曲面由于面上各點(diǎn)處的法向量互不相同，向量乘積不為0，需要求解出面上各點(diǎn)處的法向量.

對于已知其曲面方程的曲面結(jié)構(gòu)，在求解各點(diǎn)的法向量時(shí)，可以直接通過曲面方程求導(dǎo)獲得，但在實(shí)際的工程中，測量絕緣子等未知其表面曲面方程的試品時(shí)，曲面方程求導(dǎo)的方法無法適用.因此，應(yīng)當(dāng)選取一種適用于所有曲面結(jié)構(gòu)的通用求解方法.

根據(jù)空間幾何，3點(diǎn)確定一個(gè)平面，如圖1所示，△ABC是曲面試品表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分之后的一個(gè)網(wǎng)格，由于網(wǎng)格劃分很小，認(rèn)為每個(gè)網(wǎng)格所在區(qū)域內(nèi)為平面，點(diǎn)A、B、C為該網(wǎng)格的3個(gè)頂點(diǎn)，O為該網(wǎng)格的中心點(diǎn)，n為該網(wǎng)格所在平面的法向量（當(dāng)網(wǎng)格劃分為四邊形或者多邊形時(shí)，只需選取3個(gè)頂點(diǎn)用于計(jì)算即可）.A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可由具體的網(wǎng)格劃分獲得，當(dāng)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（x1，y1，z1），

根據(jù)相關(guān)空間幾何可知：

因此，反演計(jì)算方法式（23）中的第一項(xiàng)可以用已知坐標(biāo)數(shù)據(jù)寫成如下形式：

式中：Si為該網(wǎng)格的面積;r1、r2和r3分別為向量rij的3個(gè)坐標(biāo);rij為向量rij的模長.對于確定的網(wǎng)格劃分，每個(gè)網(wǎng)格面積Si都已確定且已知，向量rij的坐標(biāo)也可以通過每個(gè)網(wǎng)格的中心坐標(biāo)求得.因此，式（24）中的量都已知，可以直接求出Fij的值.

3? ?算? ?例

3.1? ?表面電位測量平臺

搭建試驗(yàn)測量平臺來測量絕緣材料表面靜電電位，如圖2所示.該系統(tǒng)由高壓部分和低壓部分組成，高壓部分包括負(fù)極性直流電壓發(fā)生器、調(diào)壓器、電極支架、球電極和板電極構(gòu)成，低壓部分由有源靜電探頭、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)、靜電電位計(jì)、數(shù)據(jù)采集卡及計(jì)算機(jī)等構(gòu)成[17].

ig.2? ?Schematic diagram of measurement test platform

試驗(yàn)測量平臺中，試品放置在金屬圓盤上，金屬圓盤可以自由旋轉(zhuǎn).球電極放置在試品的幾何中心位置，通過給球電極加壓讓其產(chǎn)生電暈，使球電極下的試品表面積聚電荷.運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)由步進(jìn)電機(jī)、步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器以及多軸運(yùn)動(dòng)控制器組成，可編程精確控制有源靜電探頭的位置，實(shí)現(xiàn)對整個(gè)試品全表面電位的測量.通過多軸運(yùn)動(dòng)控制器上顯示的相對坐標(biāo)可以知道每一個(gè)電位測量點(diǎn)相對于探頭起點(diǎn)的位置，通過換算可以得出每個(gè)電位測量點(diǎn)相對于金屬圓盤中點(diǎn)的坐標(biāo).電位測量點(diǎn)合理、密集的分布，就可以覆蓋整個(gè)絕緣材料表面，知道每個(gè)測量點(diǎn)的電位值和對應(yīng)的坐標(biāo)，再按測量點(diǎn)將曲面劃分為三角形的網(wǎng)格，求出各點(diǎn)處的法向量，進(jìn)而反演出表面電荷密度.有源靜電探頭與靜電電位計(jì)相連，通過數(shù)據(jù)采集卡將采集到的電位信號輸入至計(jì)算機(jī)，由LabVIEW平臺自動(dòng)保存測量結(jié)果.

試驗(yàn)過程中，使用步進(jìn)電機(jī)控制靜電探頭的仰角，使探頭始終與被測曲面保持垂直，探頭距離絕緣材料表面距離為0.5～1 cm.由于試驗(yàn)中使用的是有源靜電探頭，探頭通過內(nèi)置電壓源反饋得到絕緣材料表面電位值，在測量范圍內(nèi)，測量結(jié)果不受探頭到絕緣材料距離影響.在試驗(yàn)平臺中，球電極的半徑為1 cm，試驗(yàn)中的金屬圓盤和試驗(yàn)的金屬桌可靠接地，模擬實(shí)際工況.

3.2? ?3D打印的曲面圓盤表面電荷反演計(jì)算

采用3D打印技術(shù)，制作了表面帶有一定曲率的傘形絕緣圓盤，其直徑均為20 cm，最大厚度為2 cm，圓盤截面取的是一個(gè)圓弧，截面示意圖如圖3所示.將截面繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，即可形成一個(gè)上表面為曲面的圓盤，曲面圓盤的實(shí)物圖如圖4所示.

采用3D打印技術(shù)，能精確地控制曲面圓盤表面的形狀，這為電荷反演計(jì)算時(shí)的網(wǎng)格剖分、坐標(biāo)計(jì)算等提供了精確的坐標(biāo)數(shù)據(jù).

試驗(yàn)中，球電極放置在曲面圓盤的幾何中心位置，球電極加壓60 kV產(chǎn)生電暈，球電極放電結(jié)束后測量曲面圓盤表面靜電電位.選擇靜電探頭測量點(diǎn)，探頭的測量軌跡從遠(yuǎn)離圓盤的位置移動(dòng)到圓盤中心，測量完第一圈電位后向圓盤邊緣移動(dòng)1 cm，再次測第二圈圓周上的表面電位，如此循環(huán)直至移動(dòng)到圓盤邊緣.從中心到邊緣一共有10個(gè)圓周，每個(gè)圓周上測點(diǎn)數(shù)分別為4個(gè)、10個(gè)、16個(gè)、16個(gè)、16個(gè)、20個(gè)、20個(gè)、20個(gè)、24個(gè)、24個(gè)，共計(jì)170個(gè)測點(diǎn)，掃描整個(gè)圓盤共需要7 min.靜電探頭的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5（a）所示，有限元網(wǎng)格劃分如圖5（b）所示.

以曲面圓盤的中心為原點(diǎn)，建立三維直角坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系可計(jì)算出每一個(gè)測量點(diǎn)的X、Y、Z坐標(biāo)，測得的圓盤表面靜電電位如圖6所示.根據(jù)上文的曲面電荷密度反演方法，計(jì)算得到曲面圓盤表面的電荷密度如圖7所示.

觀察圓盤表面電位分布以及電荷密度的分布，可以發(fā)現(xiàn)：靜電電位與電荷密度相關(guān)性較強(qiáng)，靜電電位高的區(qū)域電荷密度會(huì)比靜電電位低的區(qū)域大;絕緣曲面圓盤表面電荷分布趨勢為中心電荷密度大，邊緣電荷密度小，且沿著徑向由中心向邊緣遞減.由于試驗(yàn)中電極和曲面圓盤呈現(xiàn)軸對稱分布，電荷密度的分布也近似呈現(xiàn)出軸對稱的特征，電荷密度大小按照離球電極的距離近似呈現(xiàn)“同心圓”的分布.

3.3? ?懸式絕緣子表面電荷密度反演計(jì)算

以工程中常見的懸式絕緣子為例，反演計(jì)算絕緣子表面電荷密度[18].選擇涂PRTV涂料的XHP-

210陶瓷懸式絕緣子，絕緣子公稱直徑為170 mm，結(jié)構(gòu)高度為300 mm，其外表面形狀無法用曲線來擬合，絕緣子表面電位測量平臺如圖8所示.在試驗(yàn)平臺中，球電極加壓50 kV，放電持續(xù)3 min，球電極距離絕緣子鋼帽距離為5 cm.球電極放電結(jié)束后，測量絕緣子表面靜電電位，用上述方法來反演計(jì)算絕緣子表面電荷密度.

從外向里測量絕緣子表面電位，每一圈測量點(diǎn)之間的間距是相等的，一共測量7圈，每一圈都選擇24個(gè)點(diǎn)，每一圈的位置示意圖如圖9（a）所示，探頭的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9（b）所示.

通過多軸運(yùn)動(dòng)控制器得到每一個(gè)電位測量點(diǎn)的坐標(biāo)，測量得到絕緣子表面電位如圖10所示.試驗(yàn)過程中測量到絕緣子鋼帽上靜電電位為0，在反演時(shí)可以認(rèn)為鋼帽部分沒有積聚電荷，直接鏤空絕緣子鋼帽部分.根據(jù)上文的曲面電荷密度反演的方法，計(jì)算絕緣子表面電荷密度如圖11所示.

由圖10和圖11可知，絕緣子中心鋼帽的存在很大程度地影響了絕緣子表面電荷的積聚.由于鋼帽的存在，靠近絕緣子鋼帽的區(qū)域電荷難以積累，對應(yīng)區(qū)域電荷密度低.絕緣子表面電荷分布并不是越靠近球電極電荷密度越高，反而是絕緣子中間部分電荷密度最大，噴涂PRTV涂料的絕緣子表面電荷積聚時(shí)，電荷密度的峰值約為-1.2 μC/m2.

4? ?結(jié)? ?論

本文提出一種計(jì)算曲面電荷密度反演算法，通過多軸運(yùn)動(dòng)控制器顯示的相對坐標(biāo)，合理、密集地選擇電位分布點(diǎn)，能計(jì)算出曲面表面的電荷密度.

1）提出將曲面劃分為三角形網(wǎng)格的方法，利用向量乘積的形式求出面上各點(diǎn)處的法向量，求出F矩陣，進(jìn)而反演得到曲面電荷密度.

2）通過多軸運(yùn)動(dòng)控制器上顯示的相對坐標(biāo)，結(jié)合合理、密集的選擇電位測量點(diǎn)，可以知道覆蓋整個(gè)絕緣材料表面的電位測量點(diǎn)的電位值和對應(yīng)的坐標(biāo)值，能反演出曲面材料表面電荷密度，從而能定量研究各種形狀絕緣材料表面電荷積聚與消散規(guī)律，指導(dǎo)高壓直流條件下絕緣設(shè)計(jì).

3）以3D打印的曲面圓盤和懸式絕緣子為算例，能通過其表面測量的電位值，反演計(jì)算出表面電荷密度，其中噴涂了PRTV涂料絕緣子表面電荷密度的峰值約為-1.2 μC/m2.

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