基于PCA的SVM模型的海南省主要城市商品住宅價(jià)格預(yù)測(cè)

彭博韜　彭禮燁 賈奕輝

摘要：近期，國(guó)家出臺(tái)針對(duì)海南的經(jīng)濟(jì)利好政策，建立了海南自貿(mào)區(qū)與自貿(mào)港，海南省主要城市的經(jīng)濟(jì)也隨之提升，房?jī)r(jià)也迅速提高。海南省政府隨即出臺(tái)了相應(yīng)房?jī)r(jià)調(diào)控政策。房?jī)r(jià)是民生的重要指標(biāo)，本文通過(guò)搜集過(guò)往數(shù)據(jù)并仔細(xì)研究相關(guān)背景，建立基于主成分分析的支持向量機(jī)模型，對(duì)海南房?jī)r(jià)問(wèn)題進(jìn)行分析，及未來(lái)短期價(jià)格的預(yù)測(cè)。

關(guān)鍵詞：主成分分析，支持向量機(jī)，商品住宅價(jià)格預(yù)測(cè)

隨著國(guó)家對(duì)海南省出臺(tái)的一系列相關(guān)促進(jìn)其經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重大利好政策，海南省的經(jīng)濟(jì)不斷提升，海南省的旅游業(yè)迅速發(fā)展，海南省的房?jī)r(jià)也不斷攀升。

1影響海南省房?jī)r(jià)的指標(biāo)分析

本文選取了影響海南省（主要為海口、三亞市）房地產(chǎn)價(jià)格的11個(gè)指標(biāo)，如表1.所示，結(jié)合在海南省相關(guān)網(wǎng)站以及年鑒上搜集到這11個(gè)指標(biāo)的歷史數(shù)據(jù)，對(duì)這11個(gè)指標(biāo)兩兩進(jìn)行相關(guān)性分析。由于這11個(gè)指標(biāo)的歷史數(shù)據(jù)分布不明，故本文采用Spearman相關(guān)分析方法來(lái)得出指標(biāo)之間的相關(guān)程度。SPSS提供了Spearman分析功能，通過(guò)其輸出的相關(guān)性表并結(jié)合相關(guān)程度對(duì)應(yīng)表即得出指標(biāo)之間的相關(guān)程度。

1.1 相關(guān)性分析

Spearman相關(guān)檢驗(yàn)法是從量變量x與y是否具有同步性（例如同時(shí)增加）來(lái)檢驗(yàn)量變量之間是否存在相關(guān)性[1]。對(duì)于n對(duì)觀察數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，...，n），按照每個(gè)變量的n個(gè)數(shù)據(jù)的大小次序，分別由小到大編上等級(jí)（秩次），對(duì)重復(fù)數(shù)據(jù)取平均等級(jí)，再檢驗(yàn)兩個(gè)變量的等級(jí)或秩之間是否相關(guān)[1]。

設(shè)Ri和Qi分別表示xi和yi的秩次，則Spearman秩相關(guān)系數(shù)定義為：

當(dāng)相同秩次較多時(shí)，計(jì)算校正的秩相關(guān)系數(shù)應(yīng)該采用下式：

式中， mx和my的計(jì)算公式，均為 ? ? ? ? ? ? ? 。在計(jì)算mx時(shí)， mi為變量x的相同秩次數(shù);在計(jì)算my時(shí)，mi為變量y的相同秩次數(shù)。

SPSS輸出的相關(guān)性表中，Sig. （雙尾）值小于0.01說(shuō)明兩個(gè)指標(biāo)之間時(shí)相關(guān)的，結(jié)合參照相關(guān)程度對(duì)應(yīng)表可得11項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度結(jié)果如表2. 所示.

結(jié)果顯示，進(jìn)一步得出房?jī)r(jià)與所選指標(biāo)之間都有較強(qiáng)的相關(guān)性。

1.2 主成分分析法降維

為了防止指標(biāo)維度過(guò)高致使在高維空間出現(xiàn)維度災(zāi)難的情況，我們采用PCA（Principal Components analysis，主成分分析法）對(duì)指標(biāo)進(jìn)行合理降維，使較少指標(biāo)能表現(xiàn)出豐富的數(shù)據(jù)信息，并且能夠較好地處理數(shù)據(jù)之間的冗雜信息。

基于眾多影響海南省商品住宅價(jià)格的變量及其取值，從中提取出比較全面地反映海南省房?jī)r(jià)水平的若干個(gè)公共因素Cj和系數(shù)nij，其中Cj表示基于若干影響海南省商品住宅價(jià)格指標(biāo)變量抽象化的公共因子，而nij反映了公共因子對(duì)影響海南省房?jī)r(jià)水平的指標(biāo)變量的影響能力。

對(duì)于一個(gè)包含n個(gè)變量的影響海南省房?jī)r(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)集，現(xiàn)在需要抽象化出能夠充分反映這n個(gè)變量?jī)?nèi)涵的若干個(gè)公共因子，則可以進(jìn)行以下假設(shè)：

首先，假設(shè)n個(gè)指標(biāo)變量依次為X1、X2、……、Xm，其最終的公共因子為 C1、C2、……，即Cj，那么對(duì)于第i個(gè)變量Xj，可以表示全體預(yù)設(shè)公共因子Cj共同作用的結(jié)果。即可以描述為如式（1）所示的方程[1]：

其中，Xi是指影響海南省房?jī)r(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)集中的第i 個(gè)變量，Ei則是數(shù)據(jù)集中指標(biāo)的數(shù)值與計(jì)算值（即期望值）的差。Cj是未知的公共屬性，而nij是針對(duì)變量Xj在第j個(gè)公共因素Cj上的系數(shù)。這個(gè)公共因素的系數(shù)nij反映了此公共屬性對(duì)變量Xi的影響力，稱為因素載荷。

對(duì)于數(shù)據(jù)集中的每個(gè)待分析變量Xi，都能獲得一個(gè)形如式（1）的方程式。因此，對(duì)于整個(gè)影響海南省房?jī)r(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)集，就能獲得一個(gè)關(guān)于公共因子系數(shù)的矩陣。利用這個(gè)公共因子矩陣，可以分析各個(gè)公共因子對(duì)所有影響海南省房?jī)r(jià)指e標(biāo)變量的總貢獻(xiàn)，找到貢獻(xiàn)量比較大的公共因子，用它們來(lái)描述海南省房?jī)r(jià)水平的絕大多數(shù)性質(zhì)。

2 基于PCA的SVM模型的建立與求解

2.1模型的建立

支持向量機(jī)方法（Support Vector Machine）是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中的結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化和VC維理論的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法，由于SVM具有很好的處理小樣本的能力，并且能夠有效降低過(guò)擬合的程度，處理非線性問(wèn)題，其預(yù)測(cè)效果在國(guó)際上引發(fā)了極大關(guān)注[1]。

SVM回歸實(shí)際上是一種先行約束的凸二次規(guī)劃優(yōu)化的求解問(wèn)題，基于Mercer核展開定理，通過(guò)非線性映射ψ，把控件樣本數(shù)據(jù)映射到高維空間G中，在高維空間G中引入不敏感損失函數(shù)，定義最優(yōu)線性回歸超平面，把尋找最優(yōu)線性回歸超平面的算法歸結(jié)為求解一個(gè)凸約束條件下的凸二次規(guī)劃問(wèn)題，因此所得解為全局唯一最優(yōu)解[1]。

設(shè)定樣本數(shù)據(jù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，其中yi為期望值，n為樣本量。SVM用y=g（x）=（ω·φ（x）+b）來(lái)估計(jì)函數(shù)，其中φ（x）是輸入空間到高維特征空間的非線性映射， ω，b是系數(shù)。回歸支持向量機(jī)（SVR）的原始最優(yōu)化問(wèn)題是：

在支持向量的訓(xùn)練過(guò)程中，尤其是非線性可分的情況下，樣本內(nèi)積的計(jì)算是一項(xiàng)非常耗費(fèi)時(shí)力的工作。使用核函數(shù)可以將非線性可分的樣本數(shù)據(jù)在高維空間內(nèi)轉(zhuǎn)化為線性可分。本文模型使用的核函數(shù)如下：

核函數(shù)的選擇對(duì)于SVM的性能具有很大的作用，考慮到樣本數(shù)和提取出的樣本數(shù)個(gè)數(shù)，本文選取如上的高斯核函數(shù)，這是一種泛化能力強(qiáng)的，常用核函數(shù)。

2.2 模型的結(jié)果與檢驗(yàn)

核函數(shù)的選擇對(duì)于SVM的性能具有很大的作用，考慮到樣本數(shù)和提取出的樣本數(shù)個(gè)為了測(cè)試所建立數(shù)學(xué)模型的預(yù)測(cè)能力，我們需要對(duì)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)集上的預(yù)測(cè)能力檢驗(yàn)，即將數(shù)據(jù)集分為訓(xùn)練集與測(cè)試集，為了簡(jiǎn)化方法，我們采用傳統(tǒng)的留出法進(jìn)行檢驗(yàn)。

由于所搜集的數(shù)據(jù)量較小，我們隨機(jī)的將61個(gè)樣本劃分為約為9：1，即用6個(gè)樣本進(jìn)行模型的測(cè)試。

得到訓(xùn)練的預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)房?jī)r(jià)對(duì)比情況，如下所示：

其中，藍(lán)色的數(shù)據(jù)集1為真實(shí)房?jī)r(jià)，而紅色的數(shù)據(jù)集2為預(yù)測(cè)值。

3結(jié)論與分析

由模型結(jié)果及檢驗(yàn)可知，所建立的數(shù)學(xué)模型在預(yù)測(cè)結(jié)果上接近于真實(shí)值，具有較好的預(yù)測(cè)能力與穩(wěn)定性，很好地預(yù)測(cè)了房屋的價(jià)格變化。

參考文獻(xiàn)：

[1]李 航，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法，北京：清華大學(xué)出版社，2012年