案例分析在統計多元線性回歸預測模型教學中的應用研究

李非

[摘?????????? 要]? 如何在教學中用案例展開相應的統計研究以及預測，通過案例對統計結果變動進行多次試驗。預測變動的結果對多元線性回歸方程的整體會不會造成影響，或者是造成怎樣的影響？舉出實例進行分析與討論，同時將模型與其他的方法相結合，這樣檢測結果的準確性才能得到更多保障，讓學生直觀地理解多元統計分析。

[關??? 鍵?? 詞]? 多元線性回歸;預測模型;案例分析

[中圖分類號]? G712??????????? ?? ??????? [文獻標志碼]? A???????? ????????????? [文章編號]? 2096-0603（2019）08-0086-02

一、引言

（一）研究背景

在統計教學中，涉及元統計分析時，其中多元線性回歸方法是最常見常用的，也是最難理解的。在使用多元線性回歸方法時，需要建立回歸方程，將自變量和因變量之間的關系、兩者之間的聯系進行相應的分析與討論。

由于線性回歸在不少行業中都得到了廣泛應用，學生一定要理解清楚。在教學中，一般需要做的就是兩件事，一是評定自變量對因變量的影響程度，二是最優方案的偏離度。通過這一系列實驗的驗證、分析、討論，然后總結，從而進行相應的比較。

本文通過從不同角度的分析，探索了多元線性回歸統計預測模型的運用情況，這樣在教學中可以讓學生更好的理解和應用。

（二）研究創新點

本文將統計教學之中的線性回歸理論與一定的數學模型相結合，對隨機變量以及其他變量之間的關系展開相應的分析與研究，讓學生能夠更直觀地理解多元線性回歸這個問題。通過已知的數據展開一定的分析和統計，建立相應的預測以及統計模型，對未來的變化展開預測，從而讓學生能夠更加準確的理解，并且本文利用實例作為補充，進一步加深了研究的可行性，提高了研究具有的價值和意義。

二、多元線性回歸統計預測模型的建立

多元線性回歸分析一般分為兩步，第一步是建多元線性回歸方程。參考因變量與多個自變量的觀測數值，根據實驗情況，分析和討論因變量受到自變量的影響情況和因變量自身的線性影響情況，想要選擇最適合的多元線性回歸方程，必須選擇有顯著線性影響的自變量才行。

第二步是在測定因變量受不同自變量影響程度的同時，把多元線性回歸方程的最優偏離度測定出來。

（一）建立預測模型

設因變量y與自變量x1，x2，…，xm-1的現實測量數據共有n組

其中y作為一個可觀測的隨機變量，它的變化被m-1個非隨機因素x1，x2，…，xm-1和ε共同影響。假設y與x1，x2，…，xm-1有著下列的線性關系：

y=β0+β1x1+β2x2+...+βm-1xm-1+ε??（2.1）

在這個式子中，自變量是x1，x2，…，xm-1，因變量是y，未知參數是β0，β1，β2，...，βm-1一共m個;ε是誤差項，認為是均值為零，方差為σ2>0的不可觀測的隨機變量，通常假定ε～N（0，σ2）。

在進行了n（n≥p）次獨立觀測后，得到n組樣本數據，即（2.1）式用矩陣形式表示為：

Y=Xβ+εε～N（1，σ2In）????（2.2）

（二）模型的參數估計

在確定了回歸的理論模型后，下一步就是通過收集、整理樣本數據對模型的未知參數進行參數估計。我們常用的經典估計方法就是普通最小二乘法。

根據最小二乘法β0，β1，β2，...，βm-1，設一個Q值，這個值是未知參數向量的非負二次函數。Q值越小越好，它表示的是在多次觀察中總的誤差程度。即：

有最小值。由于Q是β0，β1，β2，...，βm-1的非負二次式，最小值一定存在。

矩陣A滿秩，然后求解這個矩陣方程，得：

（三）檢驗回歸模型

回歸模型初步建立起來后，接下來就是要檢驗多元線性回歸關系的顯著性，就是將多個自變量與因變量的線性關系進行檢驗。

1.對回歸方程進行擬合優度檢驗

擬合優度即SST=SSR+SSE，就是對樣本值進行觀測，測得擬合度。

其中要測定判定系數R2，這個值反應的是因變量y的總變差與自變量所解釋的那部分變差之間的比重，建立成數學模型即為：

擬合效果通過R2的值來反應，R2介于0與1之間，接近于1，表明實際觀測值和回歸方程之間的擬合度越好，接近于0，擬合度越差。

2.檢驗回歸模型的顯著性

由于在多元線性回歸中，回歸系數顯著性檢驗的t檢驗和回歸方程顯著性檢驗的F檢驗不等價了，于是，F檢驗顯著只能說明線性回歸效果對自變量x整體是顯著的，但不能說明這個結果對每一個自變量x的效果都顯著。反之也不成立。所以要分別對回歸系數和回歸方程進行檢驗。

3.檢驗回歸系數的顯著性

在多元線性回歸中，每個自變量對因變量的影響的顯著性，通過回歸方程檢驗是不行的，因此針對每個回歸系數，都要進行顯著性檢驗。于是假設，H0 ∶ βj=0？圮H1 ∶ βj≠0檢驗統計量t為

如果回歸效果沒有預期的理想，可以采用后退的依次剔除法，根據 tj的大小，依次剔除 tj相對的不顯著自變量，最后將剩余的顯著因素進行一次回歸。

（四）殘差分析

回顧之前的多元線性回歸方程，我們是假設模型建立起來的，所以還需要對這個模型進行殘差分析，剔除模型假設由于缺乏真實性的影響。我們一般采用DW檢驗。這個基本思路是：由于殘差是按照時間順序收集的，根據（2.7）公式，如果是正相關，那么殘差的相鄰值之間就會比較接近，分子項相對較小，于是DW值也會比較小;如果是負相關，就正好相反。

三、多元線性回歸統計預測模型的應用

（一）計算預測的模型

由于一般統計模型所使用的參數變量都比較多，計算量也很大，所以一般采用計算機軟件來操作，如SPSS、SAS、TSP等。預測模型時，一般采用如下步驟。

首先，輸入具體數據。以SPSS為例，在數據編輯窗口中輸入搜集到的數據。

然后，確定分析方法。

最后，進行回歸分析。軟件會直接計算出回歸預測的結果。

（二）案例

本文就是在教學中舉出相應的案例，讓學生能夠通過一些實驗驗證與分析，判斷自變量在線性影響程度上對因變量的作用，將影響顯著的自變量選出并進行一定的分析與討論，自主找到多元回歸的最優方案。

另外，在此基礎之上，確定模型統計是否準確，有效評定影響因子及最優方案偏離度，并將結果運用到多元線性回歸方程中，也是本文的目的所在。

案例：我國民航客運量（萬人）基本會受到以下幾個因素的影響，x1民航航線里程（萬公里）、x2來華旅游入境人數（萬人）、x3消費額（億元）、x4國民收入（億元）、x5鐵路客運量（萬人）。（民航客運量1998至2013年統計數據來自《中國統計數據庫》）

通過對模型進行一定的運用，然后對回歸方程的擬合情況得出了相應的結果。通過軟件計算，得到結果如下：模型的標準估計的誤差為49.480，負相關系數為0.999，判定系數0.997，由此可知，模型擬合效果較好;而DW值為1.994，接近于2，可認定為模型不存在自相關。接下來進行方差分析，平方和=1.38287，殘差的平方和=24482.857，總計平方和=1.38487，回歸方程的F值=1128.862。所以，自變量對因變量的影響是顯著的。

最后進行殘差統計，預測值的標準誤差19.563～38.794之間，殘差-50.234～79.844之間。

根據數據統計可以看出，殘差在基本假設范圍內，所以說模型的設定是可行的。

通過上述計算得出的回歸模型、影響因素、固定因素以及其他的一些因素，都說明了自變量對因變量有很大的影響，并且它們之間還是線性關系。通過數據可以看到一些結論：民航客運量的增加或者減少和民航里程增加、來華游客增加、鐵路客運量減少都有著正相關。足以說明模型的擬合情況還是不錯的，它的預測結果也不是盲目定論的，也是合乎情理的、可靠的，值得相信的。

在現實生活中，有很多這樣的事例，都可以說明因變量與自變量之間的關系，且因變量會受其他因素的影響，并且會隨之而改變，并且影響因素不止兩個，當影響因素達到了一定的數量，才能更好地解釋因變量的變化原因。學生通過理解這個案例，可以舉一反三，達到教學目的。

四、結論

第一，本文深入分析和詳細介紹了如何建立和運用多元線性回歸模型的步驟，并且進行了實例分析，從實例分析的結果可以看到，多元線性回歸模型的擬合效果明顯，預測結果真實有效，學生容易理解，也容易掌握，可以自主分析。

第二，本文研究的多元線性回歸模型，是在多個變量中選擇有顯著影響的變量，選用的模型對變量的控制在預測范圍內。

第三，由于多元線性回歸的統計預測模型，在其他學科上也有著廣泛的應用，藉此說明本模型在后期相關學科的教學研究上也存在可行性。

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