矩陣方程解的判定的應用

陳彥恒 賈松芳

類似于線性方程組解的判定定理在線性方程組中的地位，矩陣方程的判定定理在矩陣方程的一般理論也有重要的地位，然而在我們熟知的一些線性代數教材中幾乎不涉及矩陣方程的判定定理的應用。本文給出了矩陣方程的判定定理在矩陣方程解的判定方面以及在兩個同維向量組間線性表示關系方面的一些應用。

1 矩陣方程的判定定理

為了方便，我先給出矩陣方程的定義， 形如

（1.1）

其中 ，

的方程稱為一個矩陣方程。 當 時， 稱（1.1）為齊次矩陣方程，反之，稱（1.1）為非齊次矩陣方程。

若令

其中

則矩陣方程 可化為 這就揭示了矩陣方程與線性方程組存在緊密聯系。

類似線性方程組解的判定定理，下面不加證明的給出矩陣方程解的判定定理：

矩陣方程解的判定定理 矩陣方程（1.1）有解的充要條件是（1.1）中的矩陣 滿足 。

下面通過例子說明矩陣方程解的判定定理在方程解的判定和在兩個同維向量組間線性表示關系兩個方面的一些應用。

2 在矩陣方程解的判定方面的應用

例1 判斷矩陣方程 ，其中 ， ，是否有解。

解 由于

所以 ，從而由矩陣方程解的判定定理知，該矩陣方程無解。

例2 判斷矩陣方程 解的情況，其中 ， 。

解 由于

所以 ，從而由矩陣方程解的判定定理知，該矩陣方程有解。

3 在兩個同維向量組間線性表示關系方面的應用

例3若矩陣 滿足 ，則 。

證明 因為 ，所以矩陣 是矩陣方程 的一個解。于是由矩陣方程解的判定定理知， ，而 ，從而 。另一方面，因為 ，所以有上述結論知， ， 從而 。 綜合以上結論，有是 。

例4 設兩個同維向量組 及 。則向量組 被向量組 線性表示的充要條件是 ，其中 ， 。

證明 先證必要性。由于向量組 能由向量組 線性表示，所以對每一個向量 都存在常數 ，使得

從而

記，于是，從而矩陣方程有解。由矩陣方程解的判定定理知，。

充分性證明。由條件出發，按必要性證明的逆過程一直可得到向量組能由向量組線性表示的結論。

注：利用例4的結論，我們還可以得到兩個同維向量組等價的充分必要條件：設兩個同維向量組及。 則向量組和向量組等價的充要條件是，其，。

本文僅對矩陣方程解的判定定理的應用進行了簡單的探討，希望能對學生的線性代數課程的學習起到幫助，同時也希望起到拋磚引玉的作用，促使進一步學習和豐富矩陣方程的一般理論。

（作者單位：重慶三峽學院數學與統計學院）