高中數學思維嚴密性例析

陳瑜

摘 要：嚴密性是高中數學的一個重要特點，也是學生良好思維品質的一個重要方面.通過對有關絕對值三角不等式應用的例題分析，闡述審題、方案思考以及解題計算中思維嚴密性的重要性.

關鍵詞：思維；嚴密性；絕對值；三角不等式

前言

高中數學具有抽象性、嚴密性和應用的廣泛性等特點，而其中的嚴密性是良好思維品質的一個重要方面，表現為思維過程服從于嚴格的邏輯規則，審題時嚴格、準確，思考解題方案時考慮周全，計算準確無誤[ 1 ].

絕對值三角不等式是人教版選修4-5中的重要內容之一，也是高考選考部分的內容.它是求解含有多個絕對值符號的函數最值問題的重要解題工具[ 2 ].如果a，b都是實數，則a+b≤a+b，當且僅當ab≥0時，等號成立；把定理中的實數換成向量a，b，結論依舊成立，它的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊.學生對于其應用，特別對等號的成立條件方面思維不嚴密，極易發生錯誤.因此絕對值的三角不等式的應用，特別在求存在性和最值問題，以及證明一些不等式時，更應該重視思維嚴密性.

1 審題嚴密性

在解決問題過程中第一步是審題，審題是否認真，是否嚴密，能否提取出有用且重要的信息對解題有著至關重要的作用，請看例題1.

【例題1】解不等式2x+1-x-2

這是一道含絕對值的不等式的求解問題。先回顧絕對值三角不等式等號成立的條件（見表1）.

表1 絕對值三角不等式成立條件

根據絕對值三角形不等式成立條件，原不等式可等價于2x+1

這道題目的計算、證明過程并不復雜，拿下這道題目，關鍵在于做到審題嚴密.通過審題，依據絕對值三角形不等式，可觀察出2x+1=（x-2）+（x+3），更重要的，需要審查出其與絕對值的三角不等式的不同處——沒有等號，這樣就可以想到用兩式異號來解決，否則用零點分區間來討論就相對復雜了.由此可以看出有時進行嚴密的審題就容易找到解題的突破口.

2 思路嚴密性

解題過程中思路的嚴密性很重要，如果解含絕對值的不等式時從去絕對值的方面來考慮，就要注意零點分區間的嚴密性，做到區間的不重不漏，如果選擇的是含絕對值的三角不等式來解題時要注意等號是否成立.就比如這道2017年全國課標三卷的第23題.

【例題2】已知函數f（x）=x+1-x-2.若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

初步思路：不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，等價于m≤f（x）-x2+x有解，m≤x+1-x-2-x2+x，令g（x）=x+1-x-2-x2+x.

錯誤思路一：

g（x）=x+1-x-2-x2+x≤x+1-（x-2）-x2+x=-x2+x+3=-（x-）2+.

因此當x=時，g（x）max=。此時忘記絕對值三角不等式取等號的條件需要（x+1）（x-2）≥0，且x+1>x-2即x≥2，而x=時明顯不在這個范圍內，因此取不到這個最大值，解法錯誤.

錯誤思路二：

g（x）=x+1-x-2-x2+x≤x+1+2-x-x2+x=-x2+x+3=-（x-）2+.

因此當x=時，g（x）max=。此時，應用了兩次絕對值的三角不等式，其等號成立要求滿足x≥2，而x=明顯不在這個范圍內，因此也取不到這個最大值.

正確思路一：

由f（x）≥x2-x+m得m≤x+1-x-2-x2+x，而x+1-x-2-x2+x≤x+1+x-2-x2+x=-（x-）2+≤

且當0≤x≤2，取x=時，x+1-x-2-x2+x=，故m的取值范圍為（-∞，）.

正確思路二：

不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，等價于m≤f（x）-x2+x有解，即：m≤（f（x）-x2+x）max，令g（x）=f（x）-x2+x

=-x2+x-3，x<-1-x2+3x-1，-1≤x≤-x2+x+3，x>22

當-1≤x≤2時， g（x）=-（x- ）2+，g（x）max =

當x>2時， g（x）=-（x- ）2+，g（x）<1

綜上所述，g（x）的最大值為，故m的取值范圍為（-∞，）.

3 計算嚴密性

高中數學計算能力也是一個很重要的考查點，特別對于復雜的計算就要看嚴密性把握是否到位，嚴密性好的得分率自然就高。許多同學在一些計算過程中失分，如下例題3.

【例題3】已知函數f（x）=2x-a+x+1若f（x）的最小值為1，求a的值.

從求解方式來看，本題可用零點分區間討論求最值，也可以用絕對值的三角不等式來解決.這里應用絕對值的三角不等式來求解.求解過程如下：

f（x）=2x-a+x+1=x-+x-+x+1≥0+1+，∵1+=1，∴ a=-4或0，當且僅當（x+1）（x-）≤0，同時x-=0時，f（x）取最小值.

此題常見計算失誤有兩種情況，其一，漏解，此題a有兩解，很多同學只求得其中一解；其二，此題取最值時等號是否成立沒有驗證.

結論

近幾年高考的選做題中的不等式也是很多學生選擇的對象，因此在求解含有多個絕對值符號的函數最值問題的時候要多關注等號成立的條件，多加考慮，注意嚴密性.切不可一刀切，否則看似已經求出答案，實則大相徑庭，無法得分.數學的嚴密性訓練從細節的方面來說對于學生參加高考時的得分率有著至關重要的影響，從整體的方面來說是以后做人做事嚴謹態度的一個培養，所以在平時的教學中應該重視，有意識地強化嚴密性思維的培養.

參考文獻：

[1]于永剛.挖掘數學習題潛力，培養數學思維嚴密性[J].吉林教育，2012（32）.

[2]人民教育出版社課程教材研究所，中學教學課程教材研究所開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修4-5 A版 不等式選講[M].人民教育出版社，2007.