平面直角坐標系內三角形面積的再探究

摘?要：數學是一門科學，是一門藝術，更是一種文化。研究表明，每個學生都有分析問題、解決問題的潛能，都有一種與生俱來地把自己當成探索者、研究者、發現者的本能，這就促使我們在教學中必須把學生的發展放在首位，促進學生的全面發展。

而“五步教學”正是將學生的自主學習、合作探究放在第一位，改變以往教學中教師講、學生聽的填鴨式的教學模式。充分調動學生參與學習的積極性，把學生置于一種動態、開放、生動、多元的學習環境中，把培養學生發現問題、研究問題、解決問題的能力放在十分突出的位置，使他們在自主學習和合作探究的過程中獲得新的學習體驗，從而促進學生學習方式發生根本性變革，并為學生后續的學習發展打下堅實的基礎。

關鍵詞：教學教案;五步教學;方法

近日，在寶山區某校的八年級開展了一節名為《平面直角坐標系內三角形面積的再探究》專題課。下面就本課結合上述講到的“五步”以及“一單（工作單）”談談自己的設計安排和心得體會。

在七年級下半學期時，我們已經學習了平面直角坐標系，并且能夠將求解三角形面積的問題，放置在平面直角坐標體系中來進行求解。彼時，我們將求解面積問題大致分為兩類，其一：三角形中有一邊平行于坐標軸，我們可將平行于坐標軸的那一條邊為底邊，構造底邊上的高進行直接求解;其二：三角形中無任一一邊平行于坐標軸，我們圍繞三角形的三個頂點，將其補全成為一個規整的矩形，從而用割補法解決。但割補法的步驟一般較為煩瑣。

而在八年級第一學期，我們又學習了正反比例函數，雖然學生對于清晰函數解析式，構畫函數圖像，理解圖像性質已有了一定的認識，但對于和之前的知識有何聯系，是否能利用新工具來解決舊知問題，卻鮮有思考。再者本節課所探討的兩類三角形在日常測試中常常出現，基于此我給學生設計了本節課，來幫助他們一同探討上述問題。

這節課因為是借班上課，所以事前對于學生的情況幾乎是一無所知的。對此，我在設計之初就著手準備了兩套不同的方案。第一套最理想的方案，是將課程架構在學生已有的反比例函數的知識體系上，進一步深挖提高，以學生的自主探究為主體開展整節課的教學活動。第二種是，復習反比例函數知識，帶領他們開闊眼界，看看還有哪些新的題型。

在課程的引入部分，我沒有采取常規的從反比例函數上任取一點構成矩形面積恒不變展開，而是通過回顧七年級我們求解平面直角坐標系內三角形面積的兩種不同手段來引入，并且請學生先主動“議一議”。其一是承接七下內容，打通七下八上內容聯結;其二是制造懸念，激發學生興趣，能利用新的方法更快地解決實際問題，學生往往對此更感興趣。并且在之后的教學過程中，我也運用了上述的方法解決函數中的問題，體現了新舊知識的交織。

而在之后的主體內容設計環節，我便明顯感到了壓力。兩套不同的設計方案看似解決了不了解學生學情的難處，但不同的課程類型很明顯有不同的側重點。如果還是籠統地將內容一鍋端顯然不切實際。

在面對這個無法取舍的十字路口之際，我的指導老師，來自經緯試驗的施曉娟給了我一個主意。不妨先將一種思路貫徹到底，并且通過試教的方式來逐步磨課，這樣雖然需要我在短時間內完成兩份幾乎截然不同的教案，但是凡事試過之后才能體會到哪種方案更為合理。

在之后的磨課環節中，我明顯感受到將課堂還給學生時，會給站在講臺上授課的我帶來一連串的驚喜。同學們的思路不再具有局限性，不是全班統一的標準，統一的回答。在一輪輪的試教中，我逐步確立了用“五步一單”的教學方式，來進行本節專題課的講授。

方向是確定了，然而針對本節課的重點、難點內容上、時間分配上，我和我的指導老師又產生了不同的意見。作為老師、作為解惑者，究竟是該牽著他們的手領著他們通過本節課的難點，還是持更加開放的態度，把時間多多地交給學生，充分地信任學生。這時我們想到，還可以通過之前尚未很好使用的“一單”來做文章。將本節課的難度，通過例一之后的反饋練習，層層設計難度的題目，讓學生能較為平穩地到達一定高度。最后通過跳一跳來讓學生充分自主探究。

在之后的課程中，我利用已有的知識層層遞進，逐步引導學生去探求新知。通過色彩較為豐富的三個三角形，讓學生進一步體會例一所構成的三角形，并通過一個條件的變化，讓學生進一步運用模型一，在學生理解、掌握的基礎上充分利用數形結合思想將問題逐步轉化為最終解決本課最開始時的問題——如何快速求解這類特殊的不規則三角形面積。例3將三角形面積轉化為更易求解的直角梯形面積，這種轉化的思想方法，在今后的學習中仍會發揮極大的作用。通過三道變式題熟練運用模型二之后，我設計了最后一題。最后一題，一是放手讓學生操作進一步體會數形結合的思想，二、 也是對于兩個模型的運用提出了更高的要求。三、

更是滲透分類討論思想，為八下學習平行四邊形埋下伏筆。而在課后題中，我也充分考慮了分層教學，提供了不同難度的題目以供學生鞏固。

本節課，通過一個較小的切入口希望引發學生對于新舊知識之間的聯系有更多的思考，并且更加充分地體會函數單元重要的數形結合思想，為后續進一步學習一次函數、二次函數與三角形、四邊形之間的聯系打下基礎，以期達到拋磚引玉之效果。而在本節課的最后一個環節，學生們也大膽地將本節課通過學習所掌握的知識點以及思想方法一一交流，更有甚者，還將打印在工作單上的一道拓展題直接報出答案。從他們回答的語氣中，我明顯感到他們對于平面直角坐標系內一些特殊的三角形面積問題的求解已經充分掌握了。

數學課堂“五步一單法”中的各個環節不是一成不變的，并且每一個環節都要體現以學生為主體，以教師為主導的作用。同時，在教學的每一個環節中關注課程標準的整體實現，達到提高學生學習能力、運用知識的能力，培養學生的學習興趣，最終走向自主學習。

作者簡介：

姜浩，上海市，上海大學附屬中學實驗學校。