浸液軸向變速運(yùn)動(dòng)黏彈性板的組合參數(shù)共振

張宇飛，劉金堂，聞邦椿

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽 110819；2.沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，沈陽 110136)

在工程領(lǐng)域，軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體具有非常廣泛的應(yīng)用。它存在于航天可伸縮結(jié)構(gòu)、空中纜車索道、紙張生產(chǎn)、連續(xù)熱鍍鋅生產(chǎn)線等工程應(yīng)用中。因此，此類結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析對于它們的安全運(yùn)行具有重要的價(jià)值。

近些年來，軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體的動(dòng)力學(xué)引起了很多學(xué)者的研究興趣。Pellicano等[1]分析了軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性振動(dòng)與分岔現(xiàn)象。馮志華等[2]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁發(fā)生內(nèi)共振時(shí)的穩(wěn)定性。Wang等[3]基于經(jīng)典板理論及非線性幾何關(guān)系，建立了軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度板的振動(dòng)微分方程，并分析了系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Chen等[4]基于多尺度法，討論了分析軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的可解性條件。Zhang等[5-6]分析了具有軸向速度的黏彈性帶的高維非線性動(dòng)力學(xué)及混沌運(yùn)動(dòng)特性。張宇飛等[7]考慮具有軸向速度的復(fù)合材料薄壁圓柱殼，分析了系統(tǒng)的多模態(tài)耦合振動(dòng)行為。Ding等[8]將Galerkin方法發(fā)展應(yīng)用于軸向運(yùn)動(dòng)梁，并求解了系統(tǒng)在超臨界運(yùn)動(dòng)中的自然頻率。文獻(xiàn)[9]針對移動(dòng)載荷下的有限長Euler-Bernoulli梁，進(jìn)一步探討了Galerkin截?cái)喾ㄔ谇蠼庵械氖諗啃浴uang等[10]對橫向載荷下軸向運(yùn)動(dòng)梁的1∶3內(nèi)共振進(jìn)行了研究。Yang等[11]采用有限差分法，分析了軸向運(yùn)動(dòng)板的非線性振動(dòng)特性。Ghayesh等[12]考慮熱載荷作用，討論了軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性穩(wěn)定性以及發(fā)生的混沌運(yùn)動(dòng)。張偉等[13]推導(dǎo)了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性帶在平面運(yùn)動(dòng)下的非線性控制微分方程，然后采用多尺度法和離散法求解，分析了黏彈性傳動(dòng)帶在內(nèi)共振時(shí)的周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。Yang等[14]關(guān)注了橫向振動(dòng)與縱向振動(dòng)相互耦合的軸向運(yùn)動(dòng)梁，并研究了在耦合運(yùn)動(dòng)下該陀螺系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)。

眾所周知，軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)時(shí)常工作在液體環(huán)境中，這些情況多見于船舶工程、海洋工程、機(jī)械工程等。然而，對于軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體與液體耦合振動(dòng)的研究，現(xiàn)有文獻(xiàn)還非常有限。對于軸向運(yùn)動(dòng)梁與液體的耦合振動(dòng)，文獻(xiàn)[15]關(guān)注該系統(tǒng)的固有頻率并利用微分求積法進(jìn)行了求解。Wang等[16-17]建立了浸沒于液體中的軸向運(yùn)動(dòng)板的動(dòng)力學(xué)模型，并對其線性和非線性自由振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。張宇飛等[18]研究了軸向運(yùn)動(dòng)板與液體耦合的非線性自由振動(dòng)及其發(fā)生的1∶1和1∶3內(nèi)共振特性。

本文針對浸沒于液體中的軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性板，考慮其運(yùn)動(dòng)速度具有時(shí)變特性，并假定液體為無黏、無旋、不可壓縮的理想流體，根據(jù)經(jīng)典薄板理論及達(dá)朗貝爾原理，得到了該系統(tǒng)的橫向振動(dòng)控制微分方程。然后采用直接多尺度法對系統(tǒng)的偏微分方程及邊界條件進(jìn)行分析，利用可解性條件及Routh-Hurwitz判據(jù)確定了系統(tǒng)前四階模態(tài)間的和式組合共振與差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。此外，研究了不同參數(shù)對上述兩種組合共振失穩(wěn)區(qū)間的作用。

1 基本方程

考慮浸入液體中的四邊簡支軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性板，其力學(xué)模型和坐標(biāo)系如圖1所示。其中板密度為ρP，厚度為h；流體密度為ρf，板到左右剛性內(nèi)壁的距離分別為h1和h2，水域?qū)挾萪=2.02 m。

圖1 浸液軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性板Fig.1 Axially moving viscoelastic plate immersed in liquid

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可推得浸液軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性板的橫向振動(dòng)控制微分方程

(1)

式中：w為板橫向位移；V為板的運(yùn)動(dòng)速度；Mx，Mxy，My，Nx，Ny，Nxy分別為板的三個(gè)內(nèi)力矩和三個(gè)內(nèi)力；Δp為流體動(dòng)壓力。

考慮幾何關(guān)系、物理關(guān)系以及內(nèi)力關(guān)系，可將式(1)用橫向位移w表示

(2)

式中：D=Eh3/[12(1-μ2)]為板的彎曲剛度；μ為泊松比；η為黏彈性系數(shù)；N0為單位長度的面內(nèi)張力；madd為附加質(zhì)量面密度；表達(dá)式為

(3)

引入如下無量綱變量

(4)

將式(4)代入式(2)，得到系統(tǒng)的無量綱振動(dòng)微分方程

(1-H)w,tt+(2-H)Vw,xt+(V2-1)w,xx+
(1-H)V,tw,x+ζ(w,xxxx+2ξ2w,xxyy+ξ4w,yyyy)=
-εη[(w,xxxxt+2ξ2w,xxyyt+ξ4w,yyyyt)+
V(w,xxxxx+2ξ2w,xxxyy+ξ4w,xyyyy)]

(5)

四邊簡支板的無量綱邊界條件為

當(dāng)x=0,1時(shí)

當(dāng)y=0,1時(shí)

(6)

2 和式組合共振

設(shè)軸向速度具有如下擾動(dòng)變化規(guī)律

V=V0+εV1sinΩt

(7)

式中：V0為平均速度；V1和Ω為速度脈動(dòng)的幅值和頻率。

將式(7)代入式(5)～式(6)，并應(yīng)用直接多尺度方法，式(5)～式(6)的解可表示為

w(x,y,t;ε)=
w0(x,y,T0,T1)+εw1(x,y,T0,T1)+O(ε2)

(8)

且

(9)

將式(8)和式(9)代入式(5)～式(6)并分離ε0和ε1項(xiàng)，得

ε0：

(1-H)w0,T0T0+(V2-1)w0,xx+ζ(w0,xxxx+
2ξ2w0,xxyy+ξ4w0,yyyy)+(2-H)Vw0,xT0=0

(10)

(11)

ε1：

(12)

(13)

當(dāng)發(fā)生和式組合共振時(shí)，系統(tǒng)固有頻率滿足如下關(guān)系

(14)

式(10)的解可寫為

(15)

其中，

將式(14)～式(15)代入式(12)得

(16)

式中：NST為非久期項(xiàng)。

根據(jù)可解性條件，有

(17a)

(17b)

(17c)

式(17)的解可寫為極坐標(biāo)式

(18)

將式(18)代入式(17a)和式(17b)得

(19a)

(19b)

式(19)的復(fù)數(shù)非零解可以表示為

(20)

式中：pi和qi(i=1,2)為T1的實(shí)函數(shù)。

將式(20)代入式(19)，并分離實(shí)部和虛部，得

(21)

式(21)的特征方程可寫為

λ4+β1λ3+β2λ2+β3λ+β4=0

(22)

式中：βi(i=1,2,3,4)由式(21)的系數(shù)確定。

式(22)的所有根均有負(fù)實(shí)部的充分必要條件為Routh-Hurwitz行列式均大于零，即

(23)

給定ξ=1,ζ=1,η=0.000 1,ρf=1 000 kg/m3，h=0.02 m,h1=1 m，圖2給出了模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的和式組合共振在不同平均軸線速度下的不穩(wěn)定區(qū)域，其中曲線上部表示不穩(wěn)定區(qū)間。從圖中可以看出，隨著平均移動(dòng)速度的增加，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)逐漸減小，組合共振的穩(wěn)定區(qū)間增加。

圖2 不同平均速度下和式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域Fig.2 Unstable range for sum-type combination resonances with different axially mean velocities

給定ξ=1，ζ=1，η=0.000 1，V0=3和h1=1 m，圖3給出了不同流體密度情況下模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的和式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域。從圖3可知，當(dāng)流體密度逐漸增加時(shí)，軸向運(yùn)動(dòng)板和式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域會(huì)隨之增大。

取ξ=1,ζ=1,η=0.000 1,ρf=1 000 kg/m3,V0=3，圖4給出浸液板在不同位置時(shí)模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的和式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0.1 m

圖3 不同液體密度時(shí)和式組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域Fig.3 Unstable range for sum-type combination resonances with different fluid densities

圖4 板位置對和式組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域的影響Fig.4 Effect of plate location on the unstable range for sum-type combination resonances

3 差式組合共振

當(dāng)速度脈動(dòng)頻率接近任意兩階固有頻率之差時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生差式組合共振。考慮如下關(guān)系

(24)

式(10)的解表示為

(25)

將式(24)～式(25)代入式(12)，由可解性條件，得

(26a)

(26b)

(26c)

將式(26a)和式(26b)的解寫為極坐標(biāo)式

(27)

將式(27)代入式(26a)和式(26b)得到如下自治方程

(28a)

(28b)

式(28)的非零復(fù)數(shù)解為

(29)

式中：pi和qi(i=1,2)為T1的實(shí)函數(shù)。

將式(29)代入式(28)，分離實(shí)部和虛部，得

(30)

式(30)的特征方程可寫為

λ4+β1λ3+β2λ2+β3λ+β4=0

(31)

式中：βi(i=1,2,3,4)由式(30)的系數(shù)確定。

所有根均有負(fù)實(shí)部的充分必要條件為Routh-Hurwitz行列式滿足

(32)

令ξ=1，ζ=1，η=0.000 1，ρf=1 000 kg/m3和h1=1 m,圖5給出了不同平均移動(dòng)速度下模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。從圖中可以看出，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)之間差式組合共振的失穩(wěn)曲線出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，但失穩(wěn)區(qū)域的范圍變化不大。對于模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振，隨著平均速度的增加，失穩(wěn)區(qū)間則逐漸減小。

圖5 不同平均速度下差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域Fig.5 Unstable range for difference-type combination resonances with different axially mean velocities

選取ξ=1，ζ=1，V0=3，η=0.000 1和h1=1 m，圖6給出了不同液體密度下模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。圖6表明，流體密度的增加導(dǎo)致模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)間差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域增加。對于模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振，失穩(wěn)曲線則出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，失穩(wěn)區(qū)域也有增加的趨勢。

圖6 不同液體密度下差式組合共振失穩(wěn)區(qū)域Fig.6 Unstable range for difference-type combination resonances with different fluid densities

圖7給出了板在液體域中不同位置時(shí)，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域的變化情況。其中各參數(shù)為ξ=1，ζ=1，V0=3，η=0.000 1和ρf=1 000 kg/m3。圖7中表明，隨著板與剛性內(nèi)壁距離的增加，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)間差式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域減小。模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)邊界線發(fā)生偏轉(zhuǎn)，失穩(wěn)區(qū)域也有減小的趨勢。但是沒有出現(xiàn)和式組合共振失穩(wěn)區(qū)域先增加再減小的特征。

圖7 板在不同位置時(shí)差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域Fig.7 Unstable range for difference-type combination resonances with different plate locations

4 結(jié) 論

本文針對浸沒于液體中的軸向變速運(yùn)動(dòng)黏彈性板，根據(jù)經(jīng)典薄板理論及達(dá)朗貝爾原理，得到了系統(tǒng)的橫向振動(dòng)控制微分方程，根據(jù)多尺度法及Routh-Hurwitz判據(jù)，分析了系統(tǒng)前四階模態(tài)間的和式與差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。結(jié)果表明：

(1)隨著板平均移動(dòng)速度的增加，和式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域減小，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)之間差式組合共振的失穩(wěn)曲線出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，而模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振不穩(wěn)定區(qū)減小。

(2)和式組合共振與差式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域均隨著流體密度的增加而增加。對于模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振，失穩(wěn)曲線出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，失穩(wěn)區(qū)域也有增加的趨勢。

(3)組合共振的失穩(wěn)區(qū)間與板在液體中的位置有關(guān)。當(dāng)板距離剛性壁較近時(shí)，和式組合共振失穩(wěn)更容易發(fā)生。隨著板與剛性內(nèi)壁距離的增加，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)間差式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域減小。模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)邊界線發(fā)生偏轉(zhuǎn)，失穩(wěn)區(qū)域也減小。