基于振動法的拉索抗彎剛度及拉力實用估算公式研究

李 峰

(河北省交通規劃設計院，河北 石家莊 050000)

0 引 言

索結構因其具有輕巧、美觀和大跨等優點，被越來越多的工程采用，如交通工程中的下承式拱橋、懸索橋、斜拉橋，以及建筑工程中的張拉屋頂、塔桅等大跨結構。由于索結構的內力和變形狀態對拉力的變化較為敏感，因此快速準確地獲得拉索拉力及抗彎剛度是結構施工、健康監測及結構狀態評估中的一項重要內容。

目前，行業內通常采用千斤頂壓力表法、壓力傳感器法、磁通量法、振動法等方法測定拉索的拉力，其中振動法最為常用[1-6]。在工程實踐中，由于拉索內部結構多樣，難以確定拉索內鋼絲的相互作用以及拉力對拉索抗彎剛度的影響，從而不能得到拉索準確的抗彎剛度值。因此，振動法中頻率與拉力的換算公式或者不考慮拉索抗彎剛度的影響，或者估算一個抗彎剛度值進行計算，導致計算結果可能存在較大誤差[7]。筆者采用曲線擬合方法得到拉索的近似頻率方程，進而推導基于推動法的簡單實用的拉索抗彎剛度及拉力的實用估算公式，以解決振動法中拉索抗彎剛度的取值問題，提高拉力的識別精度。

1 基本控制方程

筆者主要推導的是適用于中、短索的拉力計算公式。當考慮抗彎剛度但忽略垂度影響時，拉索可等效為軸拉梁，索的面內橫向運動方程如式(1)[8]：

(1)

式中：EI為索的抗彎剛度，N·m2；T為索的拉力，N；m為索的單位長度的質量，kg/m；v為t時刻由振動引起的面內豎向撓度，m。

分離變量后，得到振型的一般表達式(2)：

v(x)=A1sinh(βx)+A2cosh(βx)+A3sin(αx)+A4cos(αx)

(2)

令：

α2=(ζ4+γ4)1/2-ζ2,β2=(ζ4+γ4)1/2+ζ2,

式中：A1～A4為常數，決定拉索的振動形狀；α、β、γ、ζ為無量綱參數；ω為自振圓頻率。

1)當拉索兩端鉸支時，可解得自振圓頻率如式(3)：

(3)

2)當兩端固定時，拉索的自振方程(4)為：

2(αl)(βl)[1 - cos(αl)cosh(βl)] +

[(βl)2- (αl)2]sin(αl)sinh(βl)=0

(4)

(5)

方程(4)為超越方程，可通過引入無量綱參數ξ、ηn間接求解[9]：

(6)

(7)

將ξ、ηn代入方程(5)，得到式(8)：

(8)

將式(8)代入方程(4)，可得方程(9)[5]：

2nπηn[1 - cos(αl)cosh(βl)] +

ξsin(αl)sinh(βl)=0

(9)

當ξ變小時，方程(9)的解ηn迅速增大，很難得到精確解。因此引入另一無量綱參數φn：

(10)

(11)

引入φn后，可將式(8)化為式(12)：

(12)

將方程(9)轉換成方程(13)[9]：

ξ2sin(αl)sinh(βl)=0

(13)

方程(9)與方程(13)為超越方程，可通過給定ξ，利用迭代法如Newton-Raphson法進行求解。

2 近似公式

2.1 ξ值較小的情況

由能量法推導兩端固定受拉梁頻率方程[10]：

(14)

在0<ξ≤15的范圍內，采用最小二乘法利用方程(14)對方程(13)的計算結果進行擬合，得到an、bn值，見表1。

將方程(13)描述的φn-ξ曲線(0 <ξ≤15)與方程(14)求得的近似解繪在圖1中。可以看出，在前4階振型中，兩者吻合良好。近似解的誤差見表2，可見最大誤差為0.85%。

圖1 φn的精確解和近似解Fig. 1 Exact and approximate solutions of φn

表2 φn近似解的誤差Table 2 Error of approximate solution of φn%

2.2 ξ較大的情況

由圖2可知，隨著ξ的增大，拉索的抗彎剛度對自振頻率的影響逐漸減弱并趨于0，即拉索的自振頻率趨于弦的自振頻率。考慮到拉索的拉力和抗彎剛度對自振頻率的影響，以及拉索的拉力與抗彎剛度相互作用對自振頻率的影響，假設拉索自振頻率表達式，如式(15)：

(15)

式(15)右邊第1項為弦頻率，第2項為抗彎剛度對頻率的影響，第3項為拉力與抗彎剛度的共同作用對頻率的影響。

同樣，在15 <ξ≤300的范圍內，采用最小二乘法利用式(15)對方程(9)的計算結果進行擬合，得到初始擬合an、bn值，見表3。

表3 初始擬合結果(15 < ξ ≤300)Table 3 Results of initial fitting(15 < ξ ≤300)

為方便由方程(15)反求抗彎剛度和拉力，令an= 6.344 1(n=1～4)，重新以方程(9)描述的ηn-ξ曲線為基準進行擬合，得到最終擬合an、bn值，見表4。

表4 最終擬合結果(15 < ξ ≤ 300)Table 4 Results of final fitting(15 < ξ ≤ 300)

將式(15)描述的ηn-ξ曲線及方程(9)描述的理論解的曲線繪在圖2中(15 <ξ≤300)，可以看出，在前4階位形中，兩者吻合良好；最大誤差為0.96%，見表5。

圖2 ηn的精確解和近似解Fig. 2 Exact and approximate solution of ηn

由圖2可見：隨著ξ的減小，誤差迅速增大。因此在ξ較小的情況下，必須準確確定拉索抗彎剛度，才能保證頻率法測拉力的精度；隨著ξ的增大，考慮抗彎剛度的索頻率逐漸逼近弦理論計算結果，當ξ>210時，抗彎剛度對索的自振基頻影響較小，僅為0.97%。綜合考慮工程應用中的方便實用性，當ξ>210時，可按不考慮抗彎剛度影響的弦理論計算。

表5 ηn近似解的誤差Table 5 Error of approximate solution of ηn %

3 實用估算公式的提出

將ω=2πf代入方程(14)、方程(15)，聯立第1階與第n(n=2～4)階自振頻率方程，反推出由頻率估算抗彎剛度和拉力的實用公式。

1)當0≤ξ<15時

(16)

(17)

式中：常數an、bn按表1取值。

2)當15 ≤ξ<210時

(18)

(19)

3)當ξ≥210時

(20)

4 實用估算公式的驗證

應用筆者提出的實用估算公式(16)～(20)時，應先根據拉索長度、設計拉力及抗彎剛度范圍計算出ξ，然后帶入相應公式計算抗彎剛度及拉力，最后由算得的抗彎剛度及拉力重新計算ξ，以驗證公式的正確性。

4.1 H.ZUI的計算公式

H.ZUI[9]利用方程(9)、方程(13)的近似解，建立了考慮抗彎剛度影響的拉力T計算公式(21)～(23)，這些公式的應用前提是須知道拉索抗彎剛度：

(ξ≥17)

(21)

(6≤ξ<17)

(22)

(0≤ξ<6)

(23)

4.2 弦理論公式

吳康雄[2]推導了不考慮抗彎剛度的拉力計算公式，即弦理論公式：

(24)

4.3 驗 證

分別用筆者提出的實用估算公式(16)～(20)、H. ZUI提出的計算公式(21)～(23)及弦理論公式(24)進行拉力計算，并將計算結果與有限元模擬結果進行對比。其中：H. ZUI的計算公式(21)～(23)需帶入拉索實際抗彎剛度，筆者提出的實用估算公式(16)～(20)可直接由頻率估算出抗彎剛度和拉力。

檢驗用的拉索參數見表6；拉力計算值T、拉力誤差δT，及抗彎剛度計算值EI、抗彎剛度誤差δEI的識別結果見表7。

表6 拉索的物理參數Table 6 Physical parameters of cables

表7 3種計算公式的計算結果及計算誤差Table 7 Calculating results and errors of three kinds of calculating formulas

由表7可看出：

1)在拉力識別方面，由于弦理論公式(24)不考慮抗彎剛度，因此，在ξ較小的情況下將帶來不可接受的誤差。

2)采用筆者提出的實用估算公式(16)～(20)，當ξ=10時，拉力誤差δT最大，δT=1.31%；當ξ>15時，拉力誤差δT<0.5%，與H.ZUI公式(21)～(23)的結果很接近，拉力誤差δT均在 ± 2%以內。

3)在抗彎剛度識別方面，筆者提出的實用估算公式(16)～(20)，抗彎剛度誤差δEI≯±2%，說明采用實用估算公式計算拉索拉力及抗彎剛度十分有效，精度較高，計算結果滿足工程實踐要求。

5 結 論

1)通過考慮拉索的拉力及抗彎剛度對拉索自振頻率的影響，假設固支邊界條件下受拉吊桿頻率的表達式形式，采用曲線擬合的方法對兩端固支吊桿的前4階特征方程進行了較高精度的擬合，得到了拉索低階頻率的近似解。

2)基于自振頻率表達式，提出了由2階頻率計算拉索抗彎剛度和拉力的實用估算公式，解決了頻率法測拉力時難以識別抗彎剛度的問題。

3)與現有公式計算結果對比，提出的實用估算公式計算結果準確可信、精度較高，且公式形式簡單、應用方便。