數學解題教學之“取勢、明道、優術”——以函數問題解決中的“元”思想和“元”方法為例

(三門中學,浙江 三門 317100)

1 問題提出

函數是貫穿高中課程的主線.函數問題是高中數學概念、原理、方法和思想的綜合體現，是提高數學思維品質的好問題.無論是初中還是高中的函數概念，無論是“變量說”還是“集合對應說”，無論是單元函數還是多元函數，其核心都是“元”之間的依賴關系以及一個(或一些)“元”的變化對另一個“元”的影響.

章建躍博士在文獻[1]中提到,數學教育之“取勢”、“明道”“優術”，具體解釋為：“明確方向，把握規律，辦事有方”.在數學中，“取勢”就是明確教學目標，甄選教學主題；“明道”就是分析問題特征，發現解題思路；“優術”就是優化解題方法，形成思維體系.

在平時的函數問題解題教學中應滲透對“元”的認知，確立問題的“勢”，掌握基本函數的圖像和性質的“道”，運用“換元法、分類討論、參變分離(半分離)、特殊元定界”等“技術”的解題思維，努力追求問題的本質，這需要一線數學教師不斷地學習和反思.下面就幾個具體的例子與各位同仁一起探討.

2 實例展示

2.1 “元”思想取勢，函數結構明道，換元、分類方法優術

二元(多元)問題常見的處理模式為不等式、線性規劃等.如果將其中一個作為主元，另一個(幾個)作為參數，則問題轉化為含參的一元函數.

例1已知0≤x≤y≤1，則(2x-y)(1-2x)的最大值為______.

思路1(通過與二元不等式、線性規劃建立聯系)如果用平等的眼光看x和y，那么本題的“勢”就是一個約束條件下的“二元問題”，解決“二元問題”的“道”是線性規劃和基本不等式.但本題如果直接用基本不等式，那么等號不能取得無法求出最值；如果直接運用線性規劃，那么要求的結果沒有直接的幾何意義，因此需要運用“換元法”的“技術”來明確規劃目標.

圖1

從而目標函數為Z=uv，約束條件為

可行域為△ABC的內部(包括邊界，如圖1).

思路2(用主元策略和函數觀點看問題)如果區別對待x和y，一個看成變量、另一個看成參數，那么本題的“勢”就是函數觀點下的最值問題，解決函數最值的“道”是函數的類型和性質.以x為“主元”的道是二次函數，以y為“主元”的道是一次函數.由于含有參數，自然用“分類討論”的“技術”來分析單調性.

令f(y)=(2x-y)(1-2x)，即f(y)=(2x-1)y+2x(1-2x),其中y∈[x,1].

f(y)max=f(x)=-2x2+x=

f(y)max=f(1)=-(2x-1)2<0，

2.2 “元”結構取勢、函數結構明道，特殊元優術

對于含參數的函數問題，通過變形轉變函數結構，使之成為若干個基本初等函數之間的相互制約關系，往往能更好地把握這些函數由一種狀態向另一種狀態變化時的臨界狀態.

例2當x>0時，(asinx-1)(ax2-x+4a)<0恒成立，則a的取值范圍是______.

圖2

思路2(通過數、式相乘的符號結果的認知)不等式的左邊是兩個因式相乘，那么順“勢”而為，確定解決這個問題的“道”是分析兩個含參函數的圖像特征、性質和符號變化.令f(x)=asinx-1，g(x)=ax2-x+4a,重點分析參數a對正弦函數、二次函數的圖像和函數值符號的影響，以0為界：若a<0，當x→+∞時，g(x)<0，那么就要求f(x)>0，不符；若a=0，不符；若a>0，當x→+∞時，g(x)>0，那么就要求f(x)<0，由三角函數的周期性可知f(x)max<0，因此a<1且g(x)>0恒成立，即

得

從上述過程我們看到本題的“x>0”與“x∈R”的要求是一樣的.

本題的兩種解法都是通過認真審題認清主元所在函數結構的“勢”順勢而為、運用參變分離、符號認知的技術結合所掌握的基本初等函數的圖像、性質分析問題、解決問題，即以道統術、以術助道.

2.3 “元”方程取勢，實根問題明道，數形結合與參變分離優術

函數、方程、不等式之間有著內在的必然聯系，將這3個視角自由切換可以更清楚問題的本質.

例3已知關于x的方程x2+2bx+c=0(其中b,c∈R)在區間[-1,1]上有實根，0≤4b+c≤3，則b的取值范圍是______.

圖3

思路1(結合一元二次方程的實根分布知識)以x為“主元”，取二次方程實根分布和線性規劃的“道”，運用數形結合的“術”.

令f(x)=x2+2bx+c，如圖3,只需

綜上列出關于b,c的不等式組，然后用規劃的“道”解決，這里從略.

圖4

思路3(聯系解析幾何“設而不求”策略、結合韋達定理)取二次方程在區間[-1,1]上有實根的“勢”，運用設參變換主元的“術”，考慮函數類型和求值域的“道”，看是否可行.

設x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)(其中x1∈[-1,1],x2∈R),則

從而4b+c=x1x2-2(x1+x2)=(x1-2)(x2-2)-4,

即

4≤(x1-2)(x2-2)≤7,

于是

思路4(從“方程有根”等價于“函數有零點”等價于“函數圖像有公共點”的認知結構出發)運用方程有根等價于兩個函數的圖像有交點的轉化策略，利用“相對分離”得到兩個簡單函數(圖像為一動直線和一定曲線)，掌握函數及其圖像的“道”，結合數形結合的“術”，尋找運動變化中滿足條件的臨界位置(狀態)解決本題.

圖5

題中方程有解等價于方程2bx+c=-x2有解，即動直線l:y=2bx+c與曲線y=-x2(其中x∈[-1,1])有公共點，接下來是解析幾何的“道”：是怎樣的動直線,要求解的代數量(式)有怎樣的幾何意義？代數式4b+c表示的是函數f(x)=2bx+c的函數值f(2)，約束條件0≤4b+c≤3表示動直線經過如圖5所示的線段AB，因此本題的幾何含義是：由線段上的任意一點作斜率為2b的直線與曲線y=-x2(其中x∈[-1,1])有公共點，求b的取值范圍.由圖易得：0≤2b≤kBM，于是0≤b≤2.

該題人口寬，思考角度與切入點多樣.但不管是哪種思路，其本質都是基于對一元二次方程在給定區間有根的理解，即取勢于元思想；解法多樣，但不管是哪種解法，都是基于二元問題線性規劃解決的道和方程、函數認知結構的道來設計解法的術.即“元”方程取勢，規劃實根問題明道，數形結合與參變分離優術.

3 結束語

當前數學教育教學改革風起云涌，作為一線教師在數學問題的教學上應努力挖掘數學所蘊含的教學價值，以培育學生的理性精神，發展學生的邏輯思維能力.正如章建躍博士所指出的：解題的目的是讓學生學會思考，培養和發展學生的能力，培養學生的解題習慣,加深理解概念，牢固掌握雙基[2].

函數問題中“元”思想和“元”方法是處理該類問題的關鍵所在.我們需要明確“變元”間的依賴關系即“取勢”；與相關知識(方程、不等式、曲線)等建立緊密聯系的“函數認知結構”即“明道”；掌握由未知到已知、由陌生到熟悉的“換元法、分類討論、參變分離(半分離)”等代數變形策略與方法的“技術”.只有做到“取勢、明道、優術并重”，才能“順勢而為，以道統術，以術助道”，解決函數相關問題時才能夠相得益彰、游刃有余.