Banach 空間中一類廣義變分不等式組的隱迭代算法

隆建軍，張光俊

（1.攀枝花市大河中學校，四川 攀枝花 617061；2.金陽縣初級中學，四川 金陽 616250）

變分不等式理論已經成為研究線性與非線性問題的有力工具，并在許多領域得到了廣泛應用，如數學規劃、優化與控制理論、運籌學、對策論、工程技術、經濟平衡理論及社會經濟模型等，現在變分不等式理論已經成為應用數學的一個重要分支。近年來許多數學家和工程技術人員對該問題進行了廣泛和深入的研究[1-15]。

受Noor和丁協平等專家、學者研究工作的影響和啟發，本文繼續在Banach 空間中研究廣義非線性變分不等式組的有關問題。我們構造了一種隱迭代算法，用它來逼近廣義非線性變分不等式組的解并討論了它的收斂性。本文結論最大優點是在Banach 空間中進行研究的，因此，本文結論具有一般性，能夠運用到LP,WM,P(Ω)（p＞1）等更為廣泛的空間中去。

在本文中，我們總假設B 是Banach 空間，B* 是它的對偶空間， （●,●）是B 和B* 間的偶對，2B記為B 的子集全體。廣義對偶映射Jq(x):B→2*定義為：

其中q＞1 是常數，J2是正規對偶映射。已知對所有的x∈B，Jq=‖x‖q-2J2，且當空間B* 是嚴格凸時，Jq(x)是單值的。由于本文所論述的空間B*是嚴格凸的，所以我們總是假設Jq(x)是單值的，記J2=J 也是單值的。若B=H 為H i l b er t 空間，則J2變為H 上的恒等映射。

設K 是B 的非空閉凸子集。映射Q:B→K 稱作是向陽的，如果

映射Q:B→K 稱作保核的，如果對x∈K 有Q x=x。若B 是光滑的，則B 映為K 的向陽非擴張保核映射是唯一確定的[3]。

設K 是B 的非空閉凸子集，Ti,gi(i=1,2,…,n）是給定的非線性映射，在本文中我們主要討論下面一類廣義松弛余強制非線性變分不等式組問題：

其中ρi＞0（i=1,2,…，n）是常數。

當n=2 時，問題1 退化為如下廣義非線性變分不等式組問題：

求點（x1,x2)∈K×K，使得

其中ρi＞0（i=1,2）是常數。此問題徐永春等在文獻[5]中已經研究。

如果g1=g2=…=gn=I 是恒等算子時，則問題1退化為如下廣義非線性變分不等式組問題：

其中ρi＞0（i=1,2,…，n）是常數。

當n=2 時，問題1 退化為如下廣義非線性變分不等式組問題：

求點（x1,x2)∈K×K，使得

其中ρi＞0（i=1,2）是常數。此問題N oor M.等在文獻[2]中已經研究。

如果B=H 為Hilbert 空間,g1=g2=…=gn=I且J=I 為恒等映射算子時，則問題1 退化為如下廣義非線性變分不等式組問題：

其中ρi＞0（i=1,2，…，n）是常數。此問題隆建軍在文獻[6]中已經研究。

當n=2 時，問題1 退化為如下廣義非線性變分不等式組問題：

求點（x1,x2）∈K×K，使得

其中ρi＞0（i=1,2）是常數。此問題NoorM.等在文獻[3]中已經研究。

一、預備知識

定義1[4]設B 是光滑的Banach 空間，K 是B 的非空閉凸子集。設QK:B→K 是保核的，J 是B

上的正規對偶映射，則以下結論等價：

（1）QK:B→K 是向陽非擴張的；

(2) ‖QKx-QKy‖2≤〈x-y,J (QKx-QKy)〉,對所有的x，y∈B 成立；

（3）〈x-y,J(QKx-QKy）〉≥0，?y∈K。

定義2 （1）一個映射T：B×B→B 被稱為r-強增生的，如果?r＞0，使得

（2）一個映射T：B×B→B 被稱為γ-松馳余強 制的，如果?γ＞0，使得

(3)一個映射T：B×B→B 被稱為(γ,r)-松馳 余強制的，如果?γ＞0，r＞0,使得

顯然（γ,r）-松馳強制算子是比r-強生算子更加廣泛的一類算子。

（4）一個映射T：B×B→B 被稱為對第一變元μ-Lipschitz 連續的，如果?μ＞0，使得類似地，可以定義T 對第二變元的Lipschitz 連續性。

引理1[3]設B 是實q-一致光滑Banach 空間（q＞1），則?cq＞0，使得

對所有的x,y∈B 成立。特別的，如果B 是實2-一致光滑Banach 空間，則?c2＞0，使得對所有的x,y∈B 成立。

引理2[7]假設｛an｝是滿足下列條件的非負序列：

二、算法

為了得到本文主要結論，我們構造如下解廣義非線性變分不等式組的隱迭代算法。首先介紹算法的一個特例。

第一步 對任意初始值x1,0∈K,設m=0。

第二步

第三步 設m=m+1，回到第二步。

算法1 對任意初始值x1,0∈K，構造如下迭代序列｛x1,m｝,｛x2,m｝，…，｛xn,m｝,m≥0，使得

其中QK是B 映為K 的向陽非擴張保核映射，ρi＞0（i=1,2,…，n）是常數是（0，1]中的序列。

如果Ti（i=1,2,…，n）是一個變元的映射時，則算法1 變化為如下結論。

算法2 對任意初始值x1,0∈K, 構造如下迭代序列｛x1,m｝，｛x2,m｝，…，｛xn,m｝,m≥0，使得

其中QK是B 映為K 的向陽非擴張保核映射，ρi＞0（i=1，2，…，n）是常數是（0，1]中的序列。

在算法1 中，令g1=g2=,…,=gn=I 是恒等算子時，則有

算法3 對任意初始值x1,0∈K，構造如下迭代序列｛x1,m｝,｛x2,m｝,…，｛xn,m｝，m≥0，使得

其中QK是B 映為K 的向陽非擴張保核映射，ρi＞0（i=1，2，…，n）是常數是（0，1]中的序列。

三、主要結論及其證明

定理1 設B 是一致光滑的Banach 空間，Ti:B×B →B（i=1,2,…,n）是任 意算子，ρi＞0（i=1，2，…，n） 是 常 數, 則是廣義非線性變分不等式組問題1的解當且僅當是算子方程

在B×B 中的解。

證明：已知廣義非線性變分不等式組問題1等價于如下形式：

其中ρi＞0（i=1，2，…，n）是常數。

由QK的性質可得（1）式等價于

其中ρi＞0（i=1，2，…，n）是常數。

證明：由算法1、定理1 和QK的向陽非擴張保核性質有

由引理1 及T1是（a1,b1）-松馳余強制且并 關于第一孌元是e1-Lipschitz 連續的，則有

又由

又由T1關于第二變元是d1-Lipschita 連續的，有

由算子g1是（s1,t1）-松馳余強制和r1-Lipschitz連接的，則有

由（2）～（6）式可得

又由

由引理1 及T2是(a2,b2)-松馳余強制且關于第 一變元是e2-Lipschitz 連續的，則有

其中

又由T2關于第二變元是d2-Lipschitz 連續的，有

由算子g2是（s2,t2)-松馳余強制和r2-Lipschitz 連續的，則有

由（7）～（12）式可得

即

同理可得：

…… …… ……

由（7）～（16）可得

由條件（i）～（iii）可知

由此可得迭代序列｛x1,m｝強收斂于。同理可得｛x2,m｝,…，｛xn,m｝，m≥0，分別強收斂于，…。

如果g1=g2=…=gn=I 是恒等算子，則定理2 退化為如下廣義非線性變分不等式組結論：

定理3 設B 是n - 一致光滑的Banach 空間，K 是B 中的閉凸子集是廣義非線性變分不等式組問題2的解，假設Ti:B×B→B(i=1,2,…,n）是（ai,bi）- 松弛余強制且關于第一變元和第二變元分別是ei和di-Lipschitz 連續的映射，迭代序列｛x1,m｝,｛x2,m｝，…，｛xn,m｝，m≥0 是按照算法1 中所定義的，其中是(0,1]中的序列，滿足下列條件：則迭代序列｛x1,m｝,｛x2,m｝，…，｛xn,m｝分別是強收斂于

注：利用定理2 和定理3 還可以得到一個變量的變分問題結論。