欣賞數學的真、善、美
——以高考中的數學文化為例

華東師范大學第二附屬中學 任念兵

數學文化是國家文化素質教育的重要組成部分，高考數學考綱的一個重大變化就是明確提出要加大數學文化的考查力度．有關高考中的數學文化的研究，目前正呈現如火如荼之態．值得關注的傾向是，目前的相關研究常常泛化數學文化的內涵，甚至將所有考查數學能力的高考題都納入數學文化的范疇，如此就顯得“數學文化”早就在高考中占有重要地位了，何來考綱中提出的“變化”？所以，需要正本清源，明確高考中的數學文化的內涵，有針對性地進行扎實穩妥的高考復習．

教育部考試中心陳昂、任子朝認為，數學文化的最主要內涵是一種理性思維方式在實踐過程中的不斷探索，形成的數學史、數學精神及其應用．數學具有真、善、美三個層次的表現力，數學文化應包含對數學的科學性和理性精神的認同，對數學的價值和功用的肯定，對數學的藝術性的感悟．高考中的數學文化試題，是以數學史作為試題背景，主要包括數學家生平故事、數學史事件、數學名著等，通過創設新的情境、改變設問方式等多種方法欣賞數學的真、善、美．在滲透數學文化的同時，高考題特別注重與數學知識的有機結合，著重體現數學文化素材中理性思維的本質內涵．

高考中的數學文化試題，從試題背景看，其主要類型有涉及數學史料中的古算題、數學名題、數學家人物及優秀成果、數學與其他學科的文化聯系等．從試題的具體內容看，可以分為數學發展史（或數學名著）上的經典問題（如阿波羅尼斯圓、米勒問題等）、重要結論（如楊輝三角、祖暅原理等）、重要思想方法（如算法思想、極限思想等）三個層次．從問題呈現方式看，可以分為顯性和隱性兩種形式，前者直接給出數學文化背景作為試題的情景或者引子，解答與背景基本無關，后者則不直接給出背景，而是隱含考查與數學文化相關的知識和思想方法．從試題難度看，欣賞數學之美、數學之善（應用價值）的試題較易，欣賞數學之真（理性精神）的試題較難；以顯性背景呈現的試題較易，隱含數學文化背景的試題較難．

一、欣賞數學之真

圖1

例1（上海卷）在x Oy平面上，將兩個半圓?。▁-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D，如圖1中陰影部分．記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面積為試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為 ．

解 根據提示，一個半徑為1，高為2π的圓柱平放，一個高為2，底面面積為8π的長方體，這兩個幾何體與Ω放在一起，根據祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積值為π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

例2（上海閔行區一模）我國南北朝數學家何承天發明的“調日法”是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是：設實數x的不足近似值和過剩近似值分別為和則是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值．我們知道π=3．141 59…，若令則第一次用“調日法”后得是π的更為精確的過剩近似值，即若每次都取最簡分數，那么第四次用“調日法”后可得π的近似分數為________．

點評 例1考查祖暅原理的靈活運用，由于祖暅原理是教材中的內容，因此在試題中不再復述；例2則以閱讀材料的形式介紹“調日法”，考查即時學習能力，讓學生體會我國古代數學的精髓——算法思想．無論是顯性還是隱性呈現數學文化背景，在高考題中欣賞數學之真，關鍵是領悟數學文化背景下的重要原理（如祖暅原理為求體積的依據）、重要思想方法（如調日法所反映的算法思想）中所表現出來的數學理性精神．

二、欣賞數學之善

例3（湖北卷）一種作圖工具如圖2所示．O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿M N通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3．當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞O轉動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖3所示的平面直角坐標系．

圖2

圖3

（1）求曲線C的方程；（2）略．

解 （1）設 點D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），依題意，且所以（t-x，-y）=2（x0-t，y0），且即且t（t-2x0）=0．由于當點D不動時，點N也不動，所以t不恒等于0，于是t=2x0，故．代入可得即所求的曲線C的方程為

例4（上海黃浦區二模）如果一條信息有n（n＞1，n∈N）種可能的情形（各種情形之間互不相容），且這些情形發生的概率分別為p1，p2，…，pn，則稱H=f（p1）+f（p2）+…+f（pn）（其中f（x）=-x logax，x∈（0，1））為該條信息的信息熵．已知．

（1）若某班共有32名學生，通過隨機抽簽的方式選一名學生參加某項活動，試求“誰被選中”的信息熵的大?。?/p>

（2）若某次比賽共有n位選手（分別記為A1，A2，…，An）參加，選手Ak（k=1，2，…，n-1）獲得冠軍的概率為2-k，求“誰獲得冠軍”的信息熵H關于n的表達式．

即“誰被選中”的信息熵為5．

（2）An獲得冠軍的概率為，

當k=1，2，…，n-1時，f（pk）=，

點評 例1是基于荷蘭數學家舒騰設計的機械橢圓規命制的，這是橢圓方程知識的實際應用的例證，至于圓錐曲線知識在天文、航海等方面的應用更是不勝枚舉，而這些實際問題正是推動解析幾何思想萌芽和發展的原始動力．例2則是以信息論的基本概念為背景的，1948年克勞德·香農創立了數學信息論，用對數來刻畫信息量的概念．在看起來“沒有數學問題”的地方發現數學問題，并通過相應的數學模型解決問題，乃是數學之善的深刻表現．

三、欣賞數學之美

例5（全國Ⅰ卷）如圖4，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）

圖4

解 設正方形邊長為a，由圖形的對稱性知，太極圖中黑白部分的面積相等，均為圓面積的一半，故所求概率為選B．

點評 例5考查了圖形的對稱性，而數學概念、定理、公式本身的形式之美，正體現在對稱、統一、簡潔、奇異等方面，欣賞數學之美、享受數學文化的熏陶也是素質教育的重要環節．

最后，回到日常學習和高三復習中，我們應該重視教材中隱含的數學文化素材．許多高考數學文化題都來源于教材，比如“阿波羅尼斯圓”“三角形數”“割圓術”等均出現在高中數學教材中．保持旺盛的求知欲望，凡事問個“為什么”，鉆研教材、延伸閱讀，是應對高考數學文化題的基本策略．