基于應力不變量的多軸疲勞壽命預測方法

李雪夫，宋 宇

（中車建設工程有限公司，北京 100000）

0 前言

多軸高周疲勞從研究以來，還沒有一種對各種材料、各種載荷普遍適用的多軸高周疲勞失效準則。

本文將剪應力等效幅值的求解過程與損傷估算相聯系，通過考慮載荷偏量路徑沿求解剪應力等效幅值時的參考坐標系各軸投影的分量來估算疲勞損傷。在此基礎上，對疲勞損傷和平均應力的關系進行了充分考慮。并將靜水應力時間與各個投影路徑載荷時間有機結合起來，為對應區間內靜水壓力最大值、主計數通道相關循環輻值的計算提供了有利條件，利用修正S-N曲線方法來估算每條投影路徑損傷，最后通過等效推導并結合修正S-N曲線估算總損傷與疲勞壽命。

1 基于應力不變量的剪應力等效幅值的求解

要想獲得剪應力等效輻值，需要明確材料平面上的應力。如果材料平面上一點處的應力在受到多種循環荷載作用時，其應力為Sn，為了體提高剪應力等效幅值計算效率，需要合理采用分解法，將Sn應力分解成兩部分，其分別是切應力和法向應力，這兩個應力分別用τ、σn來表示,如圖1所示。

圖1 復雜周期載荷作用下材料平面上應力參量的演化

材料表面的一處應力在復雜循環載荷作用下，會發生相應的變化。其矢端在空間中形成一條閉合曲線Φ是最主要的變化之一。在這種情況下，剪應力也會隨之變化，一般情況下也會在在材料平面上也形成一條閉合曲線Ψ。這兩條曲線具有一定的關聯性，都屬于材料平面上的投影。其中曲線Ψ主要是由選取過這一點的材料面決定的。材料平面上一點在某一時刻的剪應力為τ（t），剪應力矢端在材料平面上的質點和軌跡分別是點O′和Ψ。在這種情況下，剪應力向量O→A可視為向量OO→′與向量O′→A的合成。O′A的模定義為該時刻剪應力的幅值，記做τa。OO→′的模定義為該時刻剪應力的均值，記做τm。裂紋成核主要是由材料平面上的最大剪應力幅值決定的。根據塑性力學的相關理論，切應力幅值τa的值可以用應力偏量第二不變量的值替代，對于比例載荷可以通過定義式求得，但實際遇到的載荷大都為非比例的，因此可以求解偏應力第二不變量的等效幅值替代 τa。

為了簡化計算過程，定義一組映射關系：

經過上述變化，偏應力張量Sij由6維降至5維，變成5維空間里的一個向量Si，并且有

由此可得，在數值上，等于應力偏量Sij雖然發生了變化，但其第二不變量的平方根與Si的2范數是一致的。

疲勞損傷與載荷幅值的方差有關[1]。為了使剪應力等效幅值的求解物理意義明確，在應力偏量空間中建立根據載荷幅值的方差所確定的參考坐標系對其進行求解。在變換后的5維空間中，求出應力偏量向量的協方差

其中：

求出該協方差陣的特征值及其特征向量。要想對這5個特征向量進行全面的了解，不僅要結合特征向量的幾何意義，而且還應該明確特征值。在整個一基礎上，可以認識到這5個特征向量能夠在某種程度上反映協方差矩陣的空間性質。在該過程中，應該注意，及時坐標發生了變化，其特征向量和特征值也不會發生變動。要想知道參考坐標系是否是唯一的，需要合理建立參考坐標系E0，進而明確其是唯一的。

如果荷載路徑沿著坐標系E0進行投影，通過對求各個投影路徑進行觀察和分析可知，其所有路勁都屬于時間函數。在本文為中，主要是對一段二維偏量空間中的偏量載荷路徑進行了分析。如圖2所示，是其主要的投影過程。

圖2 投影過程示意圖

通過上述方法確定的參考坐標系，在對投影過程分析的基礎上，可以了解載荷幅值對疲勞損傷的影響。所以在進行損傷估算過程中，也需要借助上面所建立的參考坐標系。在進行計算時，其主要分為兩大步驟。第一步，進行多段單軸載荷歷程引發的損傷估算；第二步需要合理計算總損傷，也就是由原載荷導致的所有的損傷。但是要想提升在復雜載荷作用下，疲勞損傷估算的準確性，還需要對載荷循環對應時段內平均應力所造成的損傷進行分析，了解其實際產生的影響。為了實現良好的損傷估算效果，該過程需要對兩段載荷時間歷程進行同步計數。文獻[2]提出了一種多軸循環計數方法，可以實現載荷的同步計數。利用該方法計出每條投影路徑載荷歷程下每個全循環的應力幅值。這條載荷路徑水應力作用和載荷路徑幅值的作用水平分別用平均值個和投影路徑下幅值的平均值進行表示。

剪應力的等效幅值為

2 基于應力不變量的多軸疲勞壽命預測模型

根據Summel提出的修正S-N曲線方法[3]，建立基于剪應力等效幅值的雙對數坐標下的修正S-N曲線，等效剪應力幅值，如圖3所示。

圖3 基于應力不變量的修正S-N曲線

考慮了平均應力與載荷非比例因素，通過靜水應力的平均值σH，m與剪應力的等效幅值的比定義修正系數ρref

對于任意載荷條件下循環次數為NA次的ρref和k（ρre）f值的獲取可以通過拉伸與純剪應力狀態時材料常數的線性組合，因此可以表示為：

根據相對Miner原理和疲勞損傷線性累積準則，任意條路徑的總損傷為

定義一條等效路徑，i條路徑只有一個載荷循環，與總損傷處于一致狀態。這條等效路徑的應力幅值為

如果將等效路徑應力幅值函數當作總損傷，其應該表示為：

根據修正S-N曲線（如圖4所示），利用Miner原理求解多軸復雜載荷作用下的總損傷。

多軸復雜載荷作用下的疲勞壽命為

圖4 多軸疲勞壽命估算的修正S-N曲線

3 試驗驗證

選用45#鋼 、30NCD16鋼進行結果驗證，試驗數據選自文獻[4，5]。材料的相關力學參數參見表1，本文壽命預測模型的相關的材料常數參見表2。壽命預測值和試驗結果的比較見圖5與圖6。

表1 材料的力學性能參數

表2 疲勞壽命預測模型的相關材料常數

圖5 SM45C鋼預測壽命與試驗壽命比較

圖6 30NCD6鋼預測壽命與試驗壽命比較

本文模型適用于單軸、多軸比例、非比例等各種加載情況，且誤差分散帶在2個因子以內，預測壽命與試驗壽命吻合較好。

4 結論

（1）提出了一種新的剪應力等效幅值的計算方法。利用應力不變量求解剪應力等效幅值時，需要對疲勞損傷估算進行充分考慮，并建立與之相應的參考坐標系，并且還需要記利用空間向量范數。

（2）提出了一種基于應力不變量的處理多軸高周復雜載荷的多軸疲勞壽命估算模型。經過試驗數據驗證，壽命預測結果與試驗結果吻合較好。