正、余弦定理在高考中的應(yīng)用

張雁

摘 要?《解三角形》是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，是高考的必考內(nèi)容，考題一般屬于中檔難度類型。正、余弦定理在解三角形問(wèn)題中，溝通了三角函數(shù)與三角形有關(guān)性質(zhì)，反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系及一定條件下的相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

關(guān)鍵詞?正、余弦定理;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：B027 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）02-0178-01

正余弦定理是反映三角形中邊與角之間關(guān)系的兩個(gè)重要定理，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系，對(duì)它們進(jìn)行靈活應(yīng)用。在解題的使用過(guò)程中會(huì)感到一種新奇與愉悅，同時(shí)也給眾多題目找到了“同一根源”。從知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上看，正、余弦定理是三角公式及變換的延續(xù)和應(yīng)用，也是對(duì)三角形面積公式等運(yùn)用的一種拓展。

一、解三角形，即利用已知邊、角，求其余邊長(zhǎng)或角問(wèn)題

正、余弦定理最常見(jiàn)的應(yīng)用就是這一種，綜合題中一般會(huì)需要使用到三角恒等變型公式對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)（化簡(jiǎn)過(guò)程中等式兩邊有公因式時(shí)，要懂得移項(xiàng)提公因式）。

例1：已知△ABC（圖1）中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c。若a=c=+，且∠A=75°，則b=（ ）

A.2?????B.4+2?????C.4-2?????D.-

分析：解三角形中，正弦定理的兩類最常見(jiàn)的應(yīng)用：①已知兩邊及其中一邊所對(duì)的角，求其余邊與角;②已知兩角和一邊，求其余邊與角;該題算是最基礎(chǔ)的應(yīng)用。

。

例2：△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分別在邊AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，使△DEF是等邊三角形（如圖2）。設(shè)∠FEC=，問(wèn)為何值時(shí)，△DEF的邊長(zhǎng)最短？并求出最短邊的長(zhǎng)。

分析：本題旨在建立邊長(zhǎng)關(guān)于角的目標(biāo)函數(shù)，求最短邊的長(zhǎng)。在三角形中，已知兩角一邊求其它邊，自然應(yīng)聯(lián)想到正弦定理。

解：設(shè)△DEF的邊長(zhǎng)為，顯然∠=90°，∠=60°，故EC=。因?yàn)椤螪EC=∠DEF+=∠EDB+∠B，所以∠EDB=。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋裕援?dāng)，即時(shí)，即時(shí)，。

二、判定三角形的形狀

在正、余弦定理中判斷三角形形狀是本知識(shí)應(yīng)用的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要有以下兩種應(yīng)用：（1）利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀;（2）利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=π這個(gè)結(jié)論。

例3：在△ABC中，若，試判斷△ABC的形狀。

分析：判斷三角形的形狀的基本思想是利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一，即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式;或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)的化簡(jiǎn)變形得出結(jié)論。本題中的已知條件中涉及到了幾乎所有邊角，為了研究方便，我們應(yīng)當(dāng)利用邊化角、角化邊方法盡量減少多余的角、邊。即，將已知條件化為只含有邊或者只含有角的關(guān)系式，即，配合三角恒等變型公式或三角形內(nèi)角和定理等將結(jié)果化為邊（或角）的關(guān)系得出，最后得出三角形形狀的結(jié)果即△ABC為等腰三角形或直角三角形。

三、求三角形的面積問(wèn)題

解三形問(wèn)題是高考大題常考的重點(diǎn)內(nèi)容，通常放在第17題，占12分。兩小題中第（1）小題通常是求邊、角問(wèn)題，第（2）小題是和三角形面積相關(guān)的問(wèn)題。

例4：在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1。

（1）求角A的大小;（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值。

分析：三角形的面積求法最常用的是利用公式去求。計(jì)算時(shí)注意整體運(yùn)算及正、余弦定理的應(yīng)用。本題因考慮化簡(jiǎn)，將已知條件中涉及三個(gè)角轉(zhuǎn)化為兩角，得，輕松得出或，因?yàn)椋浴＃?）由，得知，故。得。

四、結(jié)束語(yǔ)

正、余弦定理應(yīng)用是高考必考的考點(diǎn)，其變型式及三角恒等變型式的使用是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。在這里提及的正余弦定理的幾大應(yīng)用可以讓學(xué)生多了解該知識(shí)主要考查方向及考查重點(diǎn)。一方面考查正、余弦定理在求三解形有關(guān)量中的綜合應(yīng)用，另一方面考查利用正、余弦定理解決實(shí)際測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的能力，有時(shí)會(huì)和向量結(jié)合考查三角函數(shù)等變形等，一般屬于中檔題的它大約要用5-10分鐘的時(shí)間解決。這需要學(xué)生多練習(xí)、多積累、多歸納，以熟練掌握該知識(shí)的應(yīng)用。