聯合決策下的供應鏈供需同步庫存模型優化

李群霞

（北京科技大學東凌經濟管理學院，北京 100083）

1 引言

庫存控制在供應鏈管理中起著關鍵的作用。合理控制庫存可以滿足客戶的需求，有效設計生產計劃，降低生產和訂貨成本。由于庫存控制所涉及的環境復雜，特別在供應鏈環境下，因此許多研究學者對模型進行了簡化。Li和Liu[1]采用數量折扣方法協調隨機需求。Goyal 和Giri[2]在模型中假設需求、生產、缺陷率是變化的。Rau, Wu 和Wee[3]在不存在缺貨前提下，研究缺陷品對供應鏈庫存的影響。Wang,Lin 和Yu[4]研究了三級供應鏈庫存模型，假設有生產商、零售商和客戶，生產商只向零售商提供貨物，零售商只向客戶提供出售貨物。Wu和Ho[5]允許存在缺貨，將訂貨點作為決策變量，同時優化訂貨量、訂貨點、提前期和訂貨次數。Ouyang和Chuang[6]將補貨率作為控制參數。Ben-Daya 和Hariga[7]假設提前期參數隨訂貨量線性變化。Chandra 和Grabis[8]假設訂貨成本與提前期參數相關。Wu和Ho[9]在聯合庫存模型中考慮了缺陷生產過程和可控提前期。Huang,Tsai,Wu,和Chung[10]假設允許縮短訂貨時間和延遲付款。Huang and Hsu[11]研究兩級信用周期，其中零售商對客戶只提供部分商業信用。Chung和Wee[12]在三級庫存模型中研究了補貨機制。

與參考文獻所研究的內容有所不同，本文將深入研究客戶的訂貨庫存行為。結合客戶在訂貨點的庫存水平和客戶的需求率，將客戶的訂貨庫存行為分成三種不同的訂貨行為：缺貨行為、完全消耗行為和部分消耗行為。并根據這些不同的訂貨庫存行為，對各個供應鏈供需同步庫存模型進行比較，系列地分析在不同訂貨庫存行為下，客戶貨物消耗和生產商貨物生產對聯合庫存成本的影響、以及對訂貨量和訂貨次數的影響。具體如下：分別得到客戶的三種不同的客戶訂貨模型，分別與生產商的生產庫存模型相結合建立起不同訂貨行為下的供需同步庫存模型。在供應鏈庫存聯合決策環境下，優化供需同步庫存模型，以此獲取最佳估計結果。在此基礎上，分析和比較三種行為在優化結果和聯合庫存成本上的差異。

2 供應鏈庫存行為描述

具體涉及的參數定義見表1。圖1（a-c）分別反映客戶在缺貨行為下、完全消耗行為下和部分消耗行為下的庫存水平變化情況，圖1（d）反映生產商庫存水平的變化情況?？蛻舻男枨舐蔇為常數，在提前期L起始時，即t1時刻末為訂貨點，客戶向生產商訂貨Q件。生產商立即響應客戶的訂貨要求，開始生產產品。在L時刻末，生產商至少生產Q件產品以滿足客戶第一次需求。Q件產品會瞬時到達，客戶的庫存會及時補貨。生產商會一直生產產品，直到生產nQ件產品來滿足客戶的n次訂貨需求才結束生產。

表1 變量及其含義

圖1 客戶-生產商的庫存變化水平

3 供需同步庫存模型

3.1 客戶庫存成本

如圖1（a-c）所示，客戶的需求率D為常數，且，可得：

因此客戶的持有成本和缺貨成本為：

考慮客戶的訂貨成本為Ar，其平均庫存成本Cr為訂貨成本、持有成本和缺貨成本之和，即：

（2）完全消耗行為。如圖1（b）所示，在完全消耗行為下，有Ir(T-)=r-LD=0，即r=LD=λQ，因此式（1）條件為：

因此客戶庫存成本為訂貨成本、持有成本之和，即：

（3）部分消耗行為。如圖1（c）所示，在部分消耗行為下，有Ir(T-)=r-LD＞0，即r＞LD=λQ，因此式（1）條件為：

與完全消耗行為相同，客戶庫存成本為訂貨成本和持有成本之和，即：

3.2 生產商庫存成本

如圖1（d）所示，生產商只在0≤t≤Tm內生產了nQ件產品，在Tm＜t≤nT期間，生產商已經停止了生產。生產商每隔T時間向客戶供貨一次，每次供貨后生產庫存削減了Q件。nT時間內共供貨n次，在供貨n次后，生產庫存為0。綜上所述，生產商的庫存持有成本為：

另外生產準備成本=Am，且ρ=D/P，則生產商庫存成本Cm為

3.3 聯合庫存成本

（1）缺貨行為。先分析缺貨行為的聯合庫存成本，完全消耗行為和部分消耗行為是缺貨行為的特例，聯合決策優化方法相似。結合式（4）和（10），可得供應鏈聯合庫存成本為：

將其代入式（11），整理后得：

將式（14）代入式（12）可得：

將式（14）和式（15）代入式（11）中，可得聯合優化決策下的總平均庫存成本為：

（2）部分消耗行為。當r＞λQ=LD時，結合式（8）和（10），供應鏈聯合庫存成本可變為：

也可采用相似的聯合決策優化方法對上式求最優解：

與式（14-16）相比，上面估計公式中刪除了三項，即：r2(sr+hr)、λ2(sr+hr)和-λ(sr+hr)r。

（3）完全消耗行為。當r=λQ=LD時，結合式（6）和式（10），供應鏈聯合庫存成本可變為：

也可采用相似的聯合決策優化方法對上式求最優解：

與式（18）相比，r=λQ=LD情況下，估計等式中(hr-hm)(1-2λ)項變為hr-hm(1-2λ)，另外成本估計等式刪除了hrr項。

由式（14-15）、（18）和（20）可知，訂貨總量n*Q*在這三種客戶消耗行為下是相同的，為

4 算例分析

下面驗證聯合決策下的供應鏈供需同步庫存模型的有效性。假設客戶和生產商的庫存參數如下：

（1）一次訂貨（客戶）：Ar=100 元/次，D=2 000件/年，hr=20件/年，sr=50件/年，r=50件，λ=0.1。

（2）一次生產（生產商）：Am=10 000 元/次，P=40 000件/年，hm=10元/件/年。

表2 r＜λQ，r=λQ和r＞λQ的最優值比較

將以上庫存參數代入式（14-16）、（18）和（20），可得表2中最佳參數估計值。從表2可知，只有在r＜λQ情況下會存在缺貨現象。在現實環境中，單位缺貨成本sr要遠大于單位持有成本hr，因此缺貨現象會導致聯合庫存成本要明顯高于r=λQ和r＞λQ這兩種不存在缺貨現象的特殊情況。當r=λQ時，每次訂貨量恰好滿足客戶在這次訂貨周期內的需求，在訂貨周期末，庫存水平變為0，因此沒有留下任何產品。而在r＞λQ情況下，會存在殘余產品存放在庫存中，因此相比r=λQ情況，會產生更多的庫存持有成本，因此聯合庫存成本也要高于r=λQ情況。對于訂貨次數和訂貨量，從表中可知，訂貨總量n*Q*是相同的，與式（21）得到的結論相同。r＜λQ情況下相比r=λQ和r＞λQ需要更大的訂貨量，而訂貨次數有所減少。具體有

5 敏感性分析

5.1 α=Am/Ar對n*,Q*,C*的影響

設Am在區間[2000,4000]變化，Ar值和其它庫存參數值不變，則α=Am/Ar在區間[20,40]變化，n*,Q*,C*隨α=Am/Ar變化趨勢如圖2所示。不同行為的n*和C*值都隨α值的增大而增大，而Q*值不變。缺貨行為的n*曲線始終在最下方，而Q*曲線和C*曲線始終在最上方。相反，完全消耗行為的n*曲線始終在最上方，而Q*曲線和C*曲線始終在最下方?？梢姡耆男袨榈穆摵蠋齑娉杀咀畹停糠窒男袨榈穆摵蠋齑娉杀敬沃?，缺貨行為的聯合庫存成本最大。

圖2 α=Am/Ar對n*,Q*,C*的影響

5.2 β=hr/hm對n*,Q*,C*的影響

設hr在區間[15,30]變化，hm值和其它庫存參數值不變，則β=hrhm在區間[1.5,3.0]變化，n*,Q*,C*隨β=hrhm變化趨勢如圖3所示。三種客戶行為的Q*值都隨β值的增大而減少，而n*值和C*值都隨β值的增大而增大。缺貨行為的C*曲線斜率最大。缺貨行為的n*曲線始終在最下方，而Q*曲線和C*曲線始終在最上方。相反，完全消耗行為的n*曲線始終在最上方，而Q*曲線和C*曲線始終在最下方。同樣，完全消耗行為的聯合庫存成本最低，部分消耗行為的聯合庫存成本次之，缺貨行為的聯合庫存成本最大。

圖3 β=hr/hm對n*,Q*,C*的影響

5.3 ρ=D/P對n*,Q*,C*的影響

設P在區間[4000,8000]變化，D值和其它庫存參數值不變，則ρ=D/P在區間[0.25,0.50]變化。n*,Q*,C*隨ρ=DP變化趨勢如圖4所示。三種客戶行為的Q*值都不隨ρ值改變而改變，n*值都隨ρ值的增大而增大，而C*值都隨ρ值的增大而減小。三種客戶行為相同參數的曲線幾乎是平行的。缺貨行為的n*曲線始終在最下方，而Q*曲線和C*曲線始終在最上方。相反，完全消耗行為的n*曲線始終在最上方，而Q*曲線和C*曲線始終在最下方。同樣，完全消耗行為的聯合庫存成本最低，部分消耗行為的聯合庫存成本次之，缺貨行為的聯合庫存成本最大。

5.4 r對n*,Q*,C*的影響

設r在區間[50,100]變化，其它庫存參數值不變，n*,Q*,C*隨r變化趨勢如圖5所示。缺貨行為的n*值隨r值的增大而減小，而Q*值和C*值都隨r值的增大而增大。部分消耗行為的n*值和Q*值不隨r值變化，只有C*值隨r值的增大而增大，斜率不如缺貨行為。完全消耗行為的所有參數值都不會隨r值變化。缺貨行為的n*曲線始終在最下方，而Q*曲線和C*曲線始終在最上方。相反，完全消耗行為的n*曲線始終在最上方，而Q*曲線和C*曲線始終在最下方。同樣，完全消耗行為的聯合庫存成本最低，部分消耗行為的聯合庫存成本次之，缺貨行為的聯合庫存成本最大。

圖4 ρ=D/P對n*,Q*,C*的影響

圖5 r對n*,Q*,C*的影響

6 結論

（1）本文研究了由單一生產商和單一客戶組成的兩級供應鏈庫存問題。根據客戶消耗庫存的特點，將客戶消耗貨物行為分為缺貨行為、完全消耗行為和部分消耗行為，由此分別建立了對應行為下的客戶庫存成本函數。結合生產商庫存成本函數，建立了聯合目標函數下的供應鏈供需同步庫存模型，提出了聯合決策的優化方法，證明了這三種行為下聯合目標函數都存在最優訂貨量和最優訂貨次數。理論分析表明，完全消耗行為和部分消耗行為是缺貨行為的兩種特例。

（2）根據三種消耗行為的差異，本文進行了敏感性分析。缺貨行為的訂貨次數曲線始終在最下方，而訂貨量曲線和聯合庫存成本曲線始終在最上方，而完全消耗行為曲線恰恰相反。在缺貨行為下，客戶更傾向于更少的訂貨次數和每次更多的訂貨量，但是與完全消耗行為和部分消耗行為的訂貨總量是相同的。

（3）缺貨行為會出現缺貨現象，而單位缺貨成本要明顯高于單位持有成本，因此缺貨行為下的聯合庫存成本是最大的，要大于部分消耗行為的聯合庫存成本。另外，部分消耗行為會留下殘余庫存，因此會增加持有成本，相比完全消耗行為，聯合庫存成本有所增加，庫存成本增加量依賴殘余庫存量。因此在現實環境中，會出現商家采用打折方法掃除尾貨。敏感性分析表明，完全消耗行為的聯合庫存成本最低，部分消耗行為的聯合庫存成本次之，缺貨行為的聯合庫存成本最大。