把握“類比思想”，巧學“一元一次不等式”

◎陳 俊

第11章 一元一次不等式

領 銜 人：丁建生

組稿團隊：南京師范大學第二附屬初級中學

類比，是一種重要的思想方法，在初中數學學習中具有重要的作用。

如：我們在學習“一元一次不等式”時，就可以類比“一元一次方程”來學習。它們之間有區別，更有許多相似之處，有著緊密的聯系。下面，就“一元一次不等式”和“一元一次方程”從不同的角度作一些辨析，以幫助同學們更好地掌握“一元一次不等式”。

一、從概念上看

二者化簡后，都只含有一個未知數，且含未知數的式子都是整式，未知數的次數都為1，未知數的系數都不為零，這是它們的相同之處。不同之處在于，一元一次方程表示的是一種相等關系，一元一次不等式則表示的是一種不等關系。如：2x+3=5是一元一次方程，2x+3＞5則是一元一次不等式。

二、從解法上看

解一元一次不等式與解一元一次方程步驟完全相同，一般分為五個步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）化系數為1。我們要特別注意步驟（1）和（5），解方程時，依據的是：等式的兩邊同時乘（或除以）同一個不為零的數，所得的結果仍是等式。解不等式時，則依據：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。如：

解：去分母，得-3x+1=-2，

移項，得-3x=-2-1，

合并同類項，得-3x=-3，

化系數為1，得x=1。

解：去分母，得-3x+1≥-2，

移項，得-3x≥-2-1，

合并同類項，得-3x≥-3，

化系數為1，得x≤1。

三、從解（集）上看

一元一次不等式和一元一次方程的解（集）的共同點是：把未知數的值代入不等式或方程后，都能使不等式或方程成立；區別是：解的個數不同，一元一次方程的解一般是唯一的，對應的是數軸上的一個點，而一元一次不等式一般有無數多個解，對應的是數軸上的一條射線。如：x=1對應的是一個點，而x≤1對應的是一條射線。

四、從應用上看

1.由“解集”到“解”。

2.由“解”到“解集”。

解方程3x+4=2x-2時，易知x=-6；解不等式3x+4＞2x-2時，解集為x＞-6。顯而易見，將方程改為“相應”的不等式時，不等式的解集和方程的解中，都有相同的數字-6，因此，只要將“=”改為不等式的符號“＞”即可。但有時要考慮到符號問題，如：方程3x+4=4x-2的解為x=6，而不等式3x+4＞4x-2的解集為x＜6。雖然不等式中出現的是“＞”，但是解集中出現的是“＜”。因此，我們要關注右邊的一次項移到左邊時，和左邊的一次項合并以后的符號，若合并后為“+”，則不等號不變；若合并后為“-”，則不等號改變方向。

3.解決實際問題的思路。

在用一元一次方程和用一元一次不等式解決實際問題時，思路也是如出一轍。用一元一次方程解決問題時，主要有如下步驟：（1）審：分析已知、未知量，找出等量關系；（2）設：設適當的未知數；（3）列：列方程；（4）解：解方程；（5）驗：驗算解是否正確以及是否滿足實際意義；（6）答：規范作答，寫出正確答案。而用一元一次不等式解決實際問題時的思路，只需將上述步驟（1）中的“找出等量關系”改為“找出不等關系”，其余都一樣。

例質量為45g的某種三色冰激凌中，咖啡色、紅色和白色配料的質量比為1∶2∶6，這種三色冰激凌中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少？

【解析】本題等量關系為：咖啡色配料質量+紅色配料質量+白色配料質量=45g。若設咖啡色配料質量為xg，則紅色和白色配料分別為2xg和6xg。

由題意，得x+2x+6x=45。

解之，得x=5。

∴2x=10，6x=30。

答：這種三色冰激凌中咖啡色、紅色、白色配料的質量分別是5g、10g和30g。

【變式】某種三色冰激凌中，咖啡色、紅色和白色配料的質量比為1∶2∶6，現廠家規定這種三色冰激凌質量不得超過45g，則這種冰激凌中咖啡色配料的質量至多為多少？

【解析】本題不等關系為：咖啡色配料質量+紅色配料質量+白色配料質量≤45g。若設咖啡色配料質量為xg，則紅色和白色配料分別為2xg和6xg。

由題意，得x+2x+6x≤45。

解之，得x≤5。

答：這種三色冰激凌中咖啡色配料的質量至多為5g。

4.二者相輔相成。

一元一次方程和一元一次不等式在應用上，往往是相輔相成、密不可分的。

例抗洪搶險，某車隊向遇險段運送物資，必須在1小時內趕完120千米的路程。前半小時走了50千米，后半小時速度至少多少才能保證及時送到？

【解析】（1）對于這個問題，大部分同學理解為“前半段路程+后半段路程≥120千米”才能保證及時送到，故可設后半小時的速度為x千米/小時，則得50+x≥120。

解之，得x≥140。

答：后半小時速度至少為140千米/小時才能保證及時送到。

（2）同時，我們也可以理解為當“前半段路程+后半段路程=120千米”時，算出的后半段的速度即為最小值。所以，我們也可列方程：50+x=120。

解之，得x=140。

答：后半小時速度至少為140千米/小時才能保證及時送到。

總之，學習一元一次不等式要類比一元一次方程來學，要注意它們內在的聯系，同時也要注意兩者的區別。