數軸是一把“金鑰匙”
——利用數軸解一元一次不等式組的相關問題

◎劉玉兵

同學們在上學期已學過數軸，都知道利用數軸可以直觀地表示數，可以幫助我們理解絕對值與相反數的含義，也可以比較數的大小等。那么在解一元一次不等式組的時候，數軸有什么作用呢？它能把數與形結合在一起，將抽象轉化為直觀，快速且準確地找出解集，特別是在解一些含有字母參數的不等式組的有關問題時，優越性更大。

例1蘇科版《數學》七年級下冊第135頁例1：

解：在數軸上表示不等式x≤-1和x＜2的解集（如圖1）：

圖1

由圖1可知，不等式組的解集是x≤-1。

【點評】解一元一次不等式組分三步：求解、畫圖、定解集。第一步，分別求出不等式組中每個不等式的解集，即求解；第二步，畫數軸，分別表示出每一個不等式的解集，即畫圖；最后在數軸上找出各個不等式解集的公共部分，即定解集。書中第136頁例2、例3也是如此。

例2 解不等式組

【分析】如果一個不等式組含有兩個以上的不等式，我們同樣可以先求出各個不等式的解集，并利用數軸確定各個解集的公共部分。若有公共部分，則此公共部分即為不等式組的解集；若無公共部分，則不等式組無解。

解：解不等式①，得x＞-2，

解不等式②，得x＜4，

解不等式③，得x＞6。

在數軸上把各個不等式的解集表示出來（如圖2）。

圖2

所以這個不等式組無解。

【點評】在數軸上畫出各個不等式的解集，同學們就非常容易觀察出這三個解集沒有公共部分，從而確定這個不等式組無解。

例3（2017·宿遷）已知4＜m＜5，則關于x的不等式組的整數解共有（ ）個。

A.1 B.2 C.3 D.4

【分析】本題表示出兩個不等式的解集不難，難在題中的m不是一個準確的值而是一個范圍，但是我們如果在數軸上表示出它們的解集之后，就會很容易發現此不等式組的整數解的個數。

解：解不等式①，得x＜m，

解不等式②，得x＞2。

∵4＜m＜5，

在數軸上把各個不等式的解集表示出來（如圖3）。

圖3

∴原不等式組可取的整數解為3、4兩個。故選B。

例4蘇科版《數學》七年級下冊第141頁第14題：

（1）如果這個不等式組無解，求a的取值范圍；

（2）如果這個不等式組有解，求a的取值范圍。

【分析】結合數軸，若不等式組無解，說明屬于x＜a與x＞1的解集沒有公共部分，那表示a的點應在1的左邊和1這一點，因此a的取值范圍為a≤1；若不等式組有解，則與（1）的情形相反，a應取除a≤1以外的數，即a＞1。這兩問在解題過程中需要注意字母的取值范圍是否包括端點。

解：把x＞1的解集在數軸上表示（如圖4）。

圖4

（1）若不等式組無解，則a≤1；

（2）若不等式組有解，則a＞1。

例5（2018·泰安）不等式組有3個整數解，則a的取值范圍是（ ）。

A.-6≤a＜-5 B.-6＜a≤-5

C.-6＜a＜-5 D.-6≤a≤-5

解：由x＜-1，

解得：x＞4，

由4（x-1）≤2（x-a），

解得：x≤2-a，

故不等式組的解為：4＜x≤2-a，

由原不等式組有3個整數解，故這3個整數解只能是5、6、7。

由數軸可確定2-a的范圍（如圖5）。

圖5

解得：7≤2-a＜8，

進而解得：-6＜a≤-5。

故選：B。

【點評】本題的難點之一是不等式組中有字母參數，但這不難解決；難點之二是把2-a看成一個整體，然后根據原不等式組解的情況在數軸上確定2-a的范圍，首先應在7與8之間，其次判斷是否包括端點7和8，這時數軸的優勢就不言而喻了。

以上五例由淺入深、由易到難，我們發現數軸在解一元一次不等式組中的作用既簡捷直觀又快速準確。希望同學們抓住這把“金鑰匙”，在數學學習中注意數形結合思想的運用，更好地享受數學帶給大家的快樂。