善于轉換 學會轉化

◎丁建生

數學學習既要熟練掌握基礎知識，還要有快速、全面、有效解決問題的能力。我們面對問題，要能善于轉換，如直接與間接的轉換、特殊與一般的轉換、局部與整體的轉換等，以實現問題由隱性向顯性、未知向已知、新向舊、難向易的轉化。下面以一元一次不等式中的問題為例，說明如何通過恰當的轉換，使問題不斷轉化，最終順利、簡捷地解決問題。

一、將間接轉換為直接

例1 運行程序如圖所示，規定：從“輸入一個x”到“結果是否＞95”為一次程序操作，如果程序操作進行了三次才停止，那么x的取值范圍是_____。

【解析】根據程序規定得：

第一次操作結果為2x+1，

第二次操作結果為2（2x+1）+1=4x+3，

第三次操作結果為2（4x+3）+1。

操作三次才停止，意味著4x+3的值沒有大于95，2（4x+3）+1的值大于95。

解得11＜x≤23。

例2已知x=2是不等式（x-5）（ax-3a+2）≤0的解，且x=1不是這個不等式的解，求實數a的范圍。

【解析】x=2是不等式的解，說明x=2滿足不等式，即（2-5）（2a-3a+2）≤0。

x=1不是不等式的解，說明了什么？說明如果將x=1代入不等式，不等式（1-5）（a-3a+2）≤0不成立，那么它的反面就成立，即（1-5）·（a-3a+2）＞0，

解得1＜a≤2。

【反思】例1中首先要能將每次的“程序操作”轉換成數學符號（數學化的表達），其次要能將“三次才停止”正確地轉換成不等式（組）；例2的關鍵在于正確理解“解”的含義，將“x=1不是這個不等式的解”轉換成一個“反向”不等式（1-5）（a-3a+2）＞0。

二、將局部轉換為整體

例3若關于x、y的二元一次方程組的解滿足x+y＞-，求出滿足條件的m的所有正整數值。

【解析】常規思路是將m當作已知數，解關于x、y的方程組，再將x、y代入x+y＞ -中，得到關于m的不等式，進而求解。

但，這不是最好的方法。如果從整體出發，我們所關心的是x+y，依靠它建立不等式。通過觀察方程組中兩個方程系數的特征，將其左、右兩邊分別相加得3（x+y）=-3m+6，

【反思】解決問題的過程中，有時我們需要不為局部、細節所困擾，當著眼于整體，就會收到方便快捷、“柳暗花明”的效果。

三、將特殊轉換為一般

例4 你會用已學的知識解下列不等式嗎？

（1） ||x-5 ＜3；

（2）（2x+1）（x-2）＞0。

【解析】乍看起來，問題似乎超越了我們的學習范圍。我們可嘗試轉換為最簡的一般性問題來思考、認識。

對于題1，就是求當a為何值時， ||a＜3。絕對值有兩種方法處理，一是分類討論：當a≥0時， ||a=a，則原不等式就變為a＜3；當a＜0時， ||a=-a，則原不等式就變為-a＜3。

二是根據絕對值的幾何意義：在數軸上數a表示的點到原點的距離小于3，則a在-3、3之間，即-3＜a＜3。

對于題2，就是a、b為何值時ab＞0，

依據上面的轉換分析，題1的解答有兩種：

（方法一）當x-5≥0，即x≥5時，

原不等式就變為x-5＜3，所以5≤x＜8，

當x-5＜0，即x＜5時，

原不等式就變為-（x-5）＜3，所以x＞2，

綜上，原不等式解集為2＜x＜8；

（方法二）根據 ||x-5的幾何意義，數x表示的點到數5表示的點的距離小于3，則x必在2和8之間，即2＜x＜8。

【反思】解決本題的關鍵是對問題進行了一般化的認識，抓住了問題的本質與核心。

同學們可運用類似的方法解下面的不等式：

四、將未知轉換為已知

例5已知實數x、y滿足2x-3y=4，并且x≥-1，y＜2，現有k=x-y，求k的取值范圍。

【解析】x、y的范圍是確定的，k是未知數，k的范圍需要我們求解。

我們可將字母k視為“已知”，這樣可得到關于x、y的方程組

再由x≥-1，y＜2，

這樣可解得1≤k＜3。

【反思】當把未知數k視為“已知”時，x、y就都可以用k來表示，再依據已知的x、y的范圍建立起關于k的不等式組。利用這種方法，我們可解決下列同類問題。

變式1：3a2+5 ||b=7，s=2a2-3 ||b ，求s的取值范圍。

變式2：已知非負數a、b、c滿足條件3a+2b+c=4，2a+b+3c=5，設S=5a+4b+7c的最大值為m，最小值為n，求m-n的值。

同學們，試試看！

數學解題的過程其實就是將問題不斷轉換、轉化的過程。如，把實際問題中的生活語言轉換成數學語言、生活問題轉換成數學問題（數學化過程）。抽象與具體、數與形、綜合與部分、一般與特殊、正面與反面等的相互轉換，需要同學們具有敏銳的數學眼光、豐盈的數學智慧，用心感悟、不斷積累。