例談具體函數抽象化解題

雷亞慶

我們在解決抽象問題時往往把它具體化，便于理解，但是有些具體函數的問題被繁雜的表象掩蓋了本質，或解法很明確，卻面臨繁瑣的化簡與運算.而這時我們反其道而行之，把具體函數抽象化，利用函數的基本性質來解決問題，往往會收到事半功倍的效果.

例1 定義在（-1，1）上的函數f（x）=-5x-sinx，如果f（1-a）+f（1-a2）>0，則實數a的取值范圍為_____.

分析 如果直接導入解析式則所得不等式為

-5（1-a）-sin（1-a）+[-5（1-a2）-sin（1-a2）]>0.

面對這樣復雜的不等式，我們只能望洋興嘆，但如果我們改變思維習慣，利用函數的單調性（問題的本質所在）將其轉化為抽象不等式求解，則會大大簡化.

解 函數y=-5x在（-1，1）上是減函數，因為（-1，1）C[-π/2，π/2]，函數y=-sinx在（-1，1）上是減函數，所以f（x）=-5x-sinx在（-1，1）上是奇函數，且是減函數.

則f（1-a）+f（1-a2）>0可化為f（1-a）>-f（1-a2），即f（1-a）>f（a2-1），

解得1

所以實數a的取值范圍為（1，√2）.

例2 已知函數f（x）為奇函數，且x>0時，f（x）=x，且Vx∈[t，t+2]，都有f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t的取值范圍.

分析本題可以轉化為二次函數問題中的恒成立問題解決，但需要分類，解答會.很繁瑣，如利用抽象函數的單調性解決則容易得多.

從而可以推出函數在R上為單調增函數，且對任意的x∈R，都有2f（x）=f（v2x），所以問題轉化為：

巳知抽象函數f（x）在R上單調遞增，且對任意的x∈[t，t+2]，都有f（x+t）≥f（√2x）恒成立，求t的取值范圍.

由函數單調性得x+t≥v2x在[t，t十2]上恒成立，

即（√2-1）x≤t在[t，t+2]上恒成立.因為h（x）=（√2-1）x在[t，t+2]為增函數，

所以h（x）max=h（t+2）=（√2-1）（t+2），

所以有（V2-1）（t+2）≤t，

解得t≥/2.

例3設函數f（x）=-（x+1）2+sinx的最大值為M，最小值為m，則M+m=_____.

分析該組合函數的最值很難直接求出，如果我們把原函數分解為一個奇函數與常數的和后，利用奇函數的圖象與性質則可順利解決問題.

平時解題中我們更習慣利用具體函數來幫助理解抽象函數問題，而上述問題則反其道而行之，把具體問題抽象化，利用函數的基本性質來解決問題.通過這樣的逆向思維，可以加深對函數性質的理解，完善知識結構，形成良好的思維習慣.

鞏固練習

1.已知函數f（x）為奇函數，且x>0時，f（x）=x2，且Vx∈[-2，2]，都有f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t的取值范圍.

2.已知定義在（-1，1），上的函數f（x）=sinx+2x，且有f（1十a） +f（a）<0，求a的取值范圍.

參考答案

1.[2√2-2，+∞）.

2.（-1，-1/2）.