基于分數布朗運動跳-擴散過程的期權定價模型分析

馬輝 李揚

摘 要：本文梳理了金融資產定價問題中基于分數布朗運動跳-擴散過程的期權定價模型發展歷程，闡述目前的國內外研究現狀和發展趨勢.闡明主要研究方向.

關鍵詞：分數布朗運動;期權定價;跳-擴散過程

引 言

金融資產定價問題是金融工程的核心問題之一，產品價格的確定和預測一直是理論界和實務界學者們研究的熱點問題，其中對股票價格變化規律的研究，更是從事該領域研究的學者關注的課題.隨著我國金融市場日趨完善，股票引起了越來越多投資者的興趣，已經成為了與基金、存款、保險同等重要的理財方式.股票市場在金融投資領域占有著重要的地位.

在股票市場中，股價的波動是投資者最為關心的問題，這是因為投資者的風險和收益是由股價的波動幅度引起的.股價的波動分為連續的波動和不連續波動兩種情形，其中，連續的波動受到市場信息的不準確、發行股票公司的經營狀況、投資者認識的差異等因素影響.不連續的波動來自與某些未知的經濟或社會因素，比如戰爭、金融危機、重大政治事件等.因此股票價格的變動行為是一個隨機變化的復雜過程，需要借助數學工具才能夠進行深入的研究.同時對股票價格形成機制與變化規律的理論研究一直伴隨著金融經濟學的發展，并由此帶動證券市場和其它理論的發展，如市場的有效性理論、資本資產定價理論、市場均衡理論、期權定價理論等.其中期權定價問題是金融數學中的核心問題之一，股票的價格模型是期權定價的基礎，所以建立合理的股票價格模型尤為重要.

1股票價格理論的發展

從金融經濟學歷史發展的角度來看，對股票價格模型的理論與方法的研究主要體現在以下三個方面.

首先是股票價值理論.Iring（1930）最早提出了在確定性條件下價值評估體系.Willianms（1938）提出了金融領域最常見的定價公式股利貼現模型，之后發展起來的諸如自由現金流理論、相對估價法、剩余收益模型等相關理論都可以看成是股票價值理論[1].

其次是現代投資理論，Markwitz發起的資產組合選擇理論，WilliamSharp（1964） JohnLint ner（1965） JanMossin（1966）根據Markwitz理論在一般均衡框架下提出的資本資產定價模型;Black和Scholes（1973）運用無套利假說提出期權定價模型等可以視為現代投資理論;Ross（1976）構造了被后人稱為“資產定價基本定理”的套利定價模型[2].

再者是當代股票定價理論.Engle（1982）提出了自回歸條件異方差模型（ARCH），隨后國內學者的研究主要集中在利用這族模型的模擬和特征描述.Barrett在美國貨幣指數中發現了維數為1.5 左右的奇怪吸收因子，在金融時間序列數據中建立了確定性混沌力學系統.Peter（1994），Racherds（2000）等都證實了金融市場的分形特征以及其它非線性特征，如非正態性，長期記憶性，過度波動性等.貢獻最為突出的是HershShefrin（2004）出版的《資產定價行為方法》，提出了對資產定價統一和系統的方法[3].

當下國內外學者對股票價格理論的研究主要包括兩個方面，一是依據從非線性模型和混沌理論以及分形理論，利用神經網絡和模糊系統對股票價格進行研究.二是借助分數布朗運動的相關理論通過分形性質對股票價格進行研究.

從期權定價的角度，學者都在利用布朗運動的相關理論對股票價格進行研究，并取得了突破性的進展.利用布朗運動建立起的股票價格模型存在兩個主要缺點：一是股票價格是一個正態分布的隨機變量，那么股票價格就可能出現負值，與實際不符;二是增量是相互獨立同分布的，這個假設也不合理.從獨立增量性質方面，把布朗運動推廣為一般的增量不獨立的高斯過程，如分數布朗運動等;期間經歷了算數布朗運動模型，與布朗運動相比，在整體漂移和方差方面有所改善，但是沒有改變股價為負值的情況;再到幾何布朗運動模型，由Black，Scholes首次提出相關理論（B-S定價理論），B-S期權定價模型是20世紀金融領域的重大發現，引領了一場新的金融革命，促進了金融學的發展.它假定股票價格服從幾何布朗運動，建立在有效市場假說的基礎上，認為股票的價格波動相互獨立，其收益率是獨立同分布的隨機變量，且服從正態分布，較好地克服了布朗運動和算數布朗運動的缺陷[5].然而后續研究人員發現股票價格變化不呈現正態分布，而是一種尖峰厚尾的分布，這就意味著忽略了股票大漲大跌等極端情況的發生，并且股票價格對數也并非嚴格服從正態分布，同時忽略了股票價格具有長期依賴性和自相似性， 因此近年來許多學者開始對B-S定價理論進行修正， 主要有兩種思想：一是保持基本假設不變， 將股票價格波動率的“微笑曲線”特征歸結于市場的摩擦和扭曲;二是重新對波動率進行修正的模型，其主要思想是向模型中引入更多的隨機因素，如跳--擴散過程、隨機波動率模型等.分形理論開始進入金融經濟學之后， 股票定價理論得到了快速的發展，建立并推廣了諸多股票價格模型，如幾何分形布朗運動、帶跳和擴散的分形布朗運動模型等.分形理論的引入，使得股票定價模型和期權定價模型得到了長足的發展，現在很多學者仍然朝著這個方向不斷地前行，他們期待利用分形布朗運動的特殊形式--分數布朗運動.在股票價格理論研究和期權定價方面取得突破.由于分數布朗運動既不是Markov過程也不是半鞅，古典隨機積分不能夠處理含有分數布朗運動的積分，這也帶動了現代隨機積分理論的發展.其次是從高斯性質方面，將其推廣到一般的獨立增量過程，如Levy過程，一維的布朗運動是Levy過程特殊形式，也有很多學者從事基于Levy過程的股票價格研究.但基本的理論和方法與前面所述基本一致， 這里不再贅述.

再者推廣為復合的過程，如跳——擴散過程、重布朗運動等.充分利用布朗運動理論的隨機性描述股票價格變動，即在模型中引入隨機的跳躍與擴散變量，使得模型更能反映股票價格的實際變化形態.特別是股票價格變動過程出現奇異點時，這類模型對股票價格的預測與描述要相對準確一些，如突發事件引起的股票價格突然下跌，利好消息引起的股票迅速上漲，都可以通過在模型中加入泊松過程來描述，把股票價格的變動行為變成布朗運動和泊松過程共同驅使的形式.很多學者投入這項工作中來， 或是改進模型中布朗運動形式，如利用幾何布朗運動、分數布朗運動、分形布朗運動等;或是改進泊松過程，增加更為復雜的跳躍形式，如補償的泊松過程、時齊非時齊的泊松過程等，都建立了相關的理論體系.

2、跳-擴散過程模型分析.

分形布朗運動是B. B. Mandelbrot 和Van Ness首先提出的，用于模擬各種具有分形特征的噪聲等.Edgar Peters提出了分形市場假說. Peters應用R/S 分析法分析了不同資本市場如股市收益率、匯率， 都發現了分形結構和非周期循環， 證明資本市場是非線性系統.分形布朗運動的引入，使得股票定價和期權理論得到了長足發展，使得資本資產定價模型和期權等衍生品定價公式得到了發展. Cipiran.N建立了基于分數布朗運動模型給出了期權定價的分數B-S 公式，McCulloch 提出穩定分布下的期權定價公式， 而Decreusefond 和Ustunel運用路徑依賴積分發展了基于分形布朗運動的期權定價公式， 從而為分形市場假說條件下權證定價奠定了基礎.Duncan、Hu 、Pasik-Duncan推導出Hurst 指數屬于（0.5，1） 時基于Wick 算子的分形布朗運動積分， 并證明分形布朗運動假設下市場是無套利的， 從而推導出分形布朗運動下歐式看漲期權的定價模型. Beckera S對這一類跳--擴散過程模型的參數進行了有效的估計[6].

3.基于分形布朗運動理論下的股票價格研究

采用分形或分數布朗運動對B-S期權定價公式中的股票價格運動模型進行修正.周孝華通過分析布朗運動與分形布朗運動的仿真過程，首次提出并論述了分形布朗運動是股價行為的高度逼真. 提出分形維納過程的概念并利用它推導出不付紅利股票價格所遵循的含分形維納過程的微分方程， 并進行了實例計算. 考慮了股本稀釋效應，權證執行的“稀釋效應”以及“紅利分配”，分形理論等問題進行了修正.

4. 股票價格服從混合過程的定價模型

很多學者在股票價格服從分數布朗運動的基礎上，對模型引入更加符合實際變化的跳躍過程.在股票價格服從混合過程前提下研究了期權定價模型.如無風險利率、波動率和預期收益率為時間的非隨機函數，用保險精算方法，給出兩值期權定價公式.對非高斯過程和非馬爾可夫情況下的期權定價理論的探討，進行了修正.對B-S 期權定價模型進行了深入研究，總結了比較流行的定價方法即偏微分方程、解析近似方法、二叉樹方法、有限差分方法和Monte-Carlo 模擬法等.利用隨機利率和多因素影響進行了期權定價研究[7].在B-S 模型引入了一個跳過程， 得出稀釋調整后的股本權證定價公式， 并將其推廣到支付紅利狀況下權證定價模型.帶有泊松跳過程的股票價格模型和期權定價模型.以上研究實質上主要是對B-S 模型在分數布朗運動基礎上的修正與拓展.

5.結論

當下國內外學者們對股票價格的研究實際上依據股票市場的分形性質，利用分數布朗運動來描述股票價格運動過程，并在模型中加入跳躍變量，描述波動形式，即為分數跳--擴散過程.它也是當下標的資產定價和期權定價利用和討論的重點模型，特別是對跳-擴散過程的修正問題尤為重要.

參考文獻：

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[2] Black F， Scholes M.The pricing of options and corporate Liabilities[J]. Journal of Political Ecomomy， 1973， 81（2）：635-654.

[3] Merton R C. Continuous-Time finance[M]. Cambridge M A：Blackwell Publishers， 1990.

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[6] 林漢燕.分數布朗運動模型下美式兩值期權的定價[J].數學的實踐與認識，2018，48（16）：291-296.

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基金項目：吉林省教育廳“十三五”科學技術研究項目 （JJKU20170338K）