一類遞推數(shù)列與函數(shù)不等式的高考壓軸題

劉智強(qiáng)

(浙江省紹興市稽山中學(xué) 312000)

數(shù)列遞推關(guān)系與函數(shù)不等式的綜合問題，主要涉及數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，需要利用不等式加強(qiáng)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法，具有泰勒展開等高等數(shù)學(xué)背景，綜合考查學(xué)生推理論證、分析問題和解決問題能力，近年來一直是高考數(shù)學(xué)壓軸問題和命題熱點(diǎn).

題目(2017浙江省高考數(shù)學(xué)試題22)已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*). 證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，

(1)0

證明(1)方法一：首先用數(shù)學(xué)歸納法證明xn>0.

當(dāng)n=1時(shí)，x1=1>0.

假設(shè)n=k時(shí)，xk>0.

那么n=k+1，用反證法證明，若xk+1≤0，則00.

因此xn>0(n∈N*).

又因?yàn)閤n=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1，

所以0

評注與自然數(shù)有關(guān)的命題，考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.在數(shù)學(xué)歸納法這一步n=k+1，由于關(guān)系式xk=xk+1+ln(1+xk+1)，xk+1不方便用xk，所以采用反證法證明.

方法二：構(gòu)造函數(shù)

設(shè)f(x)=x+ln(1+x) (x>-1),

所以f(x)>0?x>0，f(x)<0?x<0.

因?yàn)閤n=xn+1+ln(1+xn+1)，所以xn與xn+1同號.

因?yàn)閤1>0，所以xn+1>0，所以xn+1+1>0，所以xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0，所以xn>xn+1，所以0

評注站在函數(shù)觀點(diǎn)看問題，從關(guān)系式xn=xn+1+ln(1+xn+1).構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ln(1+x)，利用函數(shù)的單調(diào)增加性及x1>0，推到xn+1>0，再利用已知關(guān)系式證明，xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0.

方法三：xn=xn+1+ln(1+xn+1)(xn+1>-1).

xn

(2)方法一：利用構(gòu)造函數(shù)，由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得

xnxn+1-4xn+1+2xn

記函數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0).

方法三：

(3)因?yàn)閤n=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,