考慮隨機效應的兩階段退化系統剩余壽命預測方法

張鵬　胡昌華　白燦　張優　張建勛

摘要：針對退化過程呈現兩階段特征的隨機退化系統剩余壽命預測問題，建立兩階段維納過程退化模型，并引入隨機效應描述樣本間差異性。基于時間一空間變化方法以及變點處退化值的隨機特性，給出首達時間意義下系統壽命分布解析表達形式。提出一種基于期望最大化（expectation maximization，E"算法和貝葉斯理論的模型參數離線辨識和在線更新算法。最后，結合液力耦合器（liquid coupling device，LCD）的實際退化數據，驗證所提方法的可行性與有效性，并說明其工程應用價值。

關鍵詞：兩階段維納過程;剩余壽命預測;期望最大化算法;貝葉斯方法

中圖分類號：TB114.3;TP202 文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）01-0001-07

0 引言

隨著現代科學技術的飛速發展，工業設備產品呈現出集成化、智能化、復雜化的發展趨勢，功能增強的同時給設備的可靠性研究帶來了新的挑戰。設備在運行過程中不可避免地受到外部環境和內部因素的隨機影響，導致性能下降乃至退化失效，對于此類隨機退化系統，采用隨機過程為基礎的退化建模方法進行壽命預測是很好的選擇，其中基于Wiener過程的建模方法由于其良好的數學性質在退化建模和壽命預測中得到廣泛應用[1]。

目前大多數基于隨機過程退化建模的文獻認為系統在退化過程中遵循單一的隨機退化模型，而在工程實踐中由于退化機理的復雜性、環境因素的影響、系統工作狀態的改變等，一些設備和產品的退化速率以及數據波動程度呈現出兩階段甚至多階段特性[2]。例如，液力耦合器的退化過程可分為兩個階段[3]，第一階段迅速退化，然后在第二階段緩慢退化至失效，與之類似的有激光發射器[4]、等離子顯示板[5-6]、有機發光二極管[7]、加速度計[8]等;也有像銼電池[9]等開始時經歷一個平穩退化期，隨著充放電的進行，由于固體電解質層在電極上的生長以及副反應導致的活性材料的損失，導致銼電池容量在后一階段迅速衰落。

對于此類存在變點的兩階段隨機退化系統進行退化建模和壽命預測研究，已有不少學者關注并取得一定進展。Wang等[3提出在變點前后液力耦合器的退化分別使用伽馬過程和維納過程來控制，在此基礎上詳細討論了實時可靠性評估和參數估計問題。Bae等[6]在對等離子顯示板的退化研究中引入帶有變點的隨機系數對數線性模型，并用極大似然估計方法得到其壽命分布。Wang等[7]提出了一種以貝葉斯框架為主要內容的變點維納過程模型，用于有機發光二極管的退化預測，與最大似然法相比分段貝葉斯方法表現出更強的魯棒性。Chen等[10]在兩階段對數線性模型的基礎上進行改進來描述滾動球軸承的分段退化過程，并用貝葉斯方法更新模型參數進行壽命預測。Yan等[11]用兩階段維納退化過程對液力耦合器的進行可靠性評估，基于赤池信息準則和殘差平方和標準估計變點。

盡管兩階段退化模型取得了一些理論與實際應用成果，但是仍然存在一些問題有待研究和解決。考慮到同批次產品之間存在差異性，其變點處的退化量以及兩個階段的退化模型參數都會存在一定的差異，目前僅有很少一部分文獻[12]考慮該問題。此外，現有文獻中通常假設變點處的退化量已知或其分布函數能夠從歷史數據統計得到，這會需要大量的歷史退化數據[10]。實際上，由于第一階段退化的不確定性，在退化過程達到變點前，變點發生處的退化量未知，并非一個確定值或期望值，是與第一階段退化模型相關的隨機變量，在進行首達時間意義下的剩余壽命預測時，必須考慮這一點。

綜上本文在兩階段維納退化模型的基礎上，引人隨機效應來描述樣本間的差異性，研究了剩余壽命預測中的模型參數的離線辨識和在線更新算法，最后通過液力耦合器的實例研究驗證了本文所提方法可以有效實現對兩階段退化設備的剩余壽命預測。

1 兩階段Wiener過程退化模型

1.1 退化模型的假設

假設1 系統性能退化過程呈現兩階段特征，存在變點，變點前后兩個階段退化速率存在顯著差異。

假設2 在各個階段，系統的退化過程{X（t），t≥0}服從獨立的線性Wiener過程：

X（t）=x⁰+μt+σB（t）（1）其中x⁰是初始退化量，μ和σ分別是漂移系數和擴散系數，{B（t），t≥0}為標準布朗運動，反映退化過程的隨機動態特性。

假設3 系統的壽命定義基于隨機過程的首達時間概念[13]，當性能退化量首次超過失效閾值ω時產品失效，即有：

T=inf{t：X（t）≥ω|X（o）<ω}（2）

失效閾值ω根據實際工程要求給定。那么對于一個運行中的設備，其在時刻t_k處的剩余壽命L_k為

L_k=inf{l_k：X（l_k+t_k）≥ω|X（t_k）<ω}（3）

1.2 兩階段Wiener過程退化模型

基于以上假設，對于此類存在變點的隨機退化系統可以建立兩階段Wiener過程退化模型：

X（t）=x⁰+μ₁t+σ₁B（t），0

x_τ+μ₂（t-τ）+σ₂B（t-τ），t>τ（4）其中，x⁰表示退化過程初值，為簡化計算常假設初始退化量x⁰=0;X_τ表示第二階段退化初值即變點處的退化量，τ表示變點發生時間;μ₁和σ₁分別表示第一階段退化過程的漂移系數和擴散系數，μ₂和σ₂分別表示第二階段退化過程的漂移系數和擴散系數。

2 剩余壽命估計

在工程實際中，受產品材料、制造工藝差異和工作環境變化等因素的影響，同批次產品的退化特性通常會存在個體差異性[1]，即退化軌跡有較大相似性，但是各個產品的退化數據對應的退化率是不一樣的。為反映這種樣本間差異性所導致的隨機效應，在此采用文獻[1]，14]中的方法，將退化模型中相關參數隨機化，定義式（4）中漂移系數μ₁和μ₂為隨機參數表征個體差異性，并分別服從正態分布N（μ_α，σ_α2）和N（μ_β，σ_β2），σ₁和σ₂為確定性參數。為簡化問題，假定變點發生時間固定，若變點處的退化量XT已知，根據文獻[15]中Wiener退化過程壽命分布，可得兩階段退化過程壽命的PDF如下：

事實上，在變點未出現時，變點處的退化量是未知的，這對計算第一階段壽命的PDF沒有影響。但是在計算第二階段壽命的PDF時，根據首達時間的概念，要計算退化過程在（x_τ，∞）失效概率，需保證退化過程在（0x_τ）上未超過失效閾值，因此為得到壽命的PDF，必須考慮首達時間意義下x_τ的分布，即在X（t）<ω條件下經過時間τ退化量從0到x_τ的轉移概率。

首先假設系統在變點發生前就已經失效，即壽命T<τ，此時系統退化過程可看作單一的線性退化過程，壽命的PDF仍按式（5）中所示不變。

系統在經歷變點后失效，即壽命T>τ，此時系統退化過程用建立的兩階段維納退化過程模型描述。

引理1[16]對于兩階段退化過程，如果漂移系數μ1和μ2分別服從正態分布N（μ_α，σ_α²）和N（μ_β，σ_β²）來描述樣本間的差異性，用g_τ（x_τ|μ_α，σ_α）表示經過時間t從0轉移到x的轉移概率，那么壽命的PDF有如下形式：

其中：

若已知當前時刻t_k的退化狀態x_k，用l_k表示系統的剩余壽命，f_L（l_k）表示系統剩余壽命的PDF，在隨機退化速率μ₁和μ₂的影響下，可獲得基于兩階段維納過程退化模型的系統剩余壽命的PDF。

情況1：當前時刻tk在變點前，即t_k<τ。此時系統失效模式仍可能有兩種。

1）在變點前失效，此時剩余壽命PDF為

2）在變點后失效，即t_k<τ且l_k+t_k>τ，此時剩余壽命PDF與式（6）、式（7）有類似的形式，在此不再贅述。

情況2：當前時刻t_k在變點后，即t_k>τ，此時剩余壽命PDF為

3 模型參數的估計與更新

3.1 基于EM算法的離線參數估計

假設存在同一批的n個隨機退化設備，分別對應了n組退化數據，即X={X₁，X₂，…，X_n}。其中X_i={x_i，0，x_i，1，…，x_i，m_i}表示第i個設備在時間{t_i，0，t_i，1，…，t_i，mi}上的監測值。在實際工程中，常采用等時間間隔采樣來收集數據，那么為簡化問題，令Δt=t_ij-t_i，j-1，小此外，為了描述樣本間差異性，假設兩階段的漂移系數為隨機變量。值得注意的是，對于某一單個退化設備而言，所有參數都應是常值參數，即這種隨機性僅反映了樣本間差異性。

E步：計算其中，表示基于觀測數據X在第k步的估計值。

M步：計算對其求偏

下面給出第k+1步的參數估計結果：

由EM算法的性質可知，最后退化模型的參數估計是收斂的，通過迭代E步和M步直到滿足某一收斂判據時終止，由此得到對應的參數估計值。

3.2 基于貝葉斯理論的在線參數更新

在本小節中，主要針對某一運行中的退化設備，如何根據離線參數估計得到的先驗信息和當前運行信息來更新參數估計結果。定義當前時間為t_k，而當前運行設備從時間t⁰～t_k獲取的退化數據為X_0：k={x₁，X₁，…，x_k}，注意到，如果變點未出現，即t_k≤τ，也就是說退化仍處于第一階段且尚無當前設備的第二階段退化數據，那么僅需根據收集的退化數據來更新第一階段模型參數;與之相反，若變點已經出現，即t_k>τ，那么僅需要更新第二階段模型參數。

令μ_α，0，σ_α，0，μ_β，0，σ_β，0表示μ₁，μ₂的先驗信息。若t_k≤τ，可利用收集得到的當前設備運行數據進行參數更新。根據貝葉斯理論，有如下結果：

由于p（X_0：k|μ₁）和p（μ₁）服從正態分布，那么根據共軛正態分布的性質，可得到后驗分布為

類似地，若t_k>τ，可利用當前運行設備退化數據更新參數μ₂，由于第一階段數據與第二階段模型無關，因此僅需要數據X_τ：k={x_τ，x_τ+1，…，x_k}用于更新：

4 實例研究

本文所提方法在應用場景下模型參數的離線估計和在線更新以及設備可靠性評估步驟流程如圖1所示。

以液力耦合器為研究對象，按照上述設備模型參數的估計更新以及壽命預測的步驟，對文中提出的模型進行實例研究。圖2描述了5臺液力耦合器的振幅隨時間的變化情況[3]。從圖中可以看出，退化數據呈現出明顯的兩階段退化特征。本文采用LCD₁、LCD₃、LCD₄、LCD⁵4組數據用于離線參數估計，并將估計得到的模型參數作為先驗信息用于之后的在線參數更新和剩余壽命預測。此外，假設LCD₂的退化數據作為當前設備的運行信息用于在線參數更新和剩余壽命預測的校驗。

首先，根據EM算法離線估計得到參數μ_α，σ_α²，μ_β，σ_β²，σ₂²的估計值。

如圖3所示，藍線表示在EM算法中給定的100組不同的模型參數初值，綠線表示最終迭代結果，最終模型參數均收斂至如下結果：μ_α=0.2043、σ_α=0.0091、μ_β=0.0111、σ_β=0.0010、σ₁=0.0869、σ₂=0.0122，其中變點發生時間為τ=90d。實驗表明本文所提算法的可行性和穩定性。從參數估計結果可以看出，第一階段模型參數明顯異于第二階段模型參數，這也說明了退化呈現兩階段的特征。進一步，利用離線參數估計結果作為先驗信息，結合LCD₂退化數據進行在線參數更新，結果如圖4、圖5所示。

接下來，根據在線參數估計的結果，對剩余壽命進行估計。規定當振動振幅超過閾值36mm時，液力耦合器發生失效。LCD₂的剩余壽命預測結果和均方根誤差如圖6、圖7所示。從中可以看出，本文所提方法能夠有效預測LCD的剩余壽命。整體上看，隨著運行時間的增加，壽命預測結果愈加精確，但當退化率發生較大波動時，預測結果誤差稍有增大。在圖7中反映為從330～390d，均方根誤差有增大趨勢，當退化率穩定波動較小時，誤差不斷減小。根據壽命預測結果，為保證設備的運行可靠性，在設備失效前及時對設備進行維修替換活動，從而避免財產損失和事故發生。

5 結束語

本文結合工程實踐中設備退化過程存在變點，變點前后退化特征顯著差異的問題建立了兩階段維納過程退化模型進行剩余壽命預測研究，重點闡述了模型參數的離線辨識和在線更新算法，最后通過液力耦合器實驗數據驗證了其可行性和有效性。

1）引入隨機參數描述樣本間差異性，得到首達時間意義下兩階段系統剩余壽命分布的解析表達形式，實現剩余壽命的在線實時估計。

2）提出基于EM算法的參數離線辨識和基于貝葉斯理論的參數在線更新算法，實現設備的實時可靠性評估，為維修替換決策提供依據。

本文研究的兩階段退化模型是多階段模型的基礎，基于多階段模型的退化建模與剩余壽命預測問題可在本文研究結論的基礎上拓展推廣得到。下一步工作將繼續研究多階段退化問題以提高方法的普適性和應用價值。

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