振動系統PID零極點配置理論

王見　王作學　張波

摘要：為實現振動系統閉環零極點的任意配置同時避免振動系統成為奇異系統，該文提出將積分反饋引入經典動柔度振動控制方法的主動振動控制方法。首先將PID輸入反饋引入多自由度線性系統自由振動方程，經拉普拉斯變換，由Sherman-Morrison公式得到閉環系統柔度矩陣。由于此時閉環系統為正定系統，若預設零極點均自共軛且具有負實部，即可由Moore-Penrose廣義逆求得PID輸入反饋零極點配置理論增益向量解。同時提出系統可配置極點數目、傳感器及反饋增益合理配置的概念及其計算方法。最后給出數值實例以驗證該理論閉環極點、零點及零極點分配的準確性及有效性。

關鍵詞：動柔度法;主動振動控制;積分控制;零極點配置

中圖分類號：TP273;TH113.1 文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）01-0121-07

0 引言

由于系統的振動特性由其極點及零點值決定，因此系統的零極點特征值賦值問題是系統主動振動控制的中心研究問題之一。在傳統主動振動控制問題中常通過有限元法分析系統的理論模型獲得系統的質量、阻尼和剛度矩陣，進而求得極點配置問題最優解[1-4]。鑒于有限元法存在難以獲得實際結構精確阻尼模型的缺陷，近年來Mottershead等[5]開發了基于柔度法的線性系統主動振動控制方法以精確分配系統極點和零點到指定數值。該方法的一個重要優點是振動控制過程完全基于模態測試數據，無需通過有限元法獲取系統的精確質量、阻尼和剛度矩陣。Ghandchi Tehrani等[6]采用輸入反饋算法在使非重要極點不可控或不可觀測的情況下，實現了將系統部分極點分配到預定值而保持其他極點不變的效果。Mottershead等[7]展示了輸入反饋控制零極點配置算法具有可實現傳感器與作動器并置的優點。除了以上研究，許多其他類型的反饋控制也被引入到了主動振動控制中。如Zhang等[8]提出了將加速度反饋與位置反饋應用到無阻尼系統中實現部分極點配置;H.Ouyang[9]研究了將加速度和速度反饋用于主動振動控制。從這些研究結果可以看出，目前主動振動控制零極點配置算法多使用加速度、速度和位移反饋及其各種組合來實現。然而，當系統引入加速度反饋時，振動系統不可避免地將可能變成奇異系統而導致動柔度法不可使用，為此本文引人了積分控制以避免該情況的發生;同時在保留速度控制及加速度控制基礎上研究了基于動柔度法的PID輸入反饋主動振動控制，保證了控制系統的非奇異性，拓展了主動振動控制的適用系統范圍，補充了動柔度法在微分控制方面的研究。另外結合本零極點配置算法，本文提出系統可配置極點數目、最佳傳感器及反饋增益配置方法的概念及其相關算法。

1 PID輸入反饋控制極點分配理論

1.1 基于動柔度法的極點分配

多自由度線性系統自由振動方程[4]一般表示為

Mx（t）+Cx（t）+Kx（t）=0（1）其中M為質量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;x（t）為各自由度處位移量;M，C，K∈R^n×n，且M=M^T，C=C^T，K=K^T;對任意非零向量v，v∈R^n×1，有v^TMv>0，v^TCv≥0，v^TKv≥0。

對上述線性系統實施單輸入PID控制，則控制方程如下：

Mx+Cx+Kx=bu（t）（2）其中b∈R^n×1為作動器分布向量，u（t）為反饋控制輸入：式中g₁^T，g₂^T，g₃^T，g₁，g₂，g₃∈R^n×1，為相應的輸入控制增益向量。

對式（2）進行拉普拉斯變換，得：

移項得：

從式（5）可知：系統剛度矩陣的最高階M為正定矩陣，所以閉環系統一定為非奇異系統。故系統柔度矩陣存在。

對式（5），利用Sherman-Morrison公式得到閉環系統柔度矩陣為其中H（S）=[Ms²+Cs+K]^-1為開環系統柔度矩陣，可在實踐中通過測量H（iω）獲得[10]。同時由（6）式可得閉環特征多項式p（s）為

閉環系統的極點即為下式的根：

p（s）=0（8）

因此，將閉環系統極點分配到設定值{μ₁，μ₂，…，μ_N}的問題即為：已知H（s），b，令方程：

p（μi）=0（9）求增益向量g₁，g₂，g₃。其中μi∈{μi}_i=1^N，μi≠0，{μi}_i=1^N是自共軛的，N為最小可配置閉環系統極點數目。

1.2 最小可配置極點數目N

令矩陣H（s）的伴隨矩陣為A（s），行列式為d（s）則p（s）=0可表示為

由于對μi∈{μi}_i=1^N，d（μi）≠0，故式（10）可寫為

sd（s）-（sg₁+g₂+s²g₃）^TA（s）b=0（11）

令：

q（s）=（sg₁+g₂+s²g₃）^TA（s）b（12）

則q（s）中s的最高階次為（2n-2）+2=2n，d（s）中s的最高階次為2n，即式（10）中s的最高階次為2n+1。因此應注意到：由于積分控制的引入，閉環系統會產生一個額外非零極點。故特征多項式根的數目N=2n+1。

實際上閉環系統引入積分控制后將不再是常規系統，而成為廣義系統。則{μi}_i=1^N中所包含的N個極點即為此廣義系統的有限個可配置極點。此時，若有：1）廣義系統是正定系統，2）{μi}_i=1^N中所有極點都具有負實部;則零極點配置后的系統為穩定系統[11]。而本方法中質量矩陣的正定性保證了閉環系統的正定性。因此在滿足{μi}_i=1^N中極點的實部為負且自共軛的情況下，即可在滿足零極點配置后系統預期靜動態特性的基礎上任意設計廣義系統的有限個可配置極點的值，此時該系統為穩定系統。

1.3 求解向量g₁，g₂，g₃及最少傳感器布置方法

由式（7），g₁，g₂，g₃的求解問題可寫為

Gg=γ（13）

其中：

G∈R^N×3n，g∈R^3n×1，γ∈R^N×1。

即針對式（2）所提出的極點配置問題可由式（13）進行求解。其中式（13）的一種求解實現形式為

g^*=G⁺γ（14）

G⁺為G的Moore-Penrose廣義逆。可以證明：當閉環極點{μi}_i=1^N自共軛時，由式（14）獲得的g₁，g₂，g₃為實向量[5]。

考慮到對實際系統控制時附加質量要求的限制，用于測量系統運動參數的傳感器數量應盡可能少。因此g₁，g₂，g₃中的某些項的值可通過設置G相應列的值為零而變為零。此時其實際意義即為取得使傳感器布置較少的方案。但應注意的是：由于采用PID輸入反饋控制且N=2n+1，因此G中理論上可分配為零的列至多有3n-N=n-1列。所以應在滿足該條件的基礎上對傳感器布置進行合理縮減，以盡量降低附加質量對系統的影響。

1.4 PID反饋振動控制方法的有效性分析

當預設極點序列{μi}_i=1^N的數值及G中被零值所取代的任選k（0≤k≤n-1）列列向量被確定時，即認為確定了一種在該確定預設極點序列{μi}_i=1^N下的特定的PID輸入反饋方法，記為W_k。由式（14）可獲得在此PID輸入反饋方式下g₁，g₂，g₃的具體數值。以下給出如何驗證確定的某種W_k是否有效的方法：

由式（5）知閉環柔度矩陣H（S）可由下式得到：

H（S）=Ω（s）^-1（15）其中，Ω（s）為

驗證確定的某種W_k是否有效，根本上即為驗證在該反饋方式下由式（14）得到的增益向量g₁，g₂，g₃是否使對任意的s{μi}_i=1^N閉環剛度矩陣Ω（s）必然為非奇異矩陣。

由此，可以歸納驗證過程為：確定特定的輸入反饋方法W_k后，由式（14）可求得實數向量g₁，g₂，g₃，將g₁，g₂，g₃代入式（16），并求得Ω（s）的行列式w（s），對任意μ_i{μi}_i=1^N，若W（μi）為零，則閉環系統極點不可被分配到指定極點，稱此確定的W_k方法無效。否則認為閉環系統極點可被分配到指定期望極點，稱此確定的W_k方法有效。

2 PID輸入反饋控制零點分配理論

2.1 基于動柔度法的零點分配

由于零點分配在振動控制中具有重要意義[5-7]，因此本文給出了閉環系統零點分配方法。

由表達式（6）可知，通過選擇合適的增益向量g₁，g₂，g₃，當使式（6）分母矩陣坐標（i，j）處的值為零時即可實現柔度H_ij處的零點分配。

閉環系統（i，j）處的柔度表達式為其中e_i，e_j為單位列向量。

因此將閉環系統柔度H_ij零點分配到設定值{ξ₁，ξ₂，...，ξ_r）的問題即為：已知H（s），b，i，j，令方程：求解g₁，g₂，g₃。其ξ_k∈{ξi}_i=1^r，r≤2n-1，r為可配置閉環系統極點數目。

將式（18）變形得：

即：其中H_ij（s）為開環系統坐標（i，j）處的開環柔度值。又由于e_i^TH（ξ_k）b為常量，故令：

t_k=H_ij（ξ_k）H（ξ_k）b-e_i^TH（ξ_k）bH（ξ_k）e_j（21）

故當將閉環系統零點分配為{ξ₁，ξ₂，...，ξ_r}時可得：其中，令：

由式（22）可知當預設零點{ξ₁，ξ₂，...，ξ_r}閉環共軛時可取得矩陣T的逆，進而得到實向量g₁，g₂，g₃[5]。特別地，當坐標i，j重合時，此時零點分配將影響系統的閉環極點配置，因此具有重要意義[12]。

2.2 基于動柔度法的零極點分配

工程應用中，有時需要同時對零點與極點進行分配，結合式（13）與式（22）可對閉環系統同時進行零極點分配，此時應注意零極點分配總數目r+N≤2n+1。同樣地此時也可以對式（13）與式（25）中G與T矩陣選取k（0≤k≤n-1）列進行零向量代換，以得到最佳的傳感器分配方案。

3 數值實例

3.1 極點分配數值實例

為驗證上述理論，考慮如下三自由度阻尼一質量-彈簧系統進行數值仿真：

則可得系統開環系統極點：-0.0305±0.5894i，-0.8503±1.0119i，-0.6609±2.1200i。

現用本文所提出的理論對系統極點進行配置，以改善系統閉環響應。設b=[1 1 1]^T。由于n=3，則由1.2節可知N=7。由于原始系統特征頻率較低阻尼較小，因此設置一組閉環系統特征值為μ^1.2=-1±0.5i，μ_3.4=-1±i，μ_5.6=-2±i，μ₇=-3，增大系統阻尼并增強系統穩定性。

由式（15）可得g₁，g₂，g₃為

g1=[-38.1817 -6.7810 11.3765]^T

g2=[3.7396 -14.4487 2.4203]^T

g3=[-4.1357 -4.5904 -10.6608]^T

同時經1.4中驗證方法驗證知：系統可配置閉環系統極點可被g₁，g₂，g₃分配到指定極點μ1.2=-1±0.5i，μ3.4=-1±i，μ5.6=-2±i，μ7=-3。

為突出極點分配效果，給出原系統及修改后系統從3處的頻率響應曲線、零極點分布圖及奈奎斯特圖如圖1～圖5所示。由圖3及圖2對比可知系統極點被分配到了預設位置。且由于積分反饋的引入，修改后系統增加了一個閉環極點。在工程實際中此極點的引入增加了配置閉環系統極點值的靈活性。結合圖1、圖4、圖5可看出系統極點重分配后閉環系統的特征頻率增大，阻尼增大，系統穩定性增強，系統固有特性得到改變。

3.2 傳感器合理配置數值實例

在3.1節極點分配的基礎上，可利用1.3節末尾的方法來尋找本例的最少傳感器布置方案，并用1.4節的方法進行驗證。表1給出了可將3.1節所示系統極點分配至μ_1.2=-1±0.5i，μ_3.4=-1±i，μ_5.6=-2±i，μ₇=-3，且保持閉環系統穩定的所有替代方案。并在表2中給出部分替代方案的PID反饋增益值（此處給出每類第1種方法的控制增益）。由于篇幅限制不再驗證更高階系統，但發現當系統為更高階的系統時，在保證G行滿秩的情況下設置G中某些列為零向量，發現得到的反饋增益向量g₁，g₂，g₃并不全都可將系統閉環極點分配到指定位置，這表明了1.4節所給驗證方法的重要性，本文不再給出示例。

進一步對系統作缺少極點分配計算（表3所示分配缺陷極點數為2n）表明：當分配極點數目小于N時（即分配缺少極點的情況時），系統閉環極點將會出現使系統不穩定的極點。這表明了確定分配極點數目的重要性。

3.3 零點分配數值實例

基于3.1中三自由度阻尼-質量-彈簧系統，設b=[1 1 1]^T并預設閉環系統柔度H₃₃（s）處的零點為ξ_1.2=-1±0.5i，ξ_3.4=-2±0.5i。使用第2節所述方法對系統零點進行分配：

由式（22）可得此時g₁，g₂，g₃為

g₁=[1.9623 -3.0448 0]^T

g₂=[-1.3215 -0.49120]^T

g₃=[-6.3791 -1.46820]^T

同時計算此時閉環極點為：-0.1439±0.5047i，-0.6195±1.68241，-1.0199±0.9522i，-3.4404。極點均分布于虛軸左半平面，閉環系統穩定。同樣給出修改后系統H₃₃處的頻率響應曲線、零極點分布圖及奈奎斯特圖如圖6～圖8所示。由圖7及圖2對比可知系統零點被準確地分配至預設值。結合圖6、圖4、圖8可看出重分配零點后，系統穩定性增強。證實了方法的有效性。