間歇激勵條件下電液伺服系統的復合自適應控制

郭秦陽， 施光林， 王冬梅

(上海交通大學 機械與動力工程學院， 上海 200240)

電液伺服系統因功率密度比大、剛度高、響應速度快等優勢，在工業中得到了廣泛的應用[1-2].然而，受到伺服閥死區、輸入飽和與滯后、液壓缸泄漏、無桿腔與有桿腔流量不匹配等因素的影響，電液伺服系統通常具有高度的非線性行為[3].此外，系統中的未知參數，如泄漏系數、阻尼系數及剛度系數等，也導致液壓系統難以被精確建模[4].這些影響都使得電液伺服系統的高精度位置控制成為一項艱巨的任務.因此，能夠對系統中的未知參數進行估計與補償的自適應控制技術受到了高度重視.

針對電液伺服系統的軌跡追蹤問題，文獻[5]設計了一種自適應魯棒控制方法，文獻[6]設計了基于擴展狀態觀測器的反步控制方法，文獻[7]開發了具有衰減記憶濾波器的自適應反步控制方法，文獻[8]則設計了一種自抗擾自適應控制器，文獻[9-10]也報道了類似的研究.然而，以上所提及的方法大都采用反步技術，在控制器的設計過程中需要對相關虛擬控制信號進行復雜的偏微分計算，使控制器的結構變得異常龐大[11].另外，如果系統中存在未知參數，形如θTφ(x)，那么在對系統進行控制時，如果能夠有效地識別與補償未知參數向量，就能夠極大地提高系統的控制性能.其中：θ=[θ1θ2…θn]T為系統中的未知參數向量；φ(x)是由已知函數構成的激勵向量.對于傳統的自適應控制方法，如果需要精確地識別系統中的未知參數向量，則需要滿足嚴格的持續激勵條件.

1—液壓缸與位移傳感器，2—壓力傳感器，3—伺服閥，4—負載，5—彈簧阻尼系統 6—液壓動力源，7—濾油器，8—溢流閥，9—電動機，10—定量泵，11—電磁閥圖1 電液伺服系統原理圖Fig.1 Schematic diagram of the electro-hydraulic servo system

由文獻[12]給出的有關間歇激勵(IE)和持續激勵(PE)的定義可知，在系統的實際工作過程中，相比于間歇激勵條件，持續激勵條件更難實現.因此，傳統自適應方法的推廣受到極大限制.本文針對電液伺服系統的高精度軌跡追蹤問題，設計了一種適用于間歇激勵條件的復合自適應控制方法，利用動態面控制(DSC)技術構建了系統的非線性控制器；針對系統中的未知參數，構建了新穎的復合自適應律，松弛了傳統自適應方法中嚴格的持續激勵條件；利用Lyapunov理論分析了閉環系統的穩定性，并通過對比仿真結果驗證了所提出控制算法的有效性.

1 電液伺服系統的建模與問題的描述

本研究涉及的典型電液位置伺服系統如圖1所示.系統擁有的液壓動力源采用三相異步交流電動機驅動一個定量液壓泵為系統提供壓力油液，其供給壓力可以通過溢流閥進行設定.伺服閥用于實現液壓缸的高精度位置控制，液壓缸上安裝有位移傳感器.3個壓力傳感器分別用于采集液壓動力源的供油壓力信號以及液壓缸無桿腔、有桿腔的壓力信號.液壓缸驅動負載在直線導軌上運動，彈簧阻尼系統則用于模擬液壓缸所受到的外負載力.

液壓缸活塞桿上的力平衡方程為

(1)

式中：p1與p2分別為液壓缸無桿腔與有桿腔的壓力；A1與A2分別為液壓缸無桿腔與有桿腔的等效截面積；m為液壓系統的等效負載質量；x為液壓缸活塞桿的位移；b為系統的等效阻尼系數；k為彈簧的剛度系數.考慮到密封技術的發展，液壓系統的外泄漏通常可忽略[1]，因此，液壓缸無桿腔與有桿腔的流量動態方程可以表示為

(2)

式中：Ke為液壓油液的等效體積模量；V01與V02分別為液壓缸無桿腔與有桿腔的初始控制容積；ci為液壓缸的內泄漏系數；q1與q2分別為液壓缸無桿腔及有桿腔的流量，

s(xv)=1/2+tanh(rxv)/2

xv為伺服閥的閥芯行程，s(xv)是用于描述伺服閥閥芯泄漏的函數[13]，kq為伺服閥的流量增益，u為伺服閥的控制信號，ps與pt為液壓動力源的供油壓力與回油壓力，r為閥芯泄漏的近似系數.

(3)

式中：

g3(x1,x2,x3)=

n=A2/A1,n1=mx3/A1

h3(x1,x2)=

q3(x1,x2,x3)=

需要指出的是，對于圖1所示的電液位置伺服系統，伺服閥的流量增益可以通過廠家的樣本獲得.文獻[14]對液壓系統中泄漏系數的測量方法進行了詳細的介紹，而系統中的彈簧阻尼系統則用于模擬液壓缸所受到的外負載力.系統的阻尼通常會隨著環境溫度、潤滑條件、磨損等因素的變化而改變，難以被精確測量.同時，對于不同類型的負載，其剛度系數與阻尼系數均存在差異，而未知的剛度系數與阻尼系數將成為影響液壓系統位置控制精度的主要因素.在控制器設計過程中，如果能夠有效地補償液壓缸所受到的外負載力，就可以在很大程度上提高系統的跟蹤精度.因此，本文選取b與k為系統中的未知參數，定義未知參數向量θ=[θ1θ2]T，而激勵向量則為φ=[φ1φ2]T.其中：θ1=b，θ2=k；φ1(x2)=-x2/m，φ2(x1)=-x1/m.繼續定義f3=h3+q3，則式(3)可簡化為

(4)

在開始設計控制器之前，需要給出以下合理假設.

假設2系統的回油壓力pt≈0，考慮到伺服閥閥芯的壓降，顯然，液壓缸腔內壓力p1與p2均以系統的供油壓力ps與回油壓力pt為界，即0p2A2，因此，|pL|=p1-np2與 0<|pL|p1A1，考慮到這種實際情況，|pL|=np2-p1與0<|pL|

2 電液伺服系統的復合自適應控制器設計

本節利用DSC技術設計電液位置伺服系統的非線性控制器，通過引入一階指令濾波器對虛擬控制信號進行處理，可以避免傳統反步控制方法對于虛擬控制信號的復雜偏微分計算.通過設計復合自適應律，可以松弛傳統自適應方法中嚴格的持續激勵條件.

2.1 非線性控制器設計

對于如式(4)所示的電液伺服系統，選擇系統的第1個誤差面為s1=x1-xd.顯然，s1關于時間的導數為

(5)

而系統的第1個虛擬控制信號a1為

(6)

式中：l1為控制器增益，l1>0.引入一個一階指令濾波器對虛擬控制信號，即式(6)進行處理：

(7)

繼續選擇系統的第2個誤差面為s2=x2-a1c，結合式(4)，s2關于時間的導數為

(8)

(9)

式中：l2為控制器增益，l2>0.繼續引入第2個一階指令濾波器對虛擬控制信號式(9)進行處理：

(10)

選擇系統的第3個誤差面為s3=x3-a2c，結合式(4)，s3關于時間的導數為

(11)

而系統的控制輸入可以被設計為

(12)

式中：l3為控制器增益，l3>0.另外，式(5)、(8)與(11)也可以被重新寫成

(13)

2.2 復合自適應律設計

(14)

式中：

Q(t)=

(15)

參考文獻[12]中給出的有關持續激勵的定義，若Ta>0是系統的初始響應時間，對于任意正實數δ>0，存在時間常數Te>Ta+δ使得式(15)滿足間歇激勵條件.當t∈[0,Ta)時，DSC技術所引入的指令濾波器收斂[15]，而復合自適應律為

(16)

(17)

式中：cθ為預先定義的θ的界；預測誤差信號ζ(t)為

(18)

(19)

3 控制算法穩定性分析

為了分析閉環系統的穩定性，定義Lyapunov方程如下：

(20)

(21)

結合式(13)、(16)以及投影算子式(17)，V(v)關于時間的導數為

(22)

(23)

由于

對于任意t∈[0,Ta)，可以得到

(24)

式(14)中，當t∈[0,Ta)時，Qe=0.結合式(17)與(20)，對于?t>0，可以得到

-lminV(t)/2-lmin(V(t)-w2)/2

(25)

Ωcv0=Ωcx0∩Ωcd×Ωcθ

Ωcv=Ωcx∩Ωcd×Ωcθ

且滿足Ωcv0∈Ωcv.對于v(t)∈Ωcv與t∈[0,Ta)，式(25)可簡化為

(26)

最后，參考間歇激勵的定義，若電液伺服系統中激勵向量φ在[Te-δ,Te]區間滿足間歇激勵條件，則一定存在正常數σ>0，使得Q(Te)≥σI.基于式(24)，可以得到

(27)

令lvmin=min{lmin, 2κγσ}，則

(28)

V(t)≤V(Te)e-lvmint+w1/lvmin, ?t≥Te

(29)

4 對比仿真與討論

以文獻[16]中所介紹的經典自適應控制方法作為對比算法，對比算法的控制律與本文所給出的控制律一致，自適應律如下[16]：

定義本文所提出的控制方法為C1，傳統的自適應控制方法為C2.仿真過程所需的電液伺服系統參數如表1所示.用Simulink 中的 S-function模塊編寫電液伺服系統的數學模型與控制算法，用型噪聲發生器模擬傳感器信號所受到的干擾，位移信號與壓力信號的噪聲幅值分別為 ±0.01 mm，利用截止頻率為80 Hz的低通濾波器對傳感器的信號進行處理，仿真步長設定為 0.001 s.C1與C2的控制性能通過最大誤差em、平均誤差ea與標準差es3個性能指標進行評價.

表1 電液伺服系統的參數Tab.1 The parameters of the electro-hydraulic servo system

液壓缸對于理想軌跡的跟蹤結果如圖2所示(圖中ex為跟蹤誤差)，具體的追蹤性能指標見表2，伺服閥的控制信號如圖3所示.對于系統中的未知參數，雖然C2的自適應律的增益已經設置得足夠大，卻依然難以取得令人滿意的估計結果.相比于C2，C1對于系統中的未知阻尼系數與未知剛度系數的估計結果，無論是在收斂速度方面，還是在估計精度方面，都有顯著的提升，如圖4和5所示.如果能夠精確地識別系統中的未知阻尼系數與未知剛度系數，就可以有效補償液壓缸所受到的負載力，從而提高液壓缸的跟蹤精度.然而，系統中的激勵信號φ1與φ2只能在有限的時間區間進行激勵，無法滿足持續激勵條件，如圖6所示.結合間歇激勵的定義1，參數σ的值如圖7所示，顯然，復合自適應律所選取的積分時間常數δ能夠滿足間歇激勵條件.由于復合自適應律對系統中未知參數的高性能估計，使得C1能夠更加精確地補償液壓系統中的不確定結構，這也是C1具有更高的軌跡追蹤精度的根本原因.

圖2 液壓缸跟蹤結果Fig.2 Tracking results of the hydraulic cylinder

Tab.2 Tracking performance indexes of the electro-hydraulic servo system (t>0.2s)

控制方法em/mmea/mmes/mmC10.2300.0440.057C20.3430.0620.085

圖3 系統的控制信號Fig.3 Control input of the system

圖4 未知阻尼系數估計結果Fig.4 Estimation of unknown damping coefficient

圖5 未知剛度系數估計結果Fig.5 Estimation of unknown stiffness coefficient

圖6 系統的激勵信號Fig.6 The exciting signals of the system

圖7 間歇激勵條件下σ的值Fig.7 The value of σ under IE condition

根據間歇激勵的定義，在復合自適應律中，積分時間常數δ的選取決定了需要在線記錄的與系統運行狀態和系統誤差有關的數據量.δ的值越大，積分時間越長，參數σ的值就越大，預測誤差信號ζ(t)對于復合自適應律的作用也就越強.顯然，提高積分時間常數δ可以有效地提高復合自適應律對于系統中未知參數的估計性能.然而，在實際應用中，參數δ不能設置過大，過大的δ值會過多地占用控制系統硬件的存儲空間.

5 結語

針對電液伺服系統的高精度位置控制問題提出了一種無須持續激勵條件的復合自適應動態面控制方法.利用動態面技術設計非線性控制器，可以避免傳統反步控制方法對虛擬控制信號進行復雜偏微分計算所引起的“微分項爆炸”問題.所設計的復合自適應律能夠適用于間歇激勵條件，松弛了傳統自適應方法中嚴格的持續激勵條件.利用Lyapunov方法對系統的穩定性進行了分析，利用MATLAB/Simulink對所提出的控制算法進行了仿真驗證.本文所提出的復合自適應控制方法能夠在間歇激勵條件下有效估計電液伺服系統中的未知阻尼系數與未知剛度系數，進而提高系統的跟蹤精度.