基于Hertz接觸理論的葉片-機匣碰摩模型

趙 洋， 華一雄， 張執南， 柴象海

(1. 上海交通大學 機械與動力工程學院， 上海 200240; 2. 中國航空發動機集團 商用航空發動機有限責任公司， 上海 200241)

為了滿足航空發動機對整體結構緊湊、氣動效率高、耗油率低等結構性能方面的要求，葉尖間隙通常被設計得非常小[1]，但這種設計同時也提高了葉片和機匣之間發生碰摩的概率.由于航空發動機轉速高、葉尖線速度大，一旦發生碰摩現象，可能會導致轉子系統失穩，進而造成重大安全事故[2].因此，對于航空發動機葉片-機匣碰摩現象的研究具有重要的現實意義.

國內外學者從不同角度建立了各種碰摩模型以表征葉片-機匣碰摩現象.Padovan等[3]將葉片簡化為等截面的懸臂梁，考慮葉片的一階模態彎曲，推導出葉片與剛性機匣碰摩時的法向碰摩力模型，并給出了考慮多葉片同時發生不同碰摩時的計算公式.劉楊等[4]基于Hertz接觸理論的非線性碰摩力模型建模并進行數值模擬計算，研究了不同剛度下的故障轉子系統動力學響應，發現在碰摩剛度較大時Hertz模型能更好地表征碰摩現象.Jiang等[5]基于文獻[3]提出的模型，在假設機匣變形為剛性的前提下，考慮葉片旋轉導致的離心剛化影響，將轉速參數加入表達式中，修訂了旋轉葉片-機匣法向碰摩力模型.Ma等[6]從能量守恒的角度出發，建立了一種新型葉片-機匣碰摩模型，對比了各結構參數對侵入量的影響，并通過實驗驗證模型的可行性.賴少將等[7]通過建立熱結構耦合碰摩模型，分析了葉片-機匣碰摩時的摩擦熱分布，發現在實際工程問題中,需考慮摩擦熱效應對葉尖表面損傷的影響.

由于葉片-機匣之間的碰撞可以看作柔性體與致密彈性體或者柔性體與柔性體之間的接觸[8]，所以在建模時除了需要考慮葉片-機匣碰摩過程中葉片和機匣的彈性變形外，還要同時考慮摩擦熱效應導致的熱變形.綜上所述，現有的葉片-機匣表征模型均存在一定的局限性，即假設機匣為剛性體,且忽略了葉片形狀及局部接觸時的接觸力和變形之間的非線性關系.針對上述問題，本文推導出一種新的葉片-機匣Hertz(BC-Hertz)碰摩模型.該模型考慮了碰摩力在接觸區域內的非線性變化，從而使其能夠適用于不同的機匣碰摩情況.在此基礎上通過熱固耦合仿真，分析摩擦熱效應對碰摩產生的部件徑向形變量的影響.

圖1 葉片-機匣碰摩示意圖[6]Fig.1 Schematic of blade-casing rubbing[6]

1 葉片-機匣碰摩模型

葉片-機匣碰摩示意圖如圖1所示.其中，Rd為輪盤半徑；L為葉片長度；ω為轉子角速度；ub為葉尖位移；Ft為切向碰摩力；ucr為機匣徑向位移；ubr為葉尖徑向位移；δ為碰摩侵入量.現提出如下假設：

(1) 將葉片-機匣碰摩過程簡化為準靜態接觸過程，發生碰摩時葉片-機匣的動能以及應變不再改變；

(2) 忽略碰摩過程中軸向壓縮勢能的影響；

(3) 輪盤為剛性體，葉片為懸臂梁，葉片材料各向同性；

(4) 各材料參數不隨溫度而改變；

(5) 忽略葉片-機匣在擠壓過程中的阻尼效應.

1.1 葉片彈性變形

將葉片看作懸臂梁，則葉尖的彎曲勢能應滿足

(1)

式中：E為葉片的彈性模量；I0為葉片慣性矩；ε,h分別為葉片厚度及寬度.

葉片的離心勢能表達式為

(2)

式中：A0為葉片橫截面面積；ρ為葉片的材料密度.

葉尖法向碰摩力Fn和切向碰摩力Ft所做的功采用庫侖摩擦模型來描述，則葉尖碰摩力所做的功為

(3)

由彎曲導致的葉尖徑向位移ubr表達式為

(4)

1.2 葉片-機匣接觸理論

基于Hertz理論，兩彈性體碰撞所引起的法向碰摩力滿足

(5)

式中：kh為Hertz接觸剛度系數，由轉子-靜子部件的材料特性和幾何尺寸所確定；μ1和μ2分別為轉子和靜子的泊松比；E1和E2分別為轉子和靜子的彈性模量；R1和R2分別為轉子和靜子在接觸區域的曲率半徑.

1.3 摩擦熱效應

考慮切向碰摩力的熱效應，對部件接觸區域進行熱固耦合分析，提出如下假設：

(1) 忽略熱輻射以及熱對流引起的熱損失；

(2) 碰摩的摩擦熱全部轉化成溫度的變化；

(3) 材料均為各向同性；

(4) 摩擦因數不隨溫度發生變化.

基于上述假設建立模型.柱坐標系下準靜態熱傳導方程為

(6)

(7)

kμ為摩擦因數.

1.4 葉片機匣變形

對于純彈性碰摩模型，葉片-機匣碰摩侵入量為兩者純彈性徑向位移的總和，滿足

δ=ubr+ucr

(8)

考慮摩擦熱效應時，碰摩侵入量為彈性和熱應變下徑向位移的總和，即

(9)

2 葉片-機匣Hertz模型

2.1 葉片-機匣碰摩模型對比

針對葉片-機匣碰摩現象，本文只考慮純彈性形變，建立了一種新的BC-Hertz碰摩模型.根據式(4)、(5)和(8)，對侵入量與法向碰摩力、碰摩剛度、旋轉角速度、葉片厚度等參數間的關系進行分析.基于Ma等[6]的實驗結果，對比驗證BC-Hertz模型與Jiang模型[5]、Ma模型[6]的準確性.其中，葉片厚度ε分別取3 mm(薄葉片)和5 mm(厚葉片)，轉速為 1 000 r/min.

圖2所示為法向碰摩力與侵入量的關系.對比結果表明：對于薄葉片，Jiang模型，Ma模型，BC-Hertz模型與文獻[6]的實驗結果均吻合較好；而對于厚葉片，Jiang模型與實驗結果誤差較大，BC-Hertz模型在侵入深度較小時與實驗結果誤差較小，而在侵入深度較大時也具有較好的一致性.由于Jiang模型考慮機匣為剛性體，當葉片厚度較小時，葉片剛度與機匣剛度相比而言其值較小，機匣的變形不明顯，所以在薄葉片的情況下誤差較小；當葉片厚度增加時，葉片剛度變大，機匣變形不能忽略，而BC-Hertz模型和Ma模型均考慮了機匣變形對法向碰摩力的影響，所以在厚葉片的情況下也與實驗結果吻合較好.

圖2 法向碰摩力與侵入量的關系Fig.2 Normal rubbing force under different penetration depth

2.2 工況參數對碰摩力的影響

在發動機葉片-機匣碰摩過程中，Fn與kμ、δ、kh及ω之間的變化關系如圖3～6所示.由圖可知，Fn隨kμ的增大而減小，隨kh、ω及δ的增大而增大.

圖3 法向碰摩力與摩擦因數和侵入量的關系Fig.3 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and friction coefficient

在不同侵入深度下，kμ和kh與Fn之間的關系分別如圖3和4所示.由圖3可見：Fn及其曲線斜率隨kμ的增大而逐漸減小，即Fn變化趨緩；當kμ=0.1～0.2 時，Fn降幅明顯；當kμ>0.2 時，Fn降幅減小.另外，當δ較大時，Fn受kμ影響顯著；當kμ較小時，Fn受δ影響顯著.

由圖4可見：隨著kh的增大，Fn增大，而其曲線斜率逐漸減小，即Fn變化趨緩，并趨于定值；當δ較大時，Fn受kh影響顯著；當kh較大時，Fn受δ影響顯著.

圖4 法向碰摩力與剛度系數和侵入量的關系Fig.4 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and stiffness coefficient

圖5 法向碰摩力與侵入深度和旋轉速度的關系Fig.5 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and rotation speed

圖6 法向碰摩力與剛度系數和旋轉速度的關系Fig.6 Normal rubbing force under parameters of stiffness coefficient and stiffness coefficient

在不同ω下，δ和kh與Fn之間的關系分別如圖5和6所示.由圖5可見：當ω增加時，Fn增大，且隨著ω增加，Fn增幅變大；當δ較大時，Fn受ω影響顯著；當ω較大時，Fn受δ影響顯著.

由圖6可見：當kh較大時，Fn受ω影響顯著；當ω較小時，Fn幾乎不受kh的影響；當ω較大時，Fn受kh影響顯著.

3 摩擦熱效應

假定葉片和機匣之間的熱分布權重系數為 0.5，在Abaqus軟件中建立仿真模型，對葉片進行熱固耦合分析.設葉片轉速ω=3 000 r/min，法向碰摩力Fn=1 kN，摩擦因數kμ=0.2，葉片厚度ε=3 mm.葉片的摩擦熱效應材料參數如表1所示，其中：λ為熱導率；α為膨脹系數；C為比熱容.

表1 摩擦熱效應材料參數表Tab.1 Parameters for calculating friction thermal effect

圖7 葉片應力云圖(Pa)Fig.7 Mises of blade (Pa)

圖8 葉片徑向變形量(m)Fig.8 Radial deformation of blade (m)

純彈性和考慮熱效應下的葉片應力分布如圖7所示.由圖7(a)可知，純彈性載荷下葉片的最大應力發生在葉根背部；由圖7(b)可知，考慮摩擦熱時的最大應力發生在碰摩接觸區域.純彈性和考慮熱效應下的葉片徑向變形情況如圖8所示.由圖8(a)可知，純彈性變形下的最大徑向變形量為 3.13 μm；由圖8(b)可知，考慮摩擦熱效應下的最大徑向變形量為 3.56 μm.因此，在分析碰摩模型中徑向形變量與碰摩力、轉速等因素的關系時，摩擦熱效應的影響不可忽略，并且需考慮摩擦熱效應對葉片材料結構的影響.

4 結論

基于Hertz接觸理論推導了葉片-機匣碰摩模型，相比于現有模型，該模型考慮了葉片彎曲變形、旋轉特性對碰摩力的影響以及在發生碰摩時法向碰摩力與變形量的非線性關系；通過對比其他學者的模型及其相關實驗結果，驗證了BC-Hertz碰摩模型的準確性.基于BC-Hertz模型可獲得法向碰摩力與不同參數的三維曲面圖，并可分析不同參數對法向碰摩力的影響；建立葉片熱固耦合仿真模型，對比了純彈性碰摩模型和熱碰摩模型的差異.主要結論如下：

(1) 當摩擦因數增加時，法向碰摩力逐漸減小，且曲線斜率逐漸減小；當摩擦因數在 0.1～0.2 之間時，法向碰摩力降幅明顯；當摩擦因數大于 0.2 時，法向碰摩力降幅減小.

(2) 當剛度系數變大時，法向碰摩力增大，且曲線斜率逐漸減小，法向碰摩力的增幅逐漸減小；當剛度系數達到一定程度后，法向碰摩力趨于固定值.

(3) 摩擦熱效應將在接觸區域附近產生較大的熱應力，增大部件的徑向位移，在實際工程中應考慮葉片-機匣碰摩產生的摩擦熱對葉尖間隙以及葉片材料結構的影響.