考慮單框架控制力矩陀螺性能約束的小衛(wèi)星姿態(tài)星載控制

李德婷，張元媛，王 華

(國防科技大學 空天科學學院，湖南 長沙 410073)

0 引言

隨著空間技術的發(fā)展，小衛(wèi)星因其功能密度高、研制周期短、發(fā)射靈活而成為新一代衛(wèi)星的發(fā)展熱點。姿態(tài)控制系統(tǒng)作為核心組成單元，是小衛(wèi)星研究的重中之重。典型的姿態(tài)控制系統(tǒng)由噴氣系統(tǒng)、磁力矩系統(tǒng)、動量輪等組成，廣泛應用于轉動慣量較大的航天器，但不適合轉動慣量較小的航天器。單框架控制力矩陀螺(SGCMG)采用電能驅動，不需要消耗燃料，且具有較大的力矩輸出能力，是小衛(wèi)星姿態(tài)控制的理想設備[1]。

SGCMG雖具有優(yōu)良的輸出性能，但存在奇異問題，這使得姿態(tài)機動控制過程變得更加復雜。針對機動過程中的奇異失效問題，許多學者進行了相關研究。趙乾[2]采用偽譜法和直接打靶法混合求解策略，設計了單目標和多目標的軌跡規(guī)劃模型，能滿足SGCMG奇異飽和約束條件，但混合求解策略采用打靶法對奇異度量值進行優(yōu)化，耗時較長，不能滿足快速機動的需求。孫志遠等[3]提出的基于自適應Gauss偽譜法的SGCMG 無奇異框架角軌跡快速規(guī)劃方法，考慮了時間和能量加權的性能指標。該方法僅約束了終端的奇異度量，沒有考慮機動環(huán)境中重力梯度力矩和軌道角速度的影響，且未考慮機動過程中的奇異情況，不具備穩(wěn)定性，不適用于衛(wèi)星在線姿態(tài)控制。

平坦微分理論是FLIESS等[4-5]在20世紀90年代針對非線性系統(tǒng)提出的概念，之后經過一系列的發(fā)展，在機器人、飛行器軌跡規(guī)劃等方面得到廣泛應用。本文將快速軌跡設計和抗干擾跟蹤控制算法相結合，設計了一種星載在線控制方法。借鑒微分平坦理論在解決最優(yōu)控制問題方面的研究成果，設計了一種姿態(tài)路徑快速規(guī)劃方法。該方法綜合考慮了重力梯度力矩、軌道角速度等環(huán)境因素的影響，考慮了星體始末狀態(tài)約束和SGCMG的動力學性能的約束，能快速求得滿足約束條件的能量次優(yōu)路徑。通過將滑模控制與自適應相結合，獲得了一種自適應滑模控制器。該控制器能克服外界擾動和陀螺執(zhí)行誤差對跟蹤目標軌跡的影響。

1 動力學模型

1.1 姿態(tài)動力學模型

定義3個坐標系：慣性參考系、軌道坐標系和與航天器固聯(lián)的體坐標系。采用修正羅德里格斯參數(MRP)描述姿態(tài)，MRP是姿態(tài)描述的最小實現，同時具有不易出現奇異和計算效率高的特點。與四元數相比，基于MRP的姿態(tài)計算在不損失計算精度的前提下計算量更小[6]，有利于提高姿態(tài)計算的效率。用MRP表示的姿態(tài)轉移矩陣為

M(σ)=I3+

(1)

式中：I3為3維單位矩陣，[σ×]為矢量叉乘運算的反對稱矩陣，即

(2)

用MRP表示的姿態(tài)運動學微分方程為

(3)

式中：ω為姿態(tài)角速度，G(σ)為

(4)

假設剛性小衛(wèi)星在體坐標系下的慣量張量J為常值矩陣，則在體坐標系下衛(wèi)星動力學方程為

(5)

式中：τgg為重力梯度力矩；u為姿態(tài)控制執(zhí)行機構產生的控制力矩。

1.2 SGCMG動力學模型和奇異特性分析

SGCMG是由多個(一般3個以上)單框架控制力矩陀螺組成的具有三維輸出能力的動量交換裝置。若設每個力矩陀螺角動量的模相同且皆為h0，則陀螺群總角動量可表示為

H=h0(Asins+Bcoss)E

(6)

式中：A和B為與控制力矩陀螺中陀螺群的構型相關的安裝矩陣；s為陀螺群的框架角矩陣，sins，coss為框架角正、余弦對角陣；E為元素都為1的3維單位向量。

由控制力矩陀螺對航天器作用的控制力矩為

(7)

C(s)=Acoss-Bsins

(8)

在SGCMG工作的過程中，系統(tǒng)力矩如果持續(xù)朝一個方向輸出，則角動量在某個方向上的值不斷積累，就有可能導致角動量值達到SGCMG系統(tǒng)最大角動量，這種情況被稱為角動量飽和，是SGCMG失效的一種形式。金字塔構型的SGCMG的角動量飽和包絡面為如圖1所示的具有8個凹陷的不規(guī)則球面，球體半徑約為

Hmax=3.3h0

(9)

圖1 金字塔構型控制力矩陀螺角動量飽和面Fig.1 Envelope surface of pyramid configuration

當SGCMG系統(tǒng)框架角處于某些特定狀態(tài)時，期望力矩與控制力矩正交，此時SGCMG系統(tǒng)無法輸出期望力矩，失去控制能力，這種現象稱為奇異失效。當期望力矩ut和安裝方向gi平行時，該陀螺所有狀態(tài)均奇異；當期望力矩ut和安裝方向不平行時，ut與gi方向存在夾角，如圖2所示，則每個陀螺的奇異角動量有2個方向[7]，奇異角動量為hi=±(gi×ut)×gi/‖gi×ut‖。

圖2 控制力矩陀螺奇異機理分析Fig.2 Mechanism analysis of SGCMG

在進行軌跡規(guī)劃時，需要根據當前的框架角對奇異狀況作出判定，即需要定義一種度量不同框架角組合所對應奇異程度的奇異狀態(tài)量。根據框架角奇異的原理，即當C-1不存在時發(fā)生奇異，使用奇異度量[8-9]來衡量當前框架角的奇異狀態(tài)，即

D=det(CCT)

(10)

當D=0時，系統(tǒng)處于奇異狀態(tài)，D越大，離奇異點就越遠。

2 在線控制方法設計

2.1 基于平坦微分理論的姿態(tài)軌跡規(guī)劃

2.1.1 微分平坦系統(tǒng)

FLIESS于1992年首次提出了微分平坦理論，即采用微分代數來描述一個微分系統(tǒng)，將對微分系統(tǒng)中微分方程的求解轉化為對代數多項式參數的求解，從而減少系統(tǒng)中的積分運算，縮短計算時間。考慮非線性系統(tǒng)

(11)

式中：x∈Rn，u∈Rm，且m≤n。根據微分平坦理論，如果能找到一個平坦輸出z∈Rm，將式(11)中所有的輸入量和狀態(tài)量都用z和它的有限次導表示出來，則稱這個系統(tǒng)為微分平坦系統(tǒng)[10]，即

(12)

文獻[11]已證明，由姿態(tài)運動學方程(3)和姿態(tài)動力學方程(5)描述的姿態(tài)控制系統(tǒng)是以(σ1,σ2,σ3)為平坦輸出的微分平坦系統(tǒng)。本文的研究在該系統(tǒng)的基礎上加入SGCMG操縱系統(tǒng)，即在該系統(tǒng)中加入狀態(tài)量框架角(s1,s2,s3,s4)。SGCMG的操縱律即是根據指令力矩來合理分配框架角的轉速，使陀螺群的輸出力矩與航天器姿控系統(tǒng)要求的指令力矩相等。因SGCMG是一個冗余系統(tǒng)，利用式(1)，(2)反解求得的框架角速度不唯一，故考慮框架角的姿態(tài)控制系統(tǒng)不具備微分平坦屬性，無法直接基于微分平坦開展軌跡設計。為擴展系統(tǒng)的平坦屬性，約束框架角為最優(yōu)偽逆操縱律[12]的解，即定義框架角為

(13)

框架角可由平坦輸出唯一表示，則系統(tǒng)是微分平坦系統(tǒng)。

(14)

式中：τgg為重力梯度力矩；ωo為衛(wèi)星的軌道角速度；τgg=3(ωo)2[i×]Ji，其中，i為地心與衛(wèi)星質心連線方向的單位矢量。

2.1.2 平坦輸出基函數

平坦輸出參數化是軌跡優(yōu)化的關鍵，通過參數化將含有微分的最優(yōu)控制問題轉換為非線性規(guī)劃問題[13]，不同的基函數對優(yōu)化效果和計算效率有不同的影響。

受文獻[14]的啟發(fā)，采用虛擬域的方法，通過分離時間域與空間域，使軌跡可用不同的速度場描述。引入虛擬域參數γ，則γ與時間域t相互轉換，即

(15)

給定控制點p0,p1,p3,…,pn，則由這些控制點約束的虛擬域的Bezier多項式p(γ)為

(16)

式中：βi,n(γ)為第n個伯恩斯坦多項式，即

(17)

Bezier多項式的性質[15]為

(18)

每個MRP都可在虛擬域γ∈([0,1]中用Bezier多項式表示，即

(19)

(20)

式中：j=1,2,3。

對于有NB個端點約束的Bezier多項式，其控制點的個數要求n≥NB+1，則至少有1個控制點參數可作為優(yōu)化變量對路徑進行優(yōu)化。

2.1.3 非線性規(guī)劃模型

本系統(tǒng)中的狀態(tài)量和控制量都可由平坦輸出(σ1,σ2,σ3)表示，通過對平坦輸出參數化，將系統(tǒng)中的狀態(tài)量和控制量都由控制點待定的Bezier多項式表示出來，則軌跡規(guī)劃問題被轉化為對Bezier曲線的控制點求解的非線性規(guī)劃問題。

對于不同的任務要求，非線性規(guī)劃問題的性能指標不同。本文以最小能量為優(yōu)化目標，定義性能指標

(21)

minQ=Q[p0,p1,p3,…,pn]

(22)

(23)

式中：p0,p1,p3,…,pn為Bezier曲線的一組控制點。

2.2 姿態(tài)跟蹤控制算法設計

2.2.1 基于跟蹤誤差的姿態(tài)動力學模型

基于微分平坦理論設計的姿態(tài)軌跡，雖然考慮了軌道角速度和重力梯度力矩的影響，但在實際機動過程中，仍受到不確定的環(huán)境力矩和干擾力矩的影響。需要采用合適的控制算法，在環(huán)境干擾的影響下，于有限的時間內使實際姿態(tài)軌跡快速收斂至所規(guī)劃的開環(huán)最優(yōu)軌跡上。

(24)

根據式(24)，定義姿態(tài)誤差MRPσe[16]，有

(25)

同樣，使用角速度偏差ωe來表示實際角速度ω和目標角速度ωc之間的偏差，有

(26)

(27)

將式(5)代入式(27)，可得關于角速度偏差ωe的運動學微分方程為

(28)

式中：τ=τgg-u+τo，τ為控制力矩、重力梯度力矩和氣動力矩的總和；d為環(huán)境的干擾力矩。

根據式(3)可列出關于姿態(tài)偏差σe和角速度偏差ωe的運動學微分方程，即

(29)

對式(29)求導，得到

(30)

對式(30)左乘JG-1，再將式(28)代入，整理得到

(31)

式中：

(32)

2.2.2 滑模控制器設計

定義滑模控制器的切換函數為

(33)

式中：λ為三階正定對角矩陣。

趨近律采用指數趨近律[17]，形式為

(34)

對式(33)求導，代入式(34)中整理后可得

(35)

將式(35)代入式(31)，化簡得到滑模控制方程為

A1kλσe+(A3-A1εsgns)

(36)

式中：εsgns為魯棒項，用于克服不確定的干擾力矩的影響。但是，由于使用了階躍的切換函數，使得產生的控制信號產生抖振。考慮采用連續(xù)切換的雙曲正切函數來代替階躍函數，從而降低滑模過程中的抖振[18]。設計魯棒項γtanh(βs)代替εsgns。其中，將向量的雙曲正切函數性質定義為[19]

tanh(q)=diag(tanh(q1),tanh(q2),tanh(q3))

(37)

式中：γ和β為大于0的參數。γ與環(huán)境干擾力矩的上界有關，干擾上界越大，γ取值也越大。β的取值和邊界層Δ相關，β=1/Δ。邊界層具有如下性質：在邊界層外，魯棒項采用切換控制，系統(tǒng)能以較快的速度到達切換面；在邊界層內，魯棒項采用反饋控制，可減小抖振效應。則控制器設計為

A1kλσe+[A3-A1γtanh(βs)]

(38)

3 仿真算例

衛(wèi)星轉動慣量為J=diag(36,36,60)kg·m2，在高度約為380 km的圓軌道運行，軌道角速度近似于常值0.001 1 rad/s。SGCMG選用由4個陀螺組成的金字塔構型，如圖3所示。

圖3 金字塔構型控制力矩陀螺機構示意圖Fig.3 Schematic diagram of pyramid configuration SGCMG

系統(tǒng)安裝傾角β=54.13°，gi(i=1,2,3,4)為每個陀螺的框架安裝方向，框架繞安裝方向逆時針旋轉。圖3中，hi(i=1,2,3,4)為框架角為0°時輸出角動量的方向。根據構型，安裝矩陣為

(39)

(40)

單個陀螺角動量大小為1.5 N·ms，根據式(3)，角動量幅值為4.95 N·ms。可輸出的最大控制力矩為5 N·m，最小奇異測度為1.2，機動時間為50 s，機動起始端點約束見表1。

表 1 姿態(tài)端點約束

仿真試驗所用的電腦配置為Inter(R) Core(TM) i7CPU，主頻為3.6 GHz，內存為4 GB，仿真編程環(huán)境為MATLAB R2016b。采用SQP算法進行非線性優(yōu)化，Bezier曲線的控制點個數分別取5，6，7，8(多項式階次分別為4，5，6，7)。優(yōu)化得到的軌跡性能指標和所需計算時間見表2。由表可知，隨著控制點增多，優(yōu)化得到的軌跡性能指標越優(yōu)，但所需的計算時間也越多，其中，當控制點取到最小值5時，規(guī)劃時間僅需0.7 s。

表 2 不同控制點個數軌跡規(guī)劃結果比較

取5個控制點優(yōu)化所得的姿態(tài)路徑作為目標路徑，如圖4所示，采用滑模跟蹤算法進行姿態(tài)控制。控制器參數選取為

(41)

圖4 4階最優(yōu)軌跡Fig.4 Optimal trajectory in 4 orders

誤差MRP的變化曲線如圖5所示。由圖可知：為完成初始姿態(tài)捕獲，前6 s控制方式為變結構控制，有抖振現象出現；當誤差足夠小后，控制方式變?yōu)榉答伩刂疲瑢嶋H姿態(tài)能以較小的誤差平穩(wěn)跟蹤目標姿態(tài)。控制力矩隨時間變化情況如圖6所示。由圖可知：在變結構控制階段，控制力矩較大；從變結構控制轉為反饋控制后，控制力矩以較小量完成姿態(tài)跟蹤。機動全程控制力矩小于5 N·m，符合SGCMG力矩輸出能力。機動全程MRP誤差在3×10-3以內，在反饋控制階段，MRP誤差在2×10-4以內。控制算法能很好跟蹤期望姿態(tài)路徑。奇異度量值的變化曲線如圖7所示。由圖可知：在機動過程中，奇異測度值始終大于1.2，SGCMG一直處于遠離奇異的狀態(tài)，具有穩(wěn)定的控制能力。機動全程的角動量曲線如圖8所示。由圖可知：角動量一直小于2 N·ms，處于角動量飽和上限以內。

圖5 誤差修正羅德里格斯參數Fig.5 Error MRP

圖6 控制力矩隨時間變化Fig.6 Control force versus time

圖7 奇異度量隨時間變化Fig.7 Singularity parameter versus time

圖8 角動量值隨時間變化Fig.8 Angle momentum versus time

4 結論

本文主要針對以SGCMG為姿態(tài)執(zhí)行機構的小衛(wèi)星的姿態(tài)機動問題，基于SGCMG力矩輸出效率高，但具有奇異飽和性能的特點，設計了基于平坦微分理論的快速參考軌跡規(guī)劃方法和滑模控制器相結合的控制方法。該方法考慮了軌道角速度、重力梯度力矩和空間擾動力矩的影響，在約束范圍內具有很好的控制精度，且所需的計算時間少，能滿足星載在線控制的需求。該方法基于平坦微分理論將最優(yōu)控制問題轉化為非線性優(yōu)化問題，提高了計算效率。與文獻[2]中需要6 min計算時間相比，該算法能在0.8 s內找到光滑無奇異的姿態(tài)軌跡，大大提高了規(guī)劃效率；與文獻[3]中僅考慮端點奇異狀態(tài)的規(guī)劃方法相比，該算法考慮了機動過程中的奇異狀態(tài)，能保證在機動過程中不會陷入奇異，更具穩(wěn)定性，可滿足星載在線控制的需求。采用具有NB個控制點的Bezier多項式來表示軌跡，保證姿態(tài)軌跡NB-1階連續(xù)，所設計的的軌跡具有角速度和角加速度連續(xù)、軌跡平滑的優(yōu)點。本文算法能在有限干擾的影響下以小誤差跟蹤期望姿態(tài)，保證了跟蹤精度，使機動全程控制力矩、角動量、奇異測度都在限定范圍內。然而，多項式對曲線的表述能力有限，這也導致優(yōu)化得到的姿態(tài)軌跡一般是能量次優(yōu)解。在后續(xù)研究中，將尋找更具完備性的多項式來描述平坦輸出。