基于ARIMA模型的邊坡變形分析與預測

胡 波，譚 涵

(重慶市勘測院，重慶 400000)

由于受復雜的地質條件的影響，邊坡穩定問題一直是巖土工程界關注的焦點問題。為了保證工程施工和運行的安全，對邊坡監測數據進行長期監測并預測其變形趨勢至關重要。時間序列分析是一種認識產生觀測序列的隨機機制及對序列未來的可能取值給出預測或預報的重要手段，廣泛應用于商業、氣象學、農業、形變監測、醫學等領域[1-6]。如時序分析方法用于GNSS數據處理[7-8]，同時也可與灰色模型、小波分析、頻譜分析進行結合建模[9-11]，在大壩、基坑、橋梁等土木工程形變分析中取得了不錯的結果[12-15]?，F有研究表明自回歸滑動平均求和(ARIMA)模型是一種常用時間序列分析模型。本文詳細論述建立ARIMA模型的關鍵步驟，并建立模型對某邊坡工程461 d的觀測數據進行分析和預測，驗證利用ARIMA模型對邊坡監測數據進行分析與預測的可行性和有效性。

1 數據與方法

本文采用某邊坡工程從2016年6月29日—2017年10月4日期間的監測數據成果，該數據包含了461 d中1202期觀測結果。由于時間序列分析的基礎數據一般為離散、等間隔的數據序列[2]，而原始觀測數據非等間隔觀測，試驗過程中采用內插方法對數據進行重采樣，從而得到X方向和Y方向每天的平面位移的時間序列。利用R語言建立模型分析時間序列，利用前430個數據建立ARIMA預測模型，利用后31個數據對預測結果進行評估。

自回歸滑動平均(ARMA)模型是目前最常用的一種平穩時間序列預測模型。一般來說，如果滿足

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+et-

θ1et-1-θ2et-2-…-θqet-q

(1)

則稱{Yt}為自回歸滑動混合平均過程，階數分別為p和q，表示為ARMA(p,q)。

2 時序分析建模

2.1 數據平穩性分析

根據觀測記錄對隨機過程的結構進行統計推斷時，通常對其做出某些簡化的(大致合理的)假設，其中最重要的假設即是平穩性。平穩性的基本思想是：決定過程特性的統計規律不隨時間的變化而變化。一個隨機過程{Yt}稱為弱平穩的條件是：均值函數在所有時間上恒為常數，且自協方差值只與滯后階數有關。通常非平穩時間序列可以通過差分得到平穩的時間序列。常用的時間序列平穩性檢驗方法有圖示法和單位根檢驗法。

圖1為X方向位移和Y方向位移的時間序列圖，可以看出具有明顯的趨勢，均值隨時間不斷變化，因此可以判斷X方向和Y方向位移的時間序列為非平穩時間序列。單位根檢驗法一般常用的有DF檢驗(Dickey-Fuller test)、ADF檢驗(augmented Dickey-Fuller test)和PP檢驗(Phillips-Perron test)。對于X方向的位移，ADF檢驗的P值為0.107 6，接受原序列非平穩的假設；PP檢驗的P值小于0.01，拒絕原序列非平穩的假設。對于Y方向的位移，ADF檢驗和PP檢驗的P值均小于0.01。結合時間序列圖像綜合判斷，X方向和Y方向的位移為非平穩時間序列。

對X方向和Y方向的位移進行一階差分后的時間序列圖像如圖2所示。從圖2中可以發現X方向和Y方向位移一階差分后的結果基本上在0附近波動，并且ADF檢驗和PP檢驗的結果均表明，兩個一階差分后的時間序列是平穩的。因此，可以考慮使用一階差分的ARIMA模型對這兩個時間序列建模。

2.2 時序分析建模

要確定ARIMA(p,d,q)模型的參數p、d、q的值，一般先通過樣本自相關函數(ACF)圖和樣本偏自相關函數(PACF)圖來判斷。對于AR(p)模型，其ACF圖一般呈現拖尾特征，而PACF圖則在滯后p階后截尾；對于MA(q)模型，其ACF圖一般在滯后q階后截尾，而PACF圖呈現拖尾特征；對于ARMA(p,q)模型，ACF圖和PACF圖都呈現拖尾特征。從圖3可以看出，一階差分后的X方向位移時間序列的1階滯后自相關函數值非常顯著且在1階以后截尾，其偏自相關函數值只在1、2、3階較為顯著。一階差分后的Y方向位移時間序列的1階滯后自相關函數值在滯后1、2、3、13階顯著，其偏自相關函數同樣在1、2、3、13階顯著。判斷這兩個時間序列可能是ARMA混合模型，需要進一步判斷其階數。

樣本ACF和PACF可以有效地識別純AR(p)或MA(q)模型，但是對于混合ARMA模型來說，它的理論ACF和PACF有著無限多的非零值，使得根據樣本ACF和PACF來識別混合模型非常困難。因此，擴展自相關法(EACF)常常被用于確定ARMA模型的階數，并且EACF法對于適度大的樣本容量具有較好的樣本性質。圖4為兩個一階差分時間序列的EACF圖，可以看出X方向的EACF的零三角區域非常清楚地顯示出p=1、q=1的ARMA模型比較合適。而Y方向的EACF圖的零三角區域為p=2、q=2，還需進一步分析，某些系數可能是因為偶然因素在統計上顯著不為零。

為了得到一些可供深入研究的有用的初步模型，使用BIC檢查幾個最佳子集ARMA模型，匯總在圖5中。圖中的每一行對應著一個子集ARMA模型，模型所選變量的單元格用陰影表示，根據BIC值將模型分類，較好的模型(有較低的BIC值)處于較高的行中，并且顏色也較深。對于X方向的時間序列，最上面一行說明具有最小BIC值的子集ARMA(7,7)模型只包括觀測時間序列誤差過程的1階滯后；其次最好的模型包括時間序列1階滯后及誤差過程的2階滯后；第3個較好的模型包括時間序列1、2階滯后和誤差過程的2階滯后。在不同的子集模型中，時間序列的1階滯后和誤差過程的2階滯后是出現最頻繁的變量。而對于Y方向的時間序列，最好的子集包括觀測時間序列2階滯后和誤差過程的1階滯后；其次最好的模型只包括誤差過程的1、2、6階滯后；第3個較好的模型只包括誤差過程的1階滯后。在不同的子集模型中，時間序列的2階滯后和誤差過程的1階滯后是出現最頻繁的變量。綜上所述，筆者選擇ARIMA(1,1,1)模型為X方向位移建立時間序列模型，選擇ARI(2,1)模型為Y方向位移建立時間序列模型。

在識別X方向和Y方向位移的時間序列模型為ARIMA(1,1,1)和ARI(2,1)后，接下來就需要估計模型的參數。常用的參數估計方法有矩估計、最小二乘估計、極大似然估計和無條件最小二乘估計。本文使用R語言中的arima函數進行參數估計，其中的method參數可以選擇參數估計的方法為“CSS”(最小二乘估計)、“ML”(極大似然估計)或“CSS-ML”，默認的方法是“CSS-ML”，即先通過最小二乘估計計算初值，再用極大似然估計方法計算。計算結果見表1。

表1 平面位移的時間序列模型參數的極大似然估計值

注：P為似然對數值。

3 結果分析

3.1 模型殘差

為了判斷模型的擬合優度，并給出適當的調整建議，往往需要分析擬合模型的殘差。殘差等于實際值減去預測值，如果模型正確識別，殘差應當具有以下兩條性質：①參數估計充分接近真值，則殘差應近似具有白噪聲的特性；②呈現獨立、同分布、零均值和相同標準差的正態變量。與這些性質的偏離有助于發現更合適的模型。

3.2 過度擬合

過度擬合是指在識別并擬合出我們認為合適的模型之后，擬合一個更一般的模型，即一個“接近”的模型。該模型以原始模型為特例包容原始模型，如果額外參數的估計不顯著地不為零并且兩個模型共同參數的估計與原始估計相比沒有顯著的改變，則認為原始模型合理。針對擬合出的ARIMA(1,1,1)和ARIMA(2,1,0)模型，本文選取包容它們的ARIMA(2,1,1)模型作為一個“接近”的模型，并進行參數估計，結果見表2。

方向系數估計值標準差X方向位移ar1 0.63140.1262ar2-0.04040.0602ma1-0.77200.1177^σ2=0.4435,P=-434.36,AIC=874.72Y方向位移ar1 0.45680.0600ar20.10490.0560ma1-0.92650.0340^σ2=0.5138,P=-466.32,AIC=938.65

注：P為似然對數值。

從表2可以看出，對于X方向位移的時間序列，新增的參數ar2估值為-0.040 4，并不顯著，并且過度擬合的參數標準差都有所增大，AIC值也明顯增大。因此，認為ARIMA(2,1,1)模型對X方向位移是過度參數化的，ARIMA(1,1,1)模型更加合理。對于Y方向位移的時間序列，新增的參數ma1估值為-0.926 5，非常顯著，AIC值也明顯變小，因此判斷ARIMA(2,1,1)模型是更合理的。其殘差檢核結果如圖7所示，可以看出結果是優于原ARIMA(2,1,0)模型的。

3.3 模型預測

利用前430個X和Y方向的位移數據分別建立了合理的ARIMA模型，然后向后預測20步，與實測數據的結果對比，對比結果如圖8所示。圖8中黑色實心點為預測值，十字標記為實測數據值，上下虛線為95%預測極限?？梢钥闯鰞蓚€時間序列的預測值變化都很平滑并逐漸趨近于一個均值，預測值的變化趨勢和實測數據大致一致，且實測數據值都在預測值的95%預測極限之內，預測結果較好。

4 結 語

本文使用2016年6月29日—2017年10月4日共461 d的邊坡監測數據進行時間序列分析。首先利用圖示法、ADF檢驗和PP檢驗分析了數據的平穩性，發現X方向和Y方向位移的時間序列并不平穩，然后通過一階差分得到了平穩的時間序列，再利用ACF、PACF、EACF和BIC的結果來識別ARIMA模型的階數，對X方向位移得到了ARIMA(1,1,1)模型，對Y方向位移得到了ARIMA(2,1,0)模型，并使用CSS-ML方法進行了參數估計。隨后利用殘差分析和過度擬合的方法進行了模型評價，發現X方向位移的ARIMA模型符合標準，通過檢驗，而Y方向位移的ARIMA模型則應該擴展為ARIMA(2,1,1)。最后利用前430個數據的模型預測了之后的31個數據，與實測數據符合較為理想。因此，通過ARIMA模型對邊坡監測數據進行時間序列建模是一種有效的分析和預測手段，對工程施工和防災減災具有重大意義。