基于比例故障模型的發射車液壓系統狀態維修決策*

韓 華 余仁波 柳洪剛

（1.海軍潛艇學院 青島 266000）（2.海軍航空大學 煙臺 264001）

1 引言

液壓系統是導彈發射車的重要組成部分，主要完成導彈發射車的調平和起落架的起豎工作［1］。液壓系統工作負載大、環境復雜，容易出現爬行、滲漏等故障。實際上，如果液壓系統設計制造質量好，則造成故障的原因大多是維護及保養不當引起的。液壓系統70%的故障發生率，與液壓油有關，在這70%中約有90%是由于雜質破壞所致［2］，所以液壓系統服役期限的長短取決于液壓介質的清潔度以及液壓系統運行中的正確監測、維護及保養。

狀態維修（Condition Based Maintenance，CBM）作為一種新的維修思想，考慮系統運行的狀態、系統個體差異，盡可能在故障發生前進行維修，降低故障發生概率，減少維修費用、提高裝備使用可靠度、提高裝備的利用率［3～5］。在狀態維修中，建立CBM模型的目的就是在系統運行過程參數與系統本身完好程度之間建立精確的聯系［6］，它可分為確定性模型和概率性模型兩種，建模方法大致包括基于概率統計理論的方法和基于隨機過程理論的方法兩大類。針對液壓系統狀態監測數據復雜、穩定性差的特點，利用威布爾比例故障率模型能夠處理多個因素對生存時間影響的問題，又能在計算故障率的同時考慮壽命和狀態信息的優勢，建立比例故障率模型。在保證最大可用度下，利用模擬的液壓系統監測數據對維修決策方法進行了仿真，得到具體的維修決策方案。

2 比例故障模型

比例故障率模型（Proportional Hazards Model，PHM）又稱Cox模型［7］，是一種適用性很強的壽命數據統計分析方法，屬于一種根據裝備狀態監測和歷史壽命等數據信息建立某一裝備失效模型的建模方法。該模型的最大優勢是能夠處理多個因素對生存時間影響的問題，又能在計算故障率時同時考慮壽命和狀態信息，有著其他模型無法比擬的優點。

比例故障率模型是指這樣一類模型，其模型具有如下性質：不同個體的故障率函數成比例。PHM中引入新的信息，稱為協變量，反映裝備伏態信息，如振動或油料分析測量的數據。比例故障率模型的基本形式為

其中：λ(t，z(t))為故障率；z(t)為協變量，即運行狀態的監測值，也可以是任何反映系統狀態的因素；λ0(t)為僅與時間相關的基本故障率；回歸參數γ表示協變量對故障率函數的影響。

從式（1）可以看出，對于兩個同類系統分別給定協變量值，其故障率函數之比為

因此，兩個系統故障率函數之比不隨時間t的變化而變化。

2.1 模型假設和符號說明

1）模型假設

（1）故障率函數的比值不依賴于時間t；

（2）完全信息水平，即在監測時，獲得的關于系統狀態的信息是完全的；

（3）在狀態數據使用方面只使用狀態監測數據，不考慮事件數據，例如，裝備安裝、停工、大修等；

（4）只考慮單系統狀態。

2）符號說明

β、η是模型中待估計參數，β為形狀參數，η為尺寸參數；γ是p維協變量γ=[γ1，γ2，…，γp]的回歸系數矢量；z是p維協變量z=[z1，z2，…，zp]的系統狀態監測特征量矢量；R(t)為可靠度函數；f(t)為樣本分布的密度函數；λ(t)為故障率函數；n為n個試驗樣品；i為試驗樣品的編號，如第i個試驗樣品；δi為0-1變量，δi=1表示第i個樣品在試驗過程中發生了故障，δi=0表示第i個樣品在試驗過程中沒發生故障；Ai為第i個試驗樣品的剩余壽命。

2.2 威布爾比例故障率模型WPHM

威布爾分布是可靠性工程領域中應用最為廣泛的壽命分布［8］，其最大優點在于對各種類型的試驗數據具有極強的適應能力。兩參數的威布爾分布的基本形式為

從式（5）可以看出δi是一個示性變量，δi=1表示第i個樣品在試驗過程中發生了故障，則Ti=Ai；δi=0表示第i個樣品在試驗過程中沒發生故障，則Ti=Li。這時，n個樣本的似然函數為

其中，β、η為參數。

下面介紹建立威布爾分布比例故障率模型的過程。

1）樣本數據的建立

比例故障率模型能夠很好地建立起系統運行狀態和故障率之間的關系，對各種類型試驗數據具有極強的適應性，能夠在考慮系統內部狀態的同時也考慮到運行環境、負載大小以及系統運行歷史數據等因素對裝備壽命的影響。因此在建立該模型的開始階段，要盡可能全面地考慮所有影響系統運行壽命的因素，通常將各種狀態信息特征量和環境應力、工況條件等均作為伴隨變量考慮進來。

2）涉及截尾的問題

壽命數據的一個重要特點是廣泛存在截尾現象。截尾數據的樣本分布與通常數據的分布是不同的，截尾的機制不同，在建立模型時也必須考慮找到不同的參數估計和校驗方法。

假定考察n個樣本，分別規定試驗截尾時間L1，L2，…，Ln，第i個樣品的壽命為Ai，假定各樣本壽命分布為獨立同分布的，其密度函數為g(t)，可靠度函數為R(t)，樣品i的壽命Ai只有在Ai≤Li時才能被觀察到。在此條件下，試驗后可得到第i個樣品的工作時間長度Ti，其表達式為

引入0～1變量δi表達式為

如果在n個樣本中有r個發生故障，可以在實驗結束后對樣本進行重新排序，將故障樣本排序為第1到第r，第r+1到第n個樣本為截尾樣本。這時，樣本的似然函數為

3）伴隨變量的篩選

狀態監測數據在可靠性理論中普遍定義為協變量，在對比例故障率模型進行建模時，協變量可以分為外部協變量和內部協變量。外部協變量是影響裝備的外部環境因素，一般不會隨著系統運行過程而發生改變，進而不會引起系統風險特性的變化。而內部協變量是裝備內部隨機過程產生的輸出，隨著系統的運行而發生改變。

設計協變量的相關系數矩陣，為了使各個伴隨變量參數之間獨立性較好，要求各變量之間的偏相關系數盡量小，可以用主成分分析、聚類分析、因子分析等降維方法來從相關的參數里選擇出相互獨立的變量參數。

在變量篩選過程中，通常顯著性水平P值在置信度為95%下，小于0.05的變量被納入模型，大于0.1的變量則從該模型中剔除。

同時必須注意，經過篩選后的伴隨變量要與實際情況相吻合，盡可能使選擇的參數能較為完整地從多個方面反映系統或者裝備的失效狀態。

4）WPHM模型的建立

協變量篩選得出之后，比例故障率模型中的基準分布函數決定該模型的類別，威布爾分布是可靠度理論及有關壽命等問題中常采用的分布之一，比例故障率模型中基本故障率函數為威布爾分布時［9］，令

然后，將式（3）代入式（1），得到威布爾比例故障率模型為

式中，γ為p維協變量γ=[γ1，γ2，…，γp]的回歸系數矢量，z為p維協變量z=[z1，z2，…，zp]的系統狀態監測特征量矢量。

WPHM模型中待估計的參數有β，η，γ，常選擇極大似然估計法對其進行參數估計。

5）WPHM模型的參數估計

在應用比例故障率模型之前，需要先對模型中的參數β、η、γ進行可靠性估計，從而確定模型的具體形式。矩估計法、圖參數估計法和極大似然估計法是常見的可靠性參數估計方法。極大似然估計法在處理截尾數據的情況下具有明顯的優勢，所以，利用極大似然估計法對威布爾比例故障率模型中的參數進行估計。

由f(t)=R(t)λ(t)，對式（6）進行變換，得到：

令λ0(t)=f(t)，將式（3）代入式（10），得到似然函數：

對上式取對數，得到lnL為

根據極大似然估計法，分別對對數似然函數lnL(X|β，η，γ)中的待估計參數β，η，γ求偏導數，令各偏導數等于零得到非線性方程組。將監測得到的協變量zi(t)及壽命數據t代入方程組，用New-ton迭代法或者Nelder-mead's算法可以求解得到β，η，γ的估計值，，，從而得到參數估計后的威布爾比例故障率模型為

當確定了狀態與故障率函數之間的關系后，按照一定的目標函數（最小維修費用或者最大可用度等）建立維修決策模型，以故障率作為決策變量就可以得到故障率的閾值，最后根據狀態計算出當前故障率分布，與閾值比較選擇合適的維修措施。

3 以最大可用度為目標函數的維修決策

假設裝備在一個預防維修周期內，平均工作時間為Tu，平均維修時間為Td，平均預防性維修時間為Tp，平均修復性維修時間為Tc（Tc＞Tp），因此，每一次預防性維修周期維修時間Td為［10］

其中，R(T，Z)是系統在T時刻的可靠度，得到一個預防性維修周期內裝備平均工作時間的Tu，即

進而，得到穩態可用度［11］為

顯然，當θ最小時，A最大，所以下面求得最小的θ。

由于已經根據歷史數據回歸出了裝備故障率與時間和伴隨變量的關系，并且穩態可用度只有一個極值點。因此，可以用數值解法算出其中一組失效數據的平均可用度最大時的更換間隔期T，將此最佳更換維修時間T和T時刻對應的伴隨變量值代入回歸的故障率模型，得到一個故障率λ′，然后以此為標準就可以對相同型號的裝備實測數據進行決策。

要使新裝備的平均可用度最大，其故障率λ必須小于故障率閾值，換句話說就是如果λ大于等于λ′就必須維修，即

其中，β、γ、η為比例故障率模型中的參數，然后，將式（19）兩邊取對數，得到

式中，n為狀態監測次數，zn(t)表示第n次監測時系統的狀態信息。

以式（20）作為維修決策判別式，將監測的狀態參數z1(t)、z2(t)、…、zn(t)和時間t代入式（20）進行計算，如果此式成立，則繼續工作；否則，需要進行預防性維修。同時，如果運行過程中出現故障，則立即進行維修，維修后系統如新，狀態恢復到初始狀態。

4 基于最大可用度的比例故障率模型仿真

從狀態數據中截取20組故障狀態的數據作為樣本數據，以液壓系統故障時狀態評估數據［12］為自變量，監測的調平油缸壓力、分流集流閥流量、……、齒輪泵溫度、液控單向閥壓力、主管路壓力等16個參數為預設協變量。

當存在多個協變量對狀態評估值均有影響時，首先需要通過相關性分析確定顯著性協變量，然后建立協變量與狀態數據之間的關系模型，并根據該模型中協變量的作用大小，對當前液壓系統的狀態進行分析和預測。各協變量的計算結果見表1。

同時，得到顯著性分析的殘差分布如圖1所示。

然后，根據表1的分析結果，按照P值檢驗準則，可知水平變送器壓力、濾油器流量、齒輪泵溫度、液控單向閥壓力、輔助泵出口壓力、手搖泵出口壓力、泵出口流量八個協變量因無顯著作用而被剔除，最終余下八個協變量分流集流閥流量、調平油缸壓力、起豎油缸位移、泵出口流量1、鎖定油缸壓力、分流節閥流量、換向閥壓力、主管路壓力被篩選進入模型，記為

另一方面，由圖1顯著性分析殘差分布結果可知，預測值與觀測值的分布類似，且回歸方程預測值與已觀測值的標準殘差分布集中，說明回歸方程的預測效果比較好，即選擇的八個顯著性協變量能夠解釋大部分的協變量。

即lnt與ln(l n(S(t)))或ln(H(t))之間呈線性關系，按照裝備使用經驗［13］設定C1C2為0.012，根據歷史故障數據，聯立式（13）、式（21）和式（22），利用Matlab編程，采用最小二乘優化方法，解出聯立的超定方程組，有

式中，X(t)={x1(t)，x2(t)，…，x8(t)} 分別表示分流集流閥流量、調平油缸壓力、起豎油缸位移、泵出口流量1、鎖定油缸壓力、分流節流閥流量、換向閥壓力、主管路壓力的狀態監測數據。

以最大可用度為目標進行決策，由式（15）設定故障維修時間與預防性維修時間之比：

其中，Mct為故障后維修時間；Mpt為預防性維修時間。由式（16）、式（23）和式（24）得到系統可用度曲線如圖2所示。

分析圖2系統可用度曲線，可知：

1）系統在剛開始運行時，即時間小于6000h時，系統的可用度增加明顯，實際上系統剛開始運行存在磨合期，這時可靠度相對較低，隨著系統磨合的進一步深入，系統的穩定性和可靠性都在顯著增加；

圖2 系統可用度曲線

2）系統在運行6234h后可用度達到極大值0.961，這時系統磨合成熟，可靠度高，運行穩定；

3）當運行時間大于6300h，系統可靠度在慢慢下降，但是下降的幅度遠比磨合期增加的幅度要小，系統運行比較可靠。

由圖2得到系統運行到最大可用度0.961時的時間t=6234h，將t以及t時刻的狀態數據代入式（23）得到維修的故障率閾值λ′=0.003，根據式（19）做出維修決策曲線，將當前時刻監控到的狀態參數代入式（23）計算，并在圖中畫點。該點若處于決策曲線上方，則立即維修；若處于曲線下方，則繼續工作。根據仿真狀態數據，代入式（23）得到決策值，并在圖中畫出決策點如圖3所示。

圖3 故障維修決策圖

分析圖3故障維修決策圖，有以下結論：

1）系統的故障率呈現逐漸增加的趨勢，并且在系統磨合期結束時可靠度最大，即可靠度最大的時故障率最低，這與實際情況是吻合的；

2）系統在運行一段時間（自然時間）后，即在9000h后開始出現故障，分別在9101h、9235h、9488h、9625h、9941h、10148h、10308h、10571h、10728h、10963h、11035h、11605h出現的故障需要立即維修，共計12次。

5 結語

針對液壓系統狀態監測數據復雜、穩定性差的特點，采用威布爾比例故障率模型處理多個因素對生存時間影響的問題，通過相關性分析確定顯著性協變量，建立協變量與狀態數據之間的關系模型，并根據該模型中協變量的作用大小，以最大可用度為目標，綜合考慮壽命與狀態信息，采用模擬監測數據對維修決策方法進行仿真。仿真結果表明，比率故障率模型仿真決策方法注重對故障信息的分析，可得到裝備故障率閾值，液壓系統維修決策科學、合理。