曲線約束摩擦力速度問題的求解

何 健

(綿陽師范學院數理學院，四川 綿陽 621000)

利用自然坐標系處理含約束的質點動力學問題是大學物理中常見的類型。此類問題通常配合使用雙坐標形式，以自然坐標系描寫力，直角坐標系描寫約束體幾何形狀，其中二次型曲線(如周衍柏《理論力學》[1]中鋼索類)、曲面(如程守珠《普通物理學》[2])占了主要內容。該類型問題對于拓寬學生視野，練習多種數學工具的使用，加深對牛頓定理求解問題的理解都十分有益。然而目前的情形是：幾乎所有的例題、習題都對其中的摩擦力進行了回避——題設中必定出現“‘界面光滑’，‘滑動摩擦因數為零’……云云”。究其原因，是因為考慮摩擦后，由于約束的影響，會使得力學方程變為一組耦合的非線性方程組，而且由幾何因素的介入，會使得形態復雜，不易求解，因此對含摩擦的情形避而不談。然而筆者認為此類做法欠妥，因為“摩擦”作為一種常見力，自中學開始便是學生學習討論的重點對象之一，對于這樣熟悉的領域，相關問題已經成功地解決多次，教學上不應一味回避，否則只會挫傷學生的信心，進而對物理理論產生不信任感，無疑對今后的教學十分不利。本文便就此問題進行展開，拋磚引玉，期望獲得同行們更多更好的意見建議。經過分析，筆者認為此類型問題只要考慮好約束體的幾何特征，經過一些巧妙變化，是可以將方程做簡易的、不脫離學生實際情況的線性化處理的。

1 理論推導

1.1 典型問題

(此處選自周衍柏《理論力學》[1]，為方便計算，參數略有改變)

圖1 鋼索形態示意及小環受力分析圖

在鋼索上建立自然坐標系，如圖1所示，以小環滑動方向為切向(以便在進行速度的投影時確保速率的值恒正)，將動力學方程在自然坐標系中投影為分量形式：

此問題容易求解的原因在于兩個方向沒有耦合，體現出來的是微分方程性質為線性的，且為可直接變量分離、進行積分的形式。這是目前大學物理教學給予學生的常見習題(及例題)。在此基礎上的問題變形基本可分為3大類：(1)鋼索開口向下，由頂點開始給予小環一沖擊使其獲得初始速度，討論之后的運動情況；(2)轉換為半約束的問題，如程守珠《普通物理學》[2]，此類型問題因為是處理一些特殊點，往往最終化為代數方程討論；(3)更換曲線形態，這種情形除具體處理中考慮一些幾何因素之外并無實質的變化。然而一旦去掉“光滑”這一特殊條件之后，情形就變得艱難：

受力分析須考慮摩擦力部分，故牛頓第二定律變為：G+N+f=ma，同樣在自然坐標系中進行投影，得：

其中，因為鋼索形態描述為連續可導函數，因此與小環接觸面視為小平面，故滑動摩擦力沿切線反方向(與速度相反)，同時注意到小環受到滑動摩擦力與鋼索給予的正壓力滿足簡單關系：

f=μN

(3)

因此：

(4)

v2項的引入使得切向方程性質變為非線性，正余弦兩個角參量的介入也使得該方程難以直接進行變量分離，同時還得考慮與鋼索形態有關的曲率半徑項，這都使得直觀上要給出該方程解析解似乎是不可能的。經過分析，筆者認為此問題的關鍵在于解決v2項以及找到對曲率半徑的復雜表示進行化簡的技巧，而且基于“多數類似題目中的約束體形態都是二次型”這一事實，我們提出沿著不同的路徑進行的兩種辦法：化為可分離變量的形式進行積分求解以及構造成標準一階線性常系數非齊次微分方程，以通解形式給出結論。

1.2 解法一： 分離變量法

前面提到，因為在大學物理階段學生遇到的問題中約束體形態較多情形下均為二次型，同時就求解微分方程而言，學生在對數學工具掌握還不夠系統熟練的時候，總是期望能以大學物理課本上所演示的辦法進行變量分離后再積分。因此，我們首先嘗試這一操作辦法，將證明當約束體為二次型曲線時，原切向方程可化為以分離變量求解的形式。

(5)

此處的重要技巧便是對v2項進行變形處理：

(6)

選擇vx為新變量，將原方程右側變形為

(7)

注意其中角參量增向與s增向剛好相反[3](這是由于我們希望保持速率本身恒正所做的切向選擇所導致的結果),故：

(8)

代入，得

化簡得：

(9)

若y″>0，則：|y″|=y″

移項得：

于是獲得可分離變量的形式：

(10)

式(10)化為

(11)

至此，我們證明了當約束體為二次型曲線時，原切向方程可化為以分離變量求解的形式。

積分，得：

(12)

由約束的幾何性質，得：

(13)

1.3 解法二： 一階線性化方程法

當約束體不再是二次型，而是具備更高階的導數的形態時，由前所述，無法再進行直接的變量分離。但依然不想就此放棄解析法而轉向數值計算，因此希望找到具有普適性意義的“線性化辦法”。(與法一推導重復部分略)由：

此處關鍵步驟在于，為線性化方程，需考慮將速率平方作為新變量，而為了達到此目的且同時將復雜的幾何參量一并消減，需對右側部分使用一些形變技巧：

于是，得：

令φ=φ(x)=v2

得φ′+P(x)φ=Q(x)

(16)

其中，

可見我們成功地將原切向方程化為關于φ(x)的一階線性非齊次微分方程，至此便有了求解此類問題的一般化方法：

首先求解該方程對應的齊次方程φ′+P(x)φ=0，得通解

(17)

再用常數變易法[3]給出特解：

(18)

其中常數C0需由初始條件定出。

2 計算結果

(1) 解法1：以原題為例，根據實驗規律，無潤滑的鋼面摩擦因子在0.1～0.12之間，此處取μ=0.1，與已知條件一并代入計算，得：

(19)

(2) 解法2:

因此

(20)

(3) 對比：

解法一：vA=5.13m/s；解法二：vA=5.15m/s；不帶摩擦情形：vA=5.42m/s；可見考慮滑動摩擦后，在題設情形下小環到達A點的速率會略微下降，兩種辦法解的值差異來源于數值計算與解析計算不同具體過程，尤其在精度的取舍上有所差別。因相對誤差小于0.3%，符合物理情景。另外，解法二雖具有普適性，針對具有任意階導數的約束體均可使用，但在求解過程中遇到的積分形式通常會比較困難。同樣針對二次型，解法一可給出解析解，解法二雖給出了解的表達，但積分部分依然需要用到數值計算。

(4) 為更清晰的看到摩擦因數的影響，以及小環在鋼索上不同位置的速率情況，以原題為模型作3D圖像給予展示(其中摩擦因數取值范圍從0～0.25，見圖2)。

Plot3D[{9.8*((5/(1+x2))*?2*μ*(ArcTan[x]-ArcTan[2])-1)*(1+x2)},{x,0,2},{μ,0,0.25},AxesLabel→{"x","μ","v2"}]

圖2 v2-x-μ圖像

3 分析

依然可進行變量分離:

這里需特別注意的是，當打開絕對值號后，必須同時考慮路程增量與角參量增量方向變為一致，消去之前方程右側的負號，才能求解，否則將無法因式分解。

(3) 解法二的核心思想是：將原方程化為一階線性非齊次常微分方程。主要技巧：(1)考慮變量關系，將關于s(t)的二階非線性常微分方程組化為關于v(t)的一階方程；(2)再以速率平方為變量去掉二次項，進一步化簡為線性方程；(3)利用軌道的幾何特征，找到若干變量之間的約束關系進行化簡；(4)利用數學中成熟的處理一階線性常微分方程的辦法——常數變易法進行求解。而這些辦法均為學生在高等數學中已經掌握的基本方法，通過這樣的計算會極大地增強他們解決問題的信心并從中獲得自我肯定。

(4) 從圖2可見，當鋼索光滑時，小環下滑的速度隨高度的下降單調增大，這與機械能守恒定律相符；但考慮摩擦后，由于能量的損耗，導致小環速度的增勢不再呈單調性，而是出現拐點，從圖2中大致可見：當摩擦因子μ達到0.1時，拐點約出現在x=0.75附近；且隨著μ的增大，拐點也向增大的方向變化。整體而言，拐點在3D圖像上的分布呈一近直線的形態(曲率較小)。

4 結語

本文針對“大學物理課程中對含鋼索類約束的質點動力學問題均未考慮滑動摩擦的影響”這一現狀，分析了造成此情況的原因：方程的非線性特征導致求解的困難。對此，本文提出了變量分離及線性化方程兩種解決辦法，通過論證，表明當約束體為開口向上的二次型曲線時，原切向方程可化為以分離變量求解的形式，而二次型曲線作為常見情形，使得這一處理技巧雖不具備普適性但仍有重要意義；然后針對一般約束體的情形，指明了只要該約束體滿足連續可導的數學特征，均可通過變量代換對方程進行簡單的線性化，進而導出了一階線性非齊次常微分方程，并給出解的積分表達式。最后以一典型題目為例，討論了摩擦力的具體影響。