曲線約束摩擦力速度問題的求解

何 健

(綿陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621000)

利用自然坐標(biāo)系處理含約束的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題是大學(xué)物理中常見的類型。此類問題通常配合使用雙坐標(biāo)形式，以自然坐標(biāo)系描寫力，直角坐標(biāo)系描寫約束體幾何形狀，其中二次型曲線(如周衍柏《理論力學(xué)》[1]中鋼索類)、曲面(如程守珠《普通物理學(xué)》[2])占了主要內(nèi)容。該類型問題對(duì)于拓寬學(xué)生視野，練習(xí)多種數(shù)學(xué)工具的使用，加深對(duì)牛頓定理求解問題的理解都十分有益。然而目前的情形是：幾乎所有的例題、習(xí)題都對(duì)其中的摩擦力進(jìn)行了回避——題設(shè)中必定出現(xiàn)“‘界面光滑’，‘滑動(dòng)摩擦因數(shù)為零’……云云”。究其原因，是因?yàn)榭紤]摩擦后，由于約束的影響，會(huì)使得力學(xué)方程變?yōu)橐唤M耦合的非線性方程組，而且由幾何因素的介入，會(huì)使得形態(tài)復(fù)雜，不易求解，因此對(duì)含摩擦的情形避而不談。然而筆者認(rèn)為此類做法欠妥，因?yàn)椤澳Σ痢弊鳛橐环N常見力，自中學(xué)開始便是學(xué)生學(xué)習(xí)討論的重點(diǎn)對(duì)象之一，對(duì)于這樣熟悉的領(lǐng)域，相關(guān)問題已經(jīng)成功地解決多次，教學(xué)上不應(yīng)一味回避，否則只會(huì)挫傷學(xué)生的信心，進(jìn)而對(duì)物理理論產(chǎn)生不信任感，無(wú)疑對(duì)今后的教學(xué)十分不利。本文便就此問題進(jìn)行展開，拋磚引玉，期望獲得同行們更多更好的意見建議。經(jīng)過分析，筆者認(rèn)為此類型問題只要考慮好約束體的幾何特征，經(jīng)過一些巧妙變化，是可以將方程做簡(jiǎn)易的、不脫離學(xué)生實(shí)際情況的線性化處理的。

1 理論推導(dǎo)

1.1 典型問題

(此處選自周衍柏《理論力學(xué)》[1]，為方便計(jì)算，參數(shù)略有改變)

圖1 鋼索形態(tài)示意及小環(huán)受力分析圖

在鋼索上建立自然坐標(biāo)系，如圖1所示，以小環(huán)滑動(dòng)方向?yàn)榍邢?以便在進(jìn)行速度的投影時(shí)確保速率的值恒正)，將動(dòng)力學(xué)方程在自然坐標(biāo)系中投影為分量形式：

此問題容易求解的原因在于兩個(gè)方向沒有耦合，體現(xiàn)出來(lái)的是微分方程性質(zhì)為線性的，且為可直接變量分離、進(jìn)行積分的形式。這是目前大學(xué)物理教學(xué)給予學(xué)生的常見習(xí)題(及例題)。在此基礎(chǔ)上的問題變形基本可分為3大類：(1)鋼索開口向下，由頂點(diǎn)開始給予小環(huán)一沖擊使其獲得初始速度，討論之后的運(yùn)動(dòng)情況；(2)轉(zhuǎn)換為半約束的問題，如程守珠《普通物理學(xué)》[2]，此類型問題因?yàn)槭翘幚硪恍┨厥恻c(diǎn)，往往最終化為代數(shù)方程討論；(3)更換曲線形態(tài)，這種情形除具體處理中考慮一些幾何因素之外并無(wú)實(shí)質(zhì)的變化。然而一旦去掉“光滑”這一特殊條件之后，情形就變得艱難：

受力分析須考慮摩擦力部分，故牛頓第二定律變?yōu)椋篏+N+f=ma，同樣在自然坐標(biāo)系中進(jìn)行投影，得：

其中，因?yàn)殇撍餍螒B(tài)描述為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，因此與小環(huán)接觸面視為小平面，故滑動(dòng)摩擦力沿切線反方向(與速度相反)，同時(shí)注意到小環(huán)受到滑動(dòng)摩擦力與鋼索給予的正壓力滿足簡(jiǎn)單關(guān)系：

f=μN(yùn)

(3)

因此：

(4)

v2項(xiàng)的引入使得切向方程性質(zhì)變?yōu)榉蔷€性，正余弦兩個(gè)角參量的介入也使得該方程難以直接進(jìn)行變量分離，同時(shí)還得考慮與鋼索形態(tài)有關(guān)的曲率半徑項(xiàng)，這都使得直觀上要給出該方程解析解似乎是不可能的。經(jīng)過分析，筆者認(rèn)為此問題的關(guān)鍵在于解決v2項(xiàng)以及找到對(duì)曲率半徑的復(fù)雜表示進(jìn)行化簡(jiǎn)的技巧，而且基于“多數(shù)類似題目中的約束體形態(tài)都是二次型”這一事實(shí)，我們提出沿著不同的路徑進(jìn)行的兩種辦法：化為可分離變量的形式進(jìn)行積分求解以及構(gòu)造成標(biāo)準(zhǔn)一階線性常系數(shù)非齊次微分方程，以通解形式給出結(jié)論。

1.2 解法一： 分離變量法

前面提到，因?yàn)樵诖髮W(xué)物理階段學(xué)生遇到的問題中約束體形態(tài)較多情形下均為二次型，同時(shí)就求解微分方程而言，學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)工具掌握還不夠系統(tǒng)熟練的時(shí)候，總是期望能以大學(xué)物理課本上所演示的辦法進(jìn)行變量分離后再積分。因此，我們首先嘗試這一操作辦法，將證明當(dāng)約束體為二次型曲線時(shí)，原切向方程可化為以分離變量求解的形式。

(5)

此處的重要技巧便是對(duì)v2項(xiàng)進(jìn)行變形處理：

(6)

選擇vx為新變量，將原方程右側(cè)變形為

(7)

注意其中角參量增向與s增向剛好相反[3](這是由于我們希望保持速率本身恒正所做的切向選擇所導(dǎo)致的結(jié)果),故：

(8)

代入，得

化簡(jiǎn)得：

(9)

若y″>0，則：|y″|=y″

移項(xiàng)得：

于是獲得可分離變量的形式：

(10)

式(10)化為

(11)

至此，我們證明了當(dāng)約束體為二次型曲線時(shí)，原切向方程可化為以分離變量求解的形式。

積分，得：

(12)

由約束的幾何性質(zhì)，得：

(13)

1.3 解法二： 一階線性化方程法

當(dāng)約束體不再是二次型，而是具備更高階的導(dǎo)數(shù)的形態(tài)時(shí)，由前所述，無(wú)法再進(jìn)行直接的變量分離。但依然不想就此放棄解析法而轉(zhuǎn)向數(shù)值計(jì)算，因此希望找到具有普適性意義的“線性化辦法”。(與法一推導(dǎo)重復(fù)部分略)由：

此處關(guān)鍵步驟在于，為線性化方程，需考慮將速率平方作為新變量，而為了達(dá)到此目的且同時(shí)將復(fù)雜的幾何參量一并消減，需對(duì)右側(cè)部分使用一些形變技巧：

于是，得：

令φ=φ(x)=v2

得φ′+P(x)φ=Q(x)

(16)

其中，

可見我們成功地將原切向方程化為關(guān)于φ(x)的一階線性非齊次微分方程，至此便有了求解此類問題的一般化方法：

首先求解該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程φ′+P(x)φ=0，得通解

(17)

再用常數(shù)變易法[3]給出特解：

(18)

其中常數(shù)C0需由初始條件定出。

2 計(jì)算結(jié)果

(1) 解法1：以原題為例，根據(jù)實(shí)驗(yàn)規(guī)律，無(wú)潤(rùn)滑的鋼面摩擦因子在0.1～0.12之間，此處取μ=0.1，與已知條件一并代入計(jì)算，得：

(19)

(2) 解法2:

因此

(20)

(3) 對(duì)比：

解法一：vA=5.13m/s；解法二：vA=5.15m/s；不帶摩擦情形：vA=5.42m/s；可見考慮滑動(dòng)摩擦后，在題設(shè)情形下小環(huán)到達(dá)A點(diǎn)的速率會(huì)略微下降，兩種辦法解的值差異來(lái)源于數(shù)值計(jì)算與解析計(jì)算不同具體過程，尤其在精度的取舍上有所差別。因相對(duì)誤差小于0.3%，符合物理情景。另外，解法二雖具有普適性，針對(duì)具有任意階導(dǎo)數(shù)的約束體均可使用，但在求解過程中遇到的積分形式通常會(huì)比較困難。同樣針對(duì)二次型，解法一可給出解析解，解法二雖給出了解的表達(dá)，但積分部分依然需要用到數(shù)值計(jì)算。

(4) 為更清晰的看到摩擦因數(shù)的影響，以及小環(huán)在鋼索上不同位置的速率情況，以原題為模型作3D圖像給予展示(其中摩擦因數(shù)取值范圍從0～0.25，見圖2)。

Plot3D[{9.8*((5/(1+x2))*?2*μ*(ArcTan[x]-ArcTan[2])-1)*(1+x2)},{x,0,2},{μ,0,0.25},AxesLabel→{"x","μ","v2"}]

圖2 v2-x-μ圖像

3 分析

依然可進(jìn)行變量分離:

這里需特別注意的是，當(dāng)打開絕對(duì)值號(hào)后，必須同時(shí)考慮路程增量與角參量增量方向變?yōu)橐恢拢ブ胺匠逃覀?cè)的負(fù)號(hào)，才能求解，否則將無(wú)法因式分解。

(3) 解法二的核心思想是：將原方程化為一階線性非齊次常微分方程。主要技巧：(1)考慮變量關(guān)系，將關(guān)于s(t)的二階非線性常微分方程組化為關(guān)于v(t)的一階方程；(2)再以速率平方為變量去掉二次項(xiàng)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為線性方程；(3)利用軌道的幾何特征，找到若干變量之間的約束關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)；(4)利用數(shù)學(xué)中成熟的處理一階線性常微分方程的辦法——常數(shù)變易法進(jìn)行求解。而這些辦法均為學(xué)生在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)掌握的基本方法，通過這樣的計(jì)算會(huì)極大地增強(qiáng)他們解決問題的信心并從中獲得自我肯定。

(4) 從圖2可見，當(dāng)鋼索光滑時(shí)，小環(huán)下滑的速度隨高度的下降單調(diào)增大，這與機(jī)械能守恒定律相符；但考慮摩擦后，由于能量的損耗，導(dǎo)致小環(huán)速度的增勢(shì)不再呈單調(diào)性，而是出現(xiàn)拐點(diǎn)，從圖2中大致可見：當(dāng)摩擦因子μ達(dá)到0.1時(shí)，拐點(diǎn)約出現(xiàn)在x=0.75附近；且隨著μ的增大，拐點(diǎn)也向增大的方向變化。整體而言，拐點(diǎn)在3D圖像上的分布呈一近直線的形態(tài)(曲率較小)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)“大學(xué)物理課程中對(duì)含鋼索類約束的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題均未考慮滑動(dòng)摩擦的影響”這一現(xiàn)狀，分析了造成此情況的原因：方程的非線性特征導(dǎo)致求解的困難。對(duì)此，本文提出了變量分離及線性化方程兩種解決辦法，通過論證，表明當(dāng)約束體為開口向上的二次型曲線時(shí)，原切向方程可化為以分離變量求解的形式，而二次型曲線作為常見情形，使得這一處理技巧雖不具備普適性但仍有重要意義；然后針對(duì)一般約束體的情形，指明了只要該約束體滿足連續(xù)可導(dǎo)的數(shù)學(xué)特征，均可通過變量代換對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性化，進(jìn)而導(dǎo)出了一階線性非齊次常微分方程，并給出解的積分表達(dá)式。最后以一典型題目為例，討論了摩擦力的具體影響。