共軸共焦雙曲導體柱板間的電場與電容

賈秀敏 白占國

(河北科技大學理學院，河北 石家莊 050018)

由于長直共軸共焦雙曲導體柱板在空間產生的電場分布與軸無關，可作為平面場問題進行研究，取其橫截面建立圖1所示坐標系。文獻[1]、[2]采用等值坐標對雙曲柱板間的電場和電容分別進行了分析，方法雖然簡單，但若不熟悉橢圓柱坐標，則頗感費解。本文利用解析函數的性質，通過等勢線方程導出了共軸共焦雙曲柱板間的電場及單位長度的電容，并對一些特例進行了討論。

1 等勢線方程

共焦雙曲線是到兩焦點(-c,O)、(c,O)的距離之差為常數(等于實軸2a)的動點軌跡，即

(1)

式中取不同的a可得到不同的共焦雙曲線

圖1 共軸共焦雙曲線柱

圖1為實半軸分別為a1，a2的共焦雙曲柱板l1、l2，其電勢分別為u1、u2，由于板間電勢滿足拉普拉斯方程，且兩板為等勢面，故兩雙曲柱板間的等勢線方程亦為式(1)。

2 電勢和電場強度

(2)

整理為

積分兩次得

即

(3)

將u1、a1；u2、a2代入(3)式得

整理式(3)即為兩雙曲導體柱板間的電勢分布，即

(4)

由E=-t，可得到兩雙曲導體柱板間的電場強度分布

(5)

電場強度的大小為

(6)

在雙曲柱板li(i=1,2)上，由式(1)知

故柱板上的電荷面密度大小為

(7)

3 電容

式(1)的參數方程為

(8)

共焦雙曲柱板間沿軸線方向單位長度的電容為

(9)

顯然，這種完全開放型柱板間的電容隨著柱板長度在變化。

4 討論

圖2 導體平面與雙曲柱面

圖3 互相垂直的導體平面

2) 在l2退化成導體平面的基礎上，再令a1=-c，由式(8)知x≤-c,y=0，說明l1退化成從焦點(-c,0)沿著x軸負向延伸至無窮遠的導體平面，如圖4所示，l1、l2上的電荷面密度由式(7)可知

圖4 兩共面導體平面

上述特例計算的都是導體板上電荷面密度的大小，沒有考慮電荷的正負，而實際的極板都是一個帶正電，一個帶負電。這些特例在基本靜電系統中都是較為重要的空間配置，直接計算它們的電荷分布及電容較為困難，而采用本文的方法極為簡單地給出了這些具有重要意義的結果。